23.1：图形的旋转 同步提高课时练习（含解析）

23.1：图形的旋转
1．如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ ）
A．45 B．90 C．135 D．180
2．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　）
A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'的长度为( )
A．false B．4 C．3 D．false
4．如图，把false绕点false逆时针旋转false，得到false，点false恰好落在边false上的点false处，连接false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（　　）
A． B．C． D．
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A，沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1，当点B1恰好落在斜边BC的中点时，则∠B1AC＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
9．如图，将RtfalseABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到falseA' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( )
A．70° B．65° C．60° D．55°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
11．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
12．如图，false中，false，false，false，将false绕点false顺时针旋转false得到false，则false的长为(　　)
A．2 B．4 C．5 D．6
13．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点 A 坐标是(a，b)，则经过第 2012 次变换后所得的 A 点坐标是( )
A．(a，b) B．(a，﹣b) C．(﹣a，b) D．(﹣a，﹣b)
14．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE=false；③四边形AEGF是菱形；④BC＋FG=1.5.其中结论正确的是(　　)
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
16．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转false角(0°＜false＜90°)得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角false度数为________，△ADF是等腰三角形．
A．20° B．40° C．10° D．20°或40°
18．如图，将菱形false绕点A顺时针旋转得到菱形false，使点false落在对角线false上，连接false，false，则下列结论一定正确的是（ ）
A．false B．false
C．false是等边三角形 D．false
19．如图，将△OAB绕点O顺时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB=40°，则∠AOD的大小为_____度
20．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________.
21．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点false，false重合，若固定false，将false绕着公共顶点false，按逆时针方向旋转false度false，当旋转后的false的一边与false的某一边平行时，写出所有满足条件的false的值_________．
22．如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x 轴、y 轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点的坐标为_____．
23．在平面直角坐标系中，线段false的两个端点坐标分别为false(0，0)，false(4，3)，将线段false绕点false逆时针旋转90°到false位置，则点false的坐标为_______．
24．如图，在false中，false，且false.点D是false内的一点，将false以点false为中心顺时针旋转false得到false，若点A、D、E共线，则false的度数为________.
25．一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转_________度，才能与自身重合．
26．正方形false中，点false在边false上，false，false，将线段false绕点false逆时针旋转，使点false落在直线false上E的点false处，则false的长度为______．
27．如图，false中，false，false，将false绕点false逆时针旋转false(false)得false，若false交false于点false，当false__________时，false为等腰三角形．
28．如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为_____（用含a的代数式表示）
29．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△false，若∠BAC=90°，AB=AC=false，则图中阴影部分的面积等于________．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．
31．如图，已知false中，false，将false绕点false顺时针方向旋转false到false的位置，连接false，则false__________．
32．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：__________________________________________________．
33．如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=false,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是__.?
34．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是__________．
35．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC＝2EF，试证明△BED是等腰三角形．
36．如图,已知∠BAC=30°,把△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置,使得点D，A，C在同一直线上．
（1）△ABC旋转了多少度?
（2）连接CE，试判断△AEC的形状；
（3）求 ∠AEC的度数．
37．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是　 　．
38．如图，三角形false中，false，将角形false绕点false按逆时针方向旋转后得到三角形false在旋转过程中:
false旋转中心是什么？false为多少度？
false与线段false相等的线段是什么？
false三角形false的面积是多少？
39．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上
（1）以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）设旋转后点E的对应点为F，连接EF，△AEF是什么三角形
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长
