第5章 轴对称图形复习（2）
教学目标
1 、了解三角形中几条重要线段；
2、掌握三角形三边的关系；
3、掌握与三角形有关的角的性质。
重点、难点
重点：三角形三边关系、三角形有关的角的应用
难点：三角形三边关系、三角形有关的角的综合应用
教学过程
一 知识回顾
三角形的几条重要线段：
（1）角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
若AD是三角形的角平分线，则∠1=∠2
中线：连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
若AE是三角形ABC的中线，则BE=EC
高：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
若AH是三角形ABC的高，则∠AHC=∠AHB=90
注意！1、三角形的高、中线、角平分线都是线段。
2、要会用符号语言表达这些概念
2、三角形三条边的关系：
（1）三角形任何两边之和大于第三边；（2）三角形任何两边之差小于第三边。
即：AB+AC>BC,AC+BC>AB,BC+AB>AC,
设AB>BC>AC,则AB-BC
注意！（1）已知三条线段的长，它们能否构成三角形条件是：两条短的之和大于最长的。
（2）已知两条边的长，第三边的范围是：“大于其他两边的差小于其他两边的和”。
3、与三角形有关的角
（1）三角形的内角和=180 .
(2) 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
如：△ABC中，∠ACD=∠A+∠B
(3) 三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角。
如：△ABC中，∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B
（4）三角的外角和=360
注意！（1）三角形的外角是三角形的一边和另一边的组成的角。
（2）“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”中“不相邻”是前提。
（3）三角形的外角和是指三角形的每一个顶点处取一个外角的和。
二 、知识应用
1、三角形三边的关系
【例1】（2011河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数 则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【分析】：根据“三角形其他两边之差<一边<其他两边之和”求出X的范围，再取整整数值。
【解】由题意可得： 1＜x＜15，
所以，x为12．13．14；
故选B．
【点评】：本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．
【变式训练一】
1、（2011梧州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A、1，2，3 B、3，4，5
C、3，1，1 D、3，4，7
答：B
2、（2011 青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
A、1，3，5 B、1，2，3
C、2，3，4 D、3，4，5
【解】设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
∵x为整数，∴x=2，3，4，
故选：C．
2、与三角形有关的角
【例2】（2011 台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（ ）
A、36 B、72 C、108 D、144
【分析】：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．
【解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，
∵2（∠A+∠C）=3∠B，
∴∠B=72°，
∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，
故选C．
【点评】充分利用三角形内角和等于180 建立方程（组），就能轻松地求出三角形中未知角的度数。
【例3】如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系式是（ ）
A ∠1+∠2=∠3+∠4，B ∠1+∠2=∠3-∠4, C ∠1+∠4=∠2+∠3，D ∠1+∠4=∠2-∠3
【解】∵∠AEF=∠1+∠3，,2=∠4+∠AEF
∴∠2=∠4+∠1+∠3
∴∠1+∠4=∠2-∠3
选D。
【变式练习二】
2、（2011台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ ）
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
答：D
3、（2011，台湾省）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（ ）
A、37 B、57
C、77 D、97
【分析】：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答；
【解法一】：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，
∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，
又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：
①∠C＞90°，
∴∠B＜153°﹣90°=63°，
∴选项A、B合理；
②∠B＞90°，
∴选项D合理，
∴∠B不可能为77°．
故选C．
【解法二】
若∠B=37 ,则∠C=180 -(∠A+∠B)=180 -(27 +37 )=116 , 三角形ABC为钝角三角形。
若∠B=57 ,则∠C=180 -(∠A+∠B)=180 -(27 +57 )=96 , 三角形ABC为钝角三角形
则∠B=77 ，∠C=180 -(∠A+∠B)=180 -(27 +77 )=86 , 三角形ABC为锐角三角形
则∠B=97 ，三角形ABC为钝角三角形
选C.
三、反思小结
1、正确理解三角形的几个概念：三角形的高、中线、角平分线都是线段。
2、三角形三边的关系要牢记，知道两边，求第三边的范围需要用到“其他两边之差<一边<其它两边之和，知道三条线段，能否首尾相接构成三角形的判断方法是：两条短边之和大于最长的边，就能构成三角形。
3、三角形的内角和等于180度，知道两个角可以求出第三个角，知道一个角可以求出另外两个角的和，也可以用它作为等式建立方程模型。
4、“三角形的外角等于不相邻的两个外角的和”，“不相邻”是前提。
作业 P 140 练一练(共22张PPT)
第5章 轴对称图形复习（2）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗制作
一 知识回顾
1、三角形的几条重要线段：
（1）角平分线：
一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
若AD是三角形的角平分线，
则∠1=∠2
一 知识回顾
1、三角形的几条重要线段：
中线：连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
若AE是三角形ABC的中线，则BE=EC
高：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
若AH是三角形ABC的高，则∠AHC=∠AHB=90
注意！
1、三角形的高、中线、角平分线都是线段。
2、要会用符号语言表达这些概念
2、三角形三条边的关系：
（1）三角形任何两边之和大于第三边；
AB+AC>BC,
AC+BC>AB,
BC+AB>AC,
（2）三角形任何两边之差小于第三边。
设AB>BC>AC,则
AB-BCBC-ACAB-AC注意！
（1）已知三条线段的长，它们首尾相接能否构成三角形条件是：两条短的之和大于最长的。
（2）已知两条边的长，第三边的范围是：
“大于其他两边的差小于其他两边的和”。
3、与三角形有关的角
（1）三角形的内角和=_______
(2) 三角形的一个外角等于
________的两个内角的和。
如：△ABC中，
∠ACD=∠A+∠B
180 .
