2.2基本不等式(2)(建模基本不等式解决实际问题)——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）必修第一册-2.2基本不等式(2)(建模基本不等式解决实际问题)
2.2基本不等式(2)(建模基本不等式解决实际问题)
知识目标
重点、难点
1应用基本不等式（或其变形）解决
实际问题中的最值问题；
2.体会基本不等式在解决最大（小）值
时的工具作用.
1.熟悉建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程；
2.熟悉不同的题境的切入点，从已知中找到与切入点相关的量的“和为定值”或“积为定值”的代数式，建模基本不等式.
【序】
1.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具，且这类题在考试中经常出现.
2.建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程:
找到解题切入点；
字母表示相关量；
找出已知隐含的“和定值”或“积定值”；
根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.
【例题打样】
【一个物理问题】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于5g，等于5g，还是大于10g？为什么？
分析：设天平的左右臂长依次为l1、l2，且l1≠l2；两次称得的黄金实际质量依次为x1、x2.
第一次是左盘砝码，右盘黄金，根据杠杆平衡条件有等式：5l1=x1l2，x1=；
第二次是右盘砝码，左盘黄金，根据杠杆平衡条件有等式：5l2=x2
l1，x1=.
顾客购得的黄金实际质量：x1＋x2.=＋>2=10.
综上，顾客购得的黄金实际质量大于10g(l1≠l2，则
≠，不能取等).
剖析：
1.解题过程由杠杆平衡条件切入，如果不知道杠杆平衡条件，解题根本无法进行；
2.与杠杆平衡条件相关的量(左右臂长、每次称得的黄金量)用字母表示；
3.经过一定步骤的推理之后发现，所购得的黄金量(目标量)决定于两部分的和，而这两部分的乘积为定值，进而联想到基本不等式(变式)模型.
提醒：以上剖析过程体现了用基本不等式(或其变式)解决实际最值问题的几个关键环节.
【类比解题】
1.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1：（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比；每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比.若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
分析：
第一步，确定解题切入点：反比例函数和正比例函数解析式；
第二步，设解析式，并确定解析式中参数；
y1与x之间的函数关系式：y1=.
根据题意，x=10时，y1=2，∴2=，k1=20，∴y1=.
y2与x之间的函数关系式：y2=k2x.
根据题意，x=10时，y2=8，∴8=10k2，k2=，∴y2=
第三步，确定两项费用之和的代数表达式，观察结构特点，联想基本不等式(变形)解决问题.
y1＋y2=＋≥2=8，当且仅当=，即x=5时，等号成立.
综上，把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小.
2.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
分析：
第一步，确定解题切入点：圆柱的侧面积公式；
第二步，相关量用字母表示，根据已知条件，寻找量与量之间的关系；
设矩形相邻的两条边长分别为xcm，ycm.
2(x＋y)=36，x＋y=18.
第三步，建模基本不等式，解决问题.
不妨设旋转轴的长度为xcm.
圆柱底面周长：2y；圆柱高：x.
圆柱侧面积s=2y?x=2π?xy≤2π()2=162π.
当且仅当，即x=y=9时，取等号.
综上，矩形为边长是9的正方形时，旋转形成的圆柱的侧面积最大.
3.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解析：设贮水池池底相邻两条边的边长分别是xm，ym，则3xy=4800，xy=1600.
池底面积：1600m2；
池壁共四个面，相对面的面积相等，所以池壁总面积为：3x×2＋3y×2=6(x＋y)；
贮水池总造价s
=150×1600＋120×6(x＋y)
=240000＋720(x＋y)
≥240000＋720×2
=297600
当且仅当，即x=y=40时，取等号.
综上，贮水池池底设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总造价为297600元.
剖析：此题是研究水池的最优造价问题，由造价的计算方式切入.造价在单价确定的情况下，取决于与相关面的面积，而求面积离不开棱长，最终的相关量是棱长.
题中水池容积与深度已知，则“长×宽”必为定值.从造价的表达式中发现，造价决定于“长与宽”的和，进而联想用基本不等式(变式)知识处理最值.