40．如图，在等腰false中，false，false，将false绕点false逆时针旋转false，得到false，连结false．
（1）求证：false；
（2）四边形false是什么形状的四边形？并说明理由；
（3）直接写出：当false分别是多少度时，①false；②false．
41．如图①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB="AC," AE是过A的一条直线, 且B、C在AE的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求证: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD(3)若直线AE绕A点旋转到图③位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD与DE,CE的数量关系．
42．如图，在平面直角坐标系中，A(－4，－2)，B(－2，－2)，C(－1，0)．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）若将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°得到△A2B2C，画出旋转后的△A2B2C；
（3）△A2B2C可由△A1B1C1绕某一点P旋转得到，请直接写出旋转中心点P的坐标为________．
43．如图1，已知直线m⊥n，垂足为点O．现有一个直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，∠B＝30°，现将这个三角形按如图方式放置，使得点A与O重合，点C落在直线m上．操作：将△ABC绕点O逆时针旋转一周，如图2所示．通过操作我们发现，当旋转一定角度α时，△ABC会被直线m（或n）分成两个三角形，其中有一个三角形的两角相等．请直接写出所有符合条件的旋转角度α．
44．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图③，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
45．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
参考答案
1．A
【解析】分析图形,周角被分成了8个角度,因此利用周角分成8份即为m的值．
【解答】360°÷8=45°．
故选A．
【点评】本题考查旋转角度的计算,关键在于根据图形看出被平分的度数．
2．A
【解析】由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，
∴旋转角为∠BAD或∠CAE，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转角，掌握定义是解题关键．
3．A
【解析】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．
【解答】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4．
根据勾股定理得到：EE′= false．
故选：A．
【点评】考查了旋转的性质和勾股定理，旋转的性质旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
4．D
【解析】
由旋转的性质可得AB'=AB，∠BAB'=50°，由等腰三角形的性质可得∠AB'B=∠ABB'=65°．
【解答】
解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，
∴AB'=AB，∠BAB'=50°，
∴false，
故选：D．
【点评】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
5．B
【解析】根据旋转的性质可得false，false，结合已知条件DC∥AB，∠CAB=65°，可得，false再由三角形的内角和定理可知false，即可得出false．
【解答】解：由旋转的性质可得false，false，
∵DC∥AB，∠CAB=65°，
∴false，
∴false，
∴false．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，综合性较强，但难度不大，解此题的关键是利用旋转的性质得出false．
6．C
【解析】根据△ABC旋转得到△DCE，得到EC=AC，根据已知条件得到BC+7+BC=17，即可求出BC．
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
∴false，E、C、B在同一直线上，
∴EC=AC，
∵BE=17，AD=7，
∴BC+7+BC=17，
∴BC=5．
故选：C
【点评】本题考查了旋转的性质，根据题意得到EC=AC，是解题关键．
7．D
【解析】根据旋转对称图形的概念进行解答即可得.
【解答】A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意，
故选D．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键.
8．B
【解析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得AB1＝BB1，再根据旋转的性质得AB1＝AB，旋转角等于∠BAB1，则可判断△ABB1为等边三角形，所以∠BAB1＝60°，从而得出结论．
【解答】解：∵点B1为斜边BC的中点，
∴AB1＝BB1，
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴AB1＝AB，旋转角等于∠BAB1，
∴AB1＝BB1＝AB，
∴△ABB1为等边三角形，
∴∠BAB1＝60°．
∴∠B1AC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考察旋转的性质，解题关键是判断出△ABB1为等边三角形.
9．B
【解析】根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【解答】∵将RtfalseABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到falseA' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
10．B
【解析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论.
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，
∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，
∴∠AB1B＝80°，
∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，
∴∠BAB1＝20°，
∴∠CAC1＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
11．D
【解答】解：
如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD=falseBC，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
false，
∴△DCF≌△GCE(SAS)，
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD=false×60°=30°,AG=falseAC=false×6=3，
∴EG=falseAG=false×3=1.5，
∴DF=1.5.
故答案为：D.
12．D
【解析】利用旋转的性质证得△ABE是等边三角形即可得到BE=AB=6.
【解答】由旋转得AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，
故选：D.
【点评】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握旋转的性质证得△ABE是等边三角形是解题的关键.