回顾：三角形的内角有什么关系？内角与外角有什么关系？
不相邻
3、与三角形有关的角
(3) 三角形的一个外角______不相邻的任何一个内角。
如图：△ABC中，
∠ACD>∠A,
∠ACD>∠B
（4）三角形的外角和=______
如图， ∠1+ ∠2+ ∠3
=360
大于
360
注意！
（1）三角形的外角是三角形
的一边和另一边的延长线
组成的角。
（2）“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”中“不相邻”是前提。
（3）三角形的外角和是指
三角形的每一个顶点处取
一个外角的和。
知识应用
1、三角形三边的关系
【例1】（2011河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数 则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【分析】：根据“三角形其他两边之差<一边<其他两边之和”求出X的范围，再取整数值。
【解】由题意可得： 11＜x＜15，
所以，x为12．13．14；
故选B．
【点评】
三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系是解答的关键．
【变式训练一】
1、（2011梧州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A、1，2，3 B、3，4，5
C、3，1，1 D、3，4，7
B
2、（2011 青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
A、1，3，5 B、1，2，3
C、2，3，4 D、3，4，5
【解】设他所找的这根木棍长为x，
由题意得： 3﹣2＜x＜3+2，
∴ 1＜x＜5，
∵x为整数，∴x=2，3，4，
故选：C．
C
2、与三角形有关的角
【例2】（2011 台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（ ）
A、36 B、72 C、108 D、144
【解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，
即：2（∠A+∠C)+2∠B=360
∵2（∠A+∠C）=3∠B，
∴3∠B+2∠B=360 ,即：5∠B=360
∴∠B=72°，
∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，
故选C．
【分析】：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．
【点评】
充分利用三角形内角和等于180 建立方程（组），就能轻松地求出三角形中未知角的度数。
【点评】
充分利用三角形内角和等于180 建立方程（组），就能轻松地求出三角形中未知角的度数。
【例3】如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系式是（ ）
A ∠1+∠2=∠3+∠4，
B ∠1+∠2=∠3-∠4,
C ∠1+∠4=∠2+∠3，
D ∠1+∠4=∠2-∠3
【解】∵∠AEF=∠1+∠3，
∠ 2=∠4+∠AEF
∴∠2=∠4+∠1+∠3
∴∠1+∠4=∠2-∠3
选D。
D
【变式练习二】
2、（2011台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确
（ ）
A．∠2＝∠4＋∠7
B．∠3＝∠1＋∠6
C．∠1＋∠4＋∠6＝180°
D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
C
3、（2011，台湾省）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（ ）
A、37 B、57 C、77 D、97
【解法一】：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，
∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，
又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下
①∠C＞90°，
∴∠B＜153°﹣90°=63°，
∴选项A、B合理；
②∠B＞90°，∴选项D合理，
∴∠B不可能为77°．故选C．
C
【解法二】
若∠B=37 ,则∠C=180 -(∠A+∠B)
=180 -(27 +37 )=116 ,
三角形ABC为钝角三角形。
若∠B=57 ,则∠C=180 -(∠A+∠B)
=180 -(27 +57 )=96 ,
三角形ABC为钝角三角形
若∠B=77 ，则∠C=180 -(∠A+∠B)
=180 -(27 +77 )=86 ,
三角形ABC为锐角三角形
则∠B=97 ，三角形ABC为钝角三角形
选C.
反思小结
1、正确理解三角形的几个概念，三角形的高、中线、角平分线都是线段。
2、三角形三边的关系要牢记，知道两边，求第三边的范围需要用到“其他两边之差<一边<其它两边之和，知道三条线段，能否首尾相接构成三角形的判断方法是：两条短边之和大于最长的边，就能构成三角形。
3、“三角形的内角和等于180度”，知道两个角可以求出第三个角，知道一个角可以求出另外两个角的和，也可以用它作为等式建立方程模型。
4、“三角形的外角等于不相邻的两个内·角的和”，
“不相邻”是前提。
作业 P 140 练一练