【备战2012】高考数学（理） 最新专题冲刺之函数

【江西省新钢中学2012届高三模拟考试】9．函数的值域为
A． B． C． D．
【解】：的定义域为则，令，则
因，则 .
【解析】本题主要考查分段函数、指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵ ∴
【2012唐山市高三模拟统一考试理】函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】本题主要考查函数的定义域、对数不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
由
【2012唐山市高三模拟统一考试】设，则函数的零点位于区间（ ）
A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【答案】 C
【2012唐山市高三上学期模拟统一考试理】已知，则= （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】 D
【解析】本题主要考查指数和对数的互化以及对数的运算公式. 属于基础知识、基本运算
的考查.
∵　　∴
；　　
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】下列函数中与函数y=x相等的是
A．y=|x| B．y= C．y= D．y=
【答案】D
在同一坐标系中作出在[0，2]上的图像，可以看出交点个数为2
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】
设集合，函数且 则的取值范围是
A．(] B．(] C．() D．[0，]
【答案】B
【解析】本题主要考查集合、不等式、函数的定义域、值域的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
，
的取值范围是(]
【2012三明市普通高中高三联考理】函数的零点所在区间是
　　　A． B．
C．（1,2） D．
【答案】B
【解析】本题主要考查函数点的概念、数形结合的解题方法. 属于基础知识、基本方法的考查.
由＝0得，零点个数即是和的图像交点的个数，在同一坐标系中分别作出和的图像，易知零点个数为1
【2012三明市普通高中高三联考理】已知函数是奇函数，当时，=，则的值等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的奇偶性、分段函数以及分段函数值的求法计算，属于基础知识、基本计算的考查.
当时，=，∴，
是奇函数，∴
【2012黄冈市高三模拟考试理】设，则使得为奇函数，且在上单调递减的n的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 A
【解析】本题主要考查幂函数及其单调性判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
设，则使得为奇函数，且在上单调递减的函数是一个.
【2012年西安市高三年级第一次质检理】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一的考查.
甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙，路程分别为S甲和S乙，由图知，在t0到t1时刻，甲比乙快得多。到t0时刻，两车行驶的路程相同。曲边多边形的面积表示路程，由图知曲边多边形DCBE面积<曲边多边形DCAE面积，∴S乙< S甲, 又沿同一直线路线行使，于是甲车在乙车前面。
【2012年西安市高三年级第一次质检理】已知，函数，若实数M,N满足f(M) > f(n),则m、n满足的关系为
A. m + n< 0 B. m +n > 0
C. m > n D. m < n
【答案】D
在区间上的值域为，则函数在上的值域为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由题可设，，由周期性可知，，，，同理，，，……，，，故函数在上的值域为。
【2012浙江宁波市模拟理】函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由题可得，解得。
【答案】A
【解析】由题可知函数的周期为4，故。
【2012江西南昌市调研理】函数的值域为 ( )
A．[1,+∞) B．(0,1] C．(-∞,1] D．(-∞,1)
【答案】C
【解析】因，所以，即，选C。
【2012广东佛山市质检理】下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题中选项可知，,为偶函数，排除A、C；而在R上递减，故选B。
【2012广东佛山市质检理】对任意实数，函数，如果函数，那么函数的最大值等于 .
【答案】
【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，令，则，所以，即递减，
又，因，所以，即，故选B。
【2012北京海淀区模拟理】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
（A）是偶函数，递增区间是 （B）是偶函数，递减区间是
（C）是奇函数，递减区间是 （D）是奇函数，递增区间是
【答案】C
【2012黄冈市高三上学期模拟考试理】函数，则函数的零点个数有 个。
【答案】 2
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵分别作出、的图像，知交点数即零点数为2
【2012武昌区高三年级调研理】函数的图象如图所示，给出以下说法：
①函数的定义域是[一l，5]；
②函数的值域是（一∞，0]∪[2，4]；
③函数在定义域内是增函数；
④函数在定义域内的导数
其中正确的是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查.
的定义域中含有，①②正确；函数在定义域内不是增函数，因而③④错误。
【2012武昌区高三年级元月调研理】若 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，，所以
【2012厦门模拟质检理10】已知函数f(x)＝则下列结论正确的是
A.f(x)在(－1,0)上恰有一个零点　　　B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点
C.f(x)在(－1,0)上恰有两个零点　 D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点
【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝在单调增，，选A;
【2012厦门模拟质检理13】定义区间[x1，x2]( x1的定义域为[a，b],值域为[0，8]，则区间[a，b]长度的最大值等于　　　　　。
【答案】
【答案】B
【解析】因为奇函数在上的解析式是，取
【2012宁德质检理10】若函数在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意，有，且，则称为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是 （ ）
A．函数上的1级类增函数
B．函数上的1级类增函数
C．若函数上的级类增函数，则实数a的最小值为2
D．若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
【答案】D
【2012深圳中学模拟理5】值域为{2,5,10}，其对应关系为的函数的个数 （ ）
A . 1 B. 27
C. 39 D. 8
【答案】B
【解析】解：分别由解得由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：
1取三个元素：有C21种
2取四个元素:先从三组中选取一组再从剩下的两组中选两个元素，故共有种；
3取五个元素：＝6种；
4取六个元素：1种。
由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27种。
【2012深圳中学模拟理6】设函数，则满足方程根的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
【答案】C
【解析】方法一：详细画出f（x）和g（x）在同一坐标系中函数图象，由图5中不难看出有三个交点，故选C
方法二：①当时，，则
②当时，，则
③当时，，则
④当时，，则
⑤当时，，则
由此下区x的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了！所以应选C。
【2012海南嘉积中学模拟理12】规定表示两个数中的最小的数，，若函数的图像关于直线对称，则的值是（ ）
A、-1　　　 B、1　　 C、-2　　 D、2
【答案】B
【解析】的图像关于直线对称，，
【2012海南嘉积中学模拟理15】若函数，若，则实数的取值范围是 ．
数，当时，设函数的值域为集合，记中的元素个数为，则使为最小时的是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【答案】C
【解析】时，时，，；，取得最小值。
【2012浙江瑞安模拟质检理17】对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是 .