13．C
【解析】观察图形不难发现，每三次变换为一个循环组循环，用2012除以3，根据余数的情况确定最后点A所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．
【解答】由图可知，经过3次对称变换后△ABC又回到原来位置，
∵2012÷3=670…2，
∴第2012次变换后所得的A点与第2次变换后的点A的位置相同，
即与原图形关于y轴对称，
∵点A坐标是（a，b），
∴第2012次变换后所得的A点坐标（-a，b）．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，对称，确定出每3次变换为一个循环组是解题的关键．
14．C
【解析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．B
【解析】根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB，进而得知DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，之后可证△ADF≌△GDF，四边形AEGF是菱形，再根据勾股定理可知AE的长度，进而可以一一判断选出答案．
【解答】解：根据旋转的性质可知，△DGH≌△DCB，
∴DH=DB，∠H=∠CBD=45°，∠DGH=∠DCB=90°，DG=DC=AD，
在Rt△AED与Rt△GED中，AD=DG，ED=ED，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL）
∴∠ADE=∠GDE，即DE平分∠ADB，故①正确；
在△ADF和△GDF中，AD=DG，∠ADF=∠GDF，DF=DF，
∴△ADF≌△GDF（SAS）
∴AF=GF，∠DAF=∠DGF=45°
又∵∠ABD=45°
∴FG∥AE
∵∠DAC=45°，
∴∠DAC=∠H，
∴AF∥EG
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF=GF
∴平行四边形AEGF是菱形，故③正确；
∵∠H=45°，∠HAE=90°
∴AE=AH
∵AE=AF=HD－AD=BD－AD,
∵正方形ABCD的边长为1，根据勾股定理可知BD=false=false=false
即HD=false,
∴AE=false－1,
∴BE=false=false，故②正确；
∵四边形AEGF是菱形,
∴FG=AE=false－1,
∴BC+FG=1＋false－1=false，故④错误；
综上所述结论正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理和直角三角形的性质，是一道综合性较强的题，能够充分调动所学知识是解题的关键．
16．B
【解析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；

发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选B．
【点评】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
17．D
【解析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【解答】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=false（180°-α），
∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=false（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，
false（180°-α）=false（180°-α）-30°，无解，
②∠ADF=∠AFD时，
false（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，
false（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
18．D
【解析】
根据旋转以及菱形的性质，得到false，false=90false，从而得到false，说明选项A错误；根据旋转以及菱形的性质，得到false，等腰三角形底角不可能是直角，说明选项B错误；根据旋转以及菱形的性质，得到false，没有理由说明△false的内角等于60false，说明选项C错误；根据旋转以及菱形的性质，利用“SSS”即可判定选项D正确．
【解答】
连接BD交AC于点O，
∵菱形false是菱形false旋转得来的，
∴false，false，DB⊥AC，
∴false=90false，
∴false，故选项A错误；
∵菱形false是菱形false旋转得来的，
由菱形的性质可知，
false,
且false，
题中没有条件给出false，
∴false，故选项B错误；
∵四边形false是菱形，
∴false，
没有条件说明△false的内角等于60false，
∴△false不一定是等边三角形，故选项C错误；
∵菱形false是菱形false旋转得来，
∴false，false，
∴△false△false (SSS)，故选项D正确；
故选：D．
【点评】
本题主要考查了菱形及旋转的性质以及三角形全等的判定，根据菱形及旋转性质求得所需线段之间的关系以及角之间的关系是解题的关键．
19．false
【解析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=70°，而∠AOB=40°，然后根据图形即可求出∠AOD．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，
∴∠BOD=70°，
而∠AOB=40°，
∴∠AOD=70°-40°=30°．
故答案为：false ．
【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
20．2false
【解析】由题意可得EC=2，CF=4，根据勾股定理可求EF的长．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=3．
∵△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，∴DF=BE=1，∴CF=CD+DF=3+1=4，CE=BC﹣BE=3﹣1=2．
在Rt△EFC中，EFfalse．
【点评】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．false或false或false或false或false
【解析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【解答】如图1，falsefalse
如图2，false，false；
如图3，false，false；
如图4，false，false；
如图5，false，false；
综上得false或false或false或false或false．
故答案为false或false或false或false或false.
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是知道旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
22．(0，false)
【解析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可求得OB和OB′的长，由此判断点B′的坐标．
【解答】∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=false∠AOC=45false，
∴正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°后得正方形false，如图，
∴OB=OB′，
∵四边形OABC是正方形，OC=BC=1，∠BCO=90false，
∴OB=OB′=false，
∴点B对应的点B′的坐标为(0，false)．
故答案为：(0，false)．
【点评】本题主要考查了图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（-3，4）
【解析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．
【解答】解：如图，OA＝3，PA＝4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′O＝∠PAO＝90°，P′A′＝PA＝4，OA?=OA=3
∴P′点的坐标为（?3，4）．
故答案为：（?3，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化?旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标．
24．false.
【解析】先根据旋转的性质得CD=CE，∠DCE=90°，∠BEC=∠ADC，进而可得∠CDE=∠CED=45°，于是可得∠ADC的度数，即得∠BEC的度数，问题即得解决.
【解答】解：∵将false以点false为中心顺时针旋转false得到false，
∴CD=CE，∠DCE=90°，∠BEC=∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E共线，∴∠ADC=180°－∠CDE=135°，
∴∠BEC=135°，
∴false=135°－∠CED=90°.