【自己试一试】
1.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解析：设矩形相邻的两边长分别为xm、ym，则xy=100.
篱笆的长度l=2(x＋y)≥22=40.
当且仅当，即x=y=10时，取等号.
综上，当这个矩形的边长都是10时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是40m.
2用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解析：设矩形菜园相邻的两边长分别为xm、ym，则2(x＋y)=36，x＋y=18.
菜园的面积s=xy≤()2=81.
当且仅当，即x=y=9时，取等号.
当这个矩形的边长都是9时，菜园的面积最大，最大面积是81.
剖析：长方形面积是：长×宽；周长是2(长＋宽)，正好是“一积一和”，非常好的基本不等式建模背景.
3.某公司建造一间背面靠墙的房屋（长方体型），地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
解析：设房屋地面相邻两边的边长分别为xm，ym，靠墙的边长为xm，则xy=48.
房屋正面面积：3x；
房屋侧面（两个）面积：23y=6y.
房屋总造价z=5800＋3x?1200＋6y?800
=5800＋1200(3x＋4y)
≥5800＋1200?2
=5800＋4800
=5800＋4800×12
=63400
当且仅当，即时，取等号.
综上，房屋地面相邻两边的边长分别为8m，6m，靠墙的边长为8m，此时房屋总造价最低？最低总造价是63400元.
注：xy是定值，3x4y当然也是定值！
【结语】：
1.基本不等式(或变式)建模背景多种多样，一定要根据具体情况找到解题切入点，切入点找不到，一切都无从谈起；
2.与切入点相关的量用字母表示，根据已知条件挖掘出隐含的量与量之间的“积定值”或“和定值”；
3.对基本不等式(或变式)要有灵敏的嗅觉，一旦符合模型特征，迅速应用解决问题
【自我评估】
1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
解析：设折成的矩形相邻两边的边长为xcm，ycm，则2(x＋y)=20，x＋y=10.
折后矩形面积s
=xy≤()2=25.
当且仅当，即x=y=5时，取等号.
综上，折成的矩形为边长为5的正方形时面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解析：设矩形菜园相邻的两边长分别为xm、ym，靠墙的一条边的边长为xm，则x＋2y=30.
矩形菜园的面积s=xy=≤()2=.
当且仅当，即时，取等号.
综上，当这个矩形的边长15m、m时，菜园的面积最大，最大面积是m2.
提醒：此题背景为残缺长方形(一条边不用考虑)，得到的和为定值的代数式有所变化，求积最大值时需对因式等价变形处理，在上节课已涉及过.背景变了，建的模也会有所差异，要灵活应对.
思考：“墙长18米”有什么用？
答：限制题中的“x”.
3.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
解析：设纸盒底面相邻的两边长分别为xm，ym，则2xy=32，xy=16.
纸盒上下底的面积和：16×2=32；
纸盒四个侧面的面积和：2(2x＋2y)=4(x＋y).
纸盒总面积s=32＋4(x＋y)≥32＋4×2=64.
当且仅当，即x=y=4时，取等号.
综上，纸盒的底面设计成边长为4的正方形时，用纸最少.
剖析：长方体的体积是：长×宽×高，如果体积与高是定值，那么“长×宽”是定值.六个面的面积和出现了“长与宽的和”，进而应用基本不等式知识求最值建模.
4.设矩形ABCD（AB＞CD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P．设AB＝xcm，求△ADP的最大面积及相应x的值．
解析：AB＝x，AD=12－x.
设DP=y，PC=x－y，∵AP=PC，∴AP=x－y.
对于Rt△ADP，根据勾股定理：y2＋(12－x)2=(x－y)2，
整理，得y=12－.
S△ADP
=(12－x)(12－)
=6(12－x)(1－)
=6[18－(x＋)]
≤6(18－2)=108－72，当且仅当x=，即x=6时，取等号.
综上，求△ADP的最大面积为108－72，相应x的值为6
.
注：此题建模比较复杂，有一定的难度，认真体会！
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