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第一章
勾股定理（单元测试基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四组数据中，不是勾股数的是（
）
A．5，12，13
B．4，7，9
C．6，8，10
D．9，40，41
【答案】B
【详解】
A、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
B、42+72≠92，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中有一个点A（﹣4，3），则点A到坐标原点O的距离是（
）
A．﹣5
B．5
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：∵点A（﹣4，3），
∴点A到坐标原点O的距离＝，
故选：B．
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（
）
A．∠A＝2∠B＝3∠C
B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝1：：2
D．a2＝（b＋c）（b﹣c）
【答案】A
【详解】
解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，
A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠A＋∠A＝180°，
解得：∠A＝（）°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A＋∠B＝∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵a：b：c＝1：：2，
∴，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
即，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（
）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【答案】A
【详解】
∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0，
∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，
∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，
∴a=17，b=15，c=8，
∵82+152=172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故选：A．
5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=（m-n）2-n2=m2-2mn，
∴这个直角三角形的面积=ab=，
故选：A．
6．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
故选：D．
7．国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长的直角边为，那么的值为（
）
A．13
B．19
C．25
D．169
【答案】C
【详解】
解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2＋b2＝c2＝13，
∵小正方形的面积是（a-b）2=a2＋b2-2ab=13-2ab=1，即ab=6，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab＝13＋2×6＝25．
故选C．
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（
）
A．6
B．8
C．9
D．15
【答案】D
【详解】
解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．
9．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，则ABEF的周长为（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
【答案】C
【详解】
解：连接，由题意可知：
设，
在中，
在中，
在中，，∴
在中，，即
解得，即
，
ABEF的周长为
10．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（
）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA8＝＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，已知，那么数轴上点所表示的数是________．
【答案】
【详解】
解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，
故，
∵A在x的负半轴上，
∴数轴上点A所表示的数是-．
故答案为：-．
12．若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是
___cm．
【答案】或
【详解】
解：当4cm，3cm为这个直角三角形的直角边时，则有第三边为；
当4cm为这个直角三角形的斜边时，则有第三边为；
所以综上所述第三边长为cm或cm；
故答案为或．
13．以直角三角形的三边分别向外作正方形，正方形A，B的面积分别是8cm2，10cm2，则正方形C的面积是__________cm2．
【答案】18
【详解】
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，正方形的面积为，
∵
∴正方形的面积．
故答案是：18．
14．△中，，为上的一点；若，△的面积为10，则的长为_______．
【答案】3
【详解】
∵，，CD=5，
∴AB=4，
∵∠B=90°，DA=5，
∴，
∴，
故答案为：3
15．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．
【答案】4.2尺．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
16．如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝___．
【答案】6
【详解】
解：∵E是AF的中点，AF＝14，
∴AE=EF=AF=7，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠DFE=90°，
在△ABE和△FDE中，
，
∴△AEB≌△FED（ASA），
∴BE=DE=BD=25，
∴DF==24，
∴CF=CD-DF=6，
故答案为：6．
17．如图，在四边形中，，，若，则四边形的面积为_______．
【答案】25
【详解】
解：如图，连接BD，则：
，，
=BC·CD+AB×AD
=BC·CD+AB2
=BC·CD+BD2
∵BC+CD=10，
∴BC2+CD2+2BC×CD=100，
∴4S△BCD+4S△ABD=100，
∴=25，
故答案为25．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为____________
【答案】.