【2012武昌区高三年级调研理】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元．
【答案】 45．6 　　　　
【解析】本题主要考查函数的应用问题及二次函数的最值. 属于基础知识、基本运算的考查.
设甲地销量为辆，则乙地销量为15－辆，总利润为y（单位：万元），则
，
即 二次函数对称轴为
∵，故辆时y最大，最大值为45．6万元。
【2012黄冈市高三模拟考试理】某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.
【2012宁德质检理】（本小题满分13分）
已知函数
（1）若函数为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的都有成立，求实数k的取值范围。
【2012深圳中学模拟理】（本小题满分14分）
已知集合．其中　为正常数．
（I）设，求的取值范围．
（II）求证：当时不等式对任意恒成立；
（III）求使不等式对任意恒成立的的范围．
【答案】（I），当且仅当时等号成立，
故的取值范围为．（3分）
（II） 变形，得
. （5分）
由，又，，∴在上是增函数，
所以．
即当时不等式成立． （9分）
【2012·泉州四校二次联考理】（本小题满分13分）
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，
其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（1）令，，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
（本小题满分13分）
【解】（1）当时，t＝0； 　　　　　　　　　　　……………………1分
当时，（当时取等号），
∴，
【2012厦门市高三模拟理】设函数f(x)=－x3＋mx2+x，g(x)=mx2－x＋c，F(x)=x f(x)。
(Ⅰ) 若函数y= f(x)在x=2处有极值，求实数m的值；
(Ⅱ) 试讨论方程y=F＇(x)＝g(x)的实数解的个数；
（Ⅲ）记函数y= G(x)的导称函数G＇(　x)在区间(a,b)上的导函数为G＇＇(　x)，若在(a，b)上G＇＇(　x)＞0恒成立，则称函数G(x) (a,b)上为“凹函数”。若存在实数m∈[－2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”，求b－a最大值。
【解析】本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法.
（II）F＇(x)=
F＇(x)＝g(x)， 即，即
令，则
∵
∴
由图知，
当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1
当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2
当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为3
当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2
的两根为，则
，m∈[－2,2]
的最大值为，故，从而b－a最大值为
（Ⅱ）, , ………………8分
,
……………………10分
即： .
的取值范围………………12分
【2012武昌区高三年级调研理】已知函数为R上的奇函数，的导数为，且当时，不等式成立，若对一切恒成立，则实数的取值范围是 。
【答案】
（1）求函数的极大值点；
（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．
【解析】本题主要考查了导数的计算、导数与单调性的关系、极值问题以及恒成立问题。属于难题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力和转换的思想、分类讨论的思想.
由（1）知，①当，即时，
综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立。
【2012三明市普通高中高三联考理】已知函数图象上点处的 令得 ，则此方程在上恰有两解。 ………8分
记
得 ………10分
v
的图像如图所示（或 ） ………………………13分
. ………………………14分
【2012黄冈市高三模拟考试理】已知函数
（1）曲线经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数的极小值；
（3）若在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：
【解析】本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法.
【解】（1）＝，
由题设知： 解得………………………4分
（Ⅱ）由（1）知
=mx（x－）,当m＞0时，g（x）在（-，0），（，+）上递增，在（0，）上递减，所以g（x）的极小值为g（）=-m；当m＜0时，g（x）在（-，0），（，+）上递减，在（0，）上递增，所以g（x）的极小值为g（0）=0；……8分
（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点，所以，
即在内有两个不等的实根．
∴ ……………………………11分
由 （1）+（3）得，由（4）得，
∴，又，∴．
故a＋b的取值范围是（0，2）……………………………14分
【2012武昌区高三年级模拟理】已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：
而不成立，故．
当时，由（Ⅰ）知．
要使恒成立，则即可．
故，解得．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，
所以且， …………4分
（I）因为为的极大值点，所以
当时，；当时，；当时，
所以的递增区间为，；递减区间为．…………7分
（II）①若，则在上递减，在上递增
恰有两解，则，即，所以；
②若，则，