故答案为：90°.
【点评】本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是关键.
25．false
【解析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：false，
false该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
26．2或4
【解析】根据将线段false绕点false逆时针旋转，使点false落在直线false上E的点false处，可以分两种情况，一种是在线段BC上，一种是在线段BC的延长线上，然后利用已知条件求解即可．
【解答】分两种情况：
（1）当点E落在线段BC上的点F处时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴false，DA=DC=AB=BC，
∵将线段DE绕点D逆时针旋转，使点E落在直线BC上的点F处，
∴DE=DF，
∴false，
∴AE=CF，
∵AE=1，
∴CF=1，
∵BA=BC，
∴BA-AE=BC-CF，即BE=BF，
∵BE=2，
∴BF=2．
（2）当点E落在线段BC的延长线上的F点处时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∴false，DA=DC=AB=BC，
∵将线段DE绕点D逆时针旋转，使点E落在直线BC上的点F处，
∴DE=DF，
∴false
∴AE=CF，
∵AE=1，
∴CF=1，
∵BE=2，
∴BA=AE+BE=1+2=3，
∴BC=3，
∴BF=BC+CF=3+1=4．
综上所述，BF的长度为2或4．
【点评】本题主要是通过正方形的性质应用进行求解，通过两种情况分类讨论，运用HL定理证明三角形全等可得结果．
27．false或false
【解析】根据旋转的性质可得：DC＝AC，根据等边对等角可知：∠CDA＝∠CAD，再表示出∠DAF，根据三角形外角的性质可表示出∠DFA，然后分①∠ADF＝∠DAF，②∠ADF＝∠DFA，③∠DAF＝∠DFA三种情况讨论求解．
【解答】∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转false(false)得△DEC，
∴∠DCA＝false，DC＝AC，
∴∠CDA＝∠CAD＝false,
∵∠BAC＝24°，
∴∠DAF＝∠CAD－∠BAC＝false
根据三角形的外角性质可得：∠DFA＝∠BAC＋∠DCA＝false，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当∠ADF＝∠DAF时， false，此时无解；
②当∠ADF＝∠DFA时，false，解得：false；
③当∠DAF＝∠DFA时，false，解得：false；
综上所述，旋转角false度数为false或false
故答案为：false或false
【点评】本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转前后图形全等，即对应线段相等，对应角相等，需要特别注意的是要分类讨论．
28．falsea2．
【解析】由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA可证△AOE≌△BOF，由全等三角形的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得重叠部分的面积为正方形面积的false，即可求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
在△AOE和△BOF中false ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE＝S△BOF，
∴重叠部分的面积false，
故答案为：falsea2．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE≌△BOF是本题的关键．
29．false-1
【解析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=falseBC=1，AF=FC′=sin45°AC′=falseAC′=1，进而求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=false，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=falseBC=1，AF=FC′=sin45°AC′=falseAC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=false×1×1﹣false×（false﹣1）2=false﹣1．
故答案为：false．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
30．60°
【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为60°.
31．false
【解析】如图，作辅助线,连接Bfalse，延长Bfalse交Afalse于点M，证明false≌false，得到∠MBfalse=∠MBA=30°；求出BM、falseM的长，即可解决问题.
【解答】解：如图，连接Bfalse，延长Bfalse交Afalse于点M；
由题意得：∠BAfalse=60°，BA=falseA，
∴△ABfalse为等边三角形，
∴∠ABfalse=60°，AB=falseB；
在false与false中，
false，
∴false≌false（SSS），
∴∠MBfalse=∠MBA=30°，
∴BM⊥Afalse，且AM=falseM；
由题意得：false
∴Afalse=AB=2，AM=1，
∴falseM=falseAfalse=1；
由勾股定理可求：BM=false
∴falseB=false，
故答案为：false．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形并求出Bfalse在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
32．先将图形①绕点D顺时针旋转false，再向下平移3个方格（答案不唯一）
【解析】如图（见解析），先将图形①绕点D顺时针旋转false得到图形③，再将图形③向下平移3个方格即可得到图形②．
【解答】如图，先将图形①绕点D顺时针旋转false得到图形③，再将图形③向下平移3个方格可得到图形②
故答案为：先将图形①绕点D顺时针旋转false，再向下平移3个方格．（答案不唯一）
【点评】本题考查了图形的旋转与平移，掌握图形的旋转与平移的相关概念是解题关键．
33．1+false
【解析】试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解
【解答】解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，
∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM
又∵旋转角为60°
∴∠BAN=∠CAM=60°，
∴△ACM是等边三角形
∴AC=CM=AM=4
在△ABM与△CBM中，false
∴△ABM≌△CBM （SSS）
∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°
∴∠AFB=∠AFM=90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF=AF=false
又在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°
FM=falseAF=false
∴BM=BF+FM=1+false
故本题的答案是：1+false
点评：此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用
34．15°或165°
【解析】
分情况讨论：（1）如图（1），连接AE、BF．∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∵△OEF为等边三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝60°．
∵在△OAE和△OBF中，false∴△OAE≌△OBF（SSS），
∴false．
（2）如图（2），连接AE、BF．∵在△AOE和△BOF中，false
∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE＝∠BOF，∴∠DOF＝∠COE，
∴false，∴∠AOE＝180°－15°＝165°．
综上，∠AOE的大小为15°或165°．
35．见解析
【解析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得false是false的垂直平分线，据此即可证得.