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，，AE＝1
∴CE＝3
∵FM⊥AC，∠BEF＝90°
∴∠ACB＝∠BEF
=∠FME
=90°
∴∠FEM+∠EFM=90°=∠BEC+∠FEM
∴∠EFM=∠BEC
又∵BE=FE
∴△EFM≌△BEC
∴BC＝EM＝4，CE＝FM＝3
∴CM=EM-EC=1
∴
故答案为：.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）在中，的对边分别为且
（1）若，求的值．
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）13；（2）12；（3）a=24，b=32
【详解】
解：（1）∵∠C=90°，
∴c==13，
（2）∵∠C=90°，
∴b==12；
（3）∵∠C=90°，a：b=3：4，
∴a：b：c=3：4：5，
∵c=40，
∴a=24，b=32．
20．（5分）已知：如图，在中，两直角边，．
（1）求的长；
（2）求斜边上的高的长．
【答案】4.8
【详解】
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴；
（2）∵中，两直角边，，斜边上的高，
∴，
∴6×8=10×CD，
∴CD=4.8
21．（5分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
【答案】（1）5；（2）是直角三角形．
【详解】
解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
22．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
【答案】（1）30；（2）4．
【详解】
解：（1）∵AB＝13，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AC＝13，CD＝12，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30；
（2）在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝4，即BC的长是4．
23．（8分）如图，一根长度为的木棒的两端、系着一根长度为的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，且为直角边，求这个点将绳自分成的两段各有多长？
【答案】这个点将绳子分成的两段分别为，
【详解】
解：设另一条直角边长为，则斜边长为，根据题意，
得，
解得，
则．
答：这个点将绳子分成的两段分别为，．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
（1）求AC的长；
（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
【答案】（1）75；（2）42°．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
，
∵BC＝125，
∴DC＝BC－BD＝125－80＝45，
在Rt△ADC中，
；
（2）∵
，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°
∵∠MAC＝48°
∴．
25．（12分）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
【答案】（1）7米；（2）8m
【详解】
（1）由题意知米，米，米，
在直角△ABC中，∠C＝90°
∴
∴米，
∴这个梯子底端离墙有7米
（2）∵米，
∴（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°
∴
∴（米），
米米米．
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
26．（12分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长.
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
【答案】（1）CP=2cm；BP=cm；（2）当0＜t≤4或t=时，△BCP为直角三角形．
【详解】
解：（1）∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动
∴出发2秒后CP=1×2=2cm
∵∠C=90°，BC=3cm
∴BP=cm
∴CP=2cm，BP=cm；
（2）①如图1，当P在AC上运动时，
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm
∴AC=4cm，
∵动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形
∴0＜t≤4
如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形
∵ABCP=ACBC
∴×5CP=×3×4
∴CP=cm
∴AP==cm
∴AC+AP=4+=cm
∴t=÷1=(s)
综上所述，当0＜t≤4或t=时，△BCP为直角三角形．
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第一章
勾股定理（单元测试基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四组数据中，不是勾股数的是（
）
A．5，12，13
B．4，7，9
C．6，8，10
D．9，40，41
2．在平面直角坐标系中有一个点A（﹣4，3），则点A到坐标原点O的距离是（
）
A．﹣5
B．5
C．
D．
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（
）
A．∠A＝2∠B＝3∠C
B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝1：：2
D．a2＝（b＋c）（b﹣c）
4．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（
）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
7．国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长的直角边为，那么的值为（
）
A．13
B．19
C．25
D．169
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（
）
A．6
B．8
C．9
D．15
9．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，则ABEF的周长为（
）
A．25
B．26
C．27
D．28
10．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（
）
A．2
B．3
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，已知，那么数轴上点所表示的数是________．
12．若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是
___cm．
13．以直角三角形的三边分别向外作正方形，正方形A，B的面积分别是8cm2，10cm2，则正方形C的面积是__________cm2．
14．△中，，为上的一点；若，△的面积为10，则的长为_______．
15．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．
16．如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝___．
17．如图，在四边形中，，，若，则四边形的面积为_______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为____________
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）在中，的对边分别为且
（1）若，求的值．
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
20．（5分）已知：如图，在中，两直角边，．
（1）求的长；
（2）求斜边上的高的长．
21．（5分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
22．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
23．（8分）如图，一根长度为的木棒的两端、系着一根长度为的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，且为直角边，求这个点将绳自分成的两段各有多长？
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
（1）求AC的长；
（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
25．（12分）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
26．（12分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长.
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
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