2020-2021年八年级数学人教版上册13.1 轴对称 同步练习题（word版含答案）

2020-2021年八年级数学人教版（上）
轴对称 同步练习题（含答案）
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 下列作图，最有可能是作线段AB关于直线l的对称线段A′B′的是(　　)
2. 下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是(　　)
3. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．70°或55° D．70°或55°或40°
4. 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A. AE＝EC B. AE＝BE
C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
5. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
6. 2019·都江堰模拟如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则下列结论不正确的是(　　)
A．AO＝BO B．MN⊥AB
C．AN＝BN D．AB＝2CO
7. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为(　　)
A．105° B．95° C．85° D．75°
8. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为(　　)
A．10 B．11 C．11.5 D．13
9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足(　　)
A．PB＝PC B．PA＝PD
C．∠BPC＝90° D．∠APB＝∠DPC
10. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则的值是（　　）
A. B. C.1 D.
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 下列命题是真命题的是_________.
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形．
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．
④三个外角都相等的三角形是等边三角形．
12. 等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．
13. 如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD ＝________．
14. 如图，在△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长为________．
15. 如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与________对应，B与________对应，C与________对应，D与________对应．
16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是 ．
①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.
17. 如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP＋PF的值最小时，BF＝7，则AC的长为________．
三、解答题（本大题共5道小题）
18. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.
(1)求∠CEF的度数；
(2)求证：△EFG是等腰三角形．
19. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.
(1)求证：CD＝BE；
(2)若AB＝12，求BF的长．
20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．
21. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
(1)如①，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC(AB＞BC)，若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝________度；
(2)如图②，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条特异线；
(3)如图③，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．
22. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”,“＜”或“＝”）.

（2）一般情况，证明结论
如图2，过点E作EFBC，交AC于点F.
（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
证明：
答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】C　
3. 【答案】D　[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；
当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；
当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．
4. 【答案】C　【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC.
5. 【答案】C　[解析] 连接AB.根据题意得 OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.
6. 【答案】D　[解析] 由作法得MN垂直平分AB，
∴OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，只有选项D不成立．
7. 【答案】A　[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC.∴∠DAC＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°.∴∠DEC＝105°.
8. 【答案】A　[解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.
9. 【答案】D
10. 【答案】C；
【解析】根据题意：若DE⊥AB，必有∠BDE＝30°，而∠EDA＝60°；故AD⊥BC；即BD＝DC；故的值是1．
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 【答案】①④
【解析】②一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；③等腰三角形底边上的高就是底边的中线.
12. 【答案】5或4
13. 【答案】2；
【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.
14. 【答案】4　[解析] ∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形．∵AB＝8，∴BC＝AB＝8.∵AD为角平分线，∴BD＝CD.∴CD＝4.
15. 【答案】G　E　F　H　[解析] A剪开后是三个三角形，B剪开后是两个直角梯形和一个三角形，C剪开后是一个直角三角形和两个四边形，D剪开后是两个三角形和一个四边形，因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应．
16. 【答案】①②③④；
17. 【答案】10　[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°.
如图，作点E关于直线CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，交CD于点P，
则此时EP＋PF的值最小．
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°.
∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14.∴EG＝8.
∴CE＝CG＝4.∴AC＝BC＝10.
三、解答题（本大题共5道小题）
18. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.
由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，
∴∠CEF＝(180°－48°)＝66°.
(2)证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠CEF.
由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，
∴∠GFE＝∠C′EF.
∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．
19. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.
∵DM∥AB，
∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.
∴△CDM是等边三角形．
∴CM＝CD＝DM.
在△DMF和△EBF中，
∴△DMF≌△EBF(ASA)．∴DM＝BE.
∴CD＝BE.
(2)∵ED⊥AC，∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠FDM＝30°.
∴∠BFE＝∠DFM＝30°.
∴BE＝BF，DM＝MF.
∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF.
∴CM＝MF＝BF.
又∵BC＝AB＝12，∴BF＝BC＝4.
20. 【答案】解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在BC的垂直平分线上．
∴直线AD是BC的垂直平分线．∴AD⊥BC.
(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
(3)DE＝AC＋BE.
理由：同(2)得∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.
21. 【答案】解：(1)72　[解析] ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC.
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD和△BCD都是等腰三角形，
∴AD＝BD＝BC.
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC.
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A，
设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°.∴∠BDC＝72°.
(2)证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
即△EAC是等腰三角形．
∴∠EAC＝∠C.
∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C.
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝∠B.
∴AE＝AB，
即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．
(3)如图?，
①当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°＋15°＝135°；
②如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝75°＋37.5°＝112.5°；
③如果AD＝DB，DC＝CB，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝30°＋60°＝90°(不合题意，舍去)．
④如图?，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°－20°－20°＝140°.
⑤当CD为特异线时，不合题意．
综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.
22. 【答案】
解：（1）＝
（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC
∵EF∥BC
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，
∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
∴∠BED＝∠FCE，
∴△DBE≌△EFC
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
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