【解答】证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴DE＝BC，∠ADF＝∠ABC，
∵BC＝2EF，
∴DF＝EF，
∴DE＝2EF，
∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠ACB+∠ADE＝90°．
∵∠FCD＝∠ACB，
∴∠FCD+∠ADE＝90°，
∴∠CFD＝90°，
∴BF⊥DE，
∵EF＝FD，
∴BF垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.
36．（1）150°；（2）详见解析；（3）15°
【解析】（1）根据旋转的性质，利用补角性质即可解题；
（2）根据旋转后的对应边相等即可解题；
（3）利用外角性质即可解题．
【解答】解：（1）∵点D，A，C在同一直线上，
∴∠BAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴△ABC旋转了150°；
（2）根据旋转的性质，可知AC=AE，
∴△AEC是等腰三角形；
（3）根据旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=150°，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-∠CAE）÷2=（180°-150°）÷2=15°．
【点评】本题考查了旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．
37．（1）见解析 （2）（3,4）
【解析】（1）根据网格结构找出点A、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【解答】解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A1BC1如图所示；
（2）连接false并作其垂直平分线，连接false并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
38．（1）旋转中心为点B，∠DBE=45false（2）DE，BE，BC（3）2
【解析】（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得BE＝BC，AC＝DE，且AC＝BC，可得AC＝DE＝BE＝BC；
（3）由三角形面积公式可求解．
【解答】（1）∵∠ACB＝90false，AC＝BC＝2．∠BAC＝45false，
∴∠ABC＝45false
∵将三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到三角形BED，
∴旋转中心为点B，∠DBE＝∠ABC＝45false
（2）∵将三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转后得到三角形BED，
∴BE＝BC，AC＝DE
∵AC＝BC
∴AC＝DE＝BE＝BC
∴与线段false相等的线段是DE，BE，BC；
（3）∵BE＝BC＝2，AC＝DE＝2
∴S△BDE＝false×2×2＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
39．（1）见解析；（2）△AEF是等腰直角三角形；（3）false
【解析】（1）利用正方形的性质，可画出旋转后的图形；
（2）由旋转的性质，可得AF=AE，∠FAE=90°，即△AEF是等腰直角三角形的性质．
（3）由四边形AECF的面积为25，易知正方形的面积也为25，从而得到正方形的边长AD=5，而DE=2，再利用勾股定理即可求出AE.
【解答】解：（1）如图，△ABF即是旋转后的图形；
（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°得到△ABF，
∴AF=AE，∠FAE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形的性质．
（3）∵△ADE≌△ABF，
∴false
∴false,
∴false,
∴false,
∴false,
在Rtfalse中，DE=2，AD=5，
∴false,
【点评】此题考查了正方形的性质与旋转的性质及勾股定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
40．（1）见解析；（2）四边形ABED是菱形．理由见解析；（3）① α＝30°；② α＝60°
【解析】（1）由旋转的性质可得∠EAC=2α，∠DAE=∠BAC=α，由“SAS”可证△ABE≌△ABC，可得BE=BC；
（2）由旋转的性质可得AD=AB，BC=DE，且AB=BC，BE=BC，可证四边形ABED是菱形；
（3）由菱形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转2false，
根据旋转的性质得：
∴∠EAC=2false，∠DAE=∠BAC=false，AD=AB，AE=AC，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=2false -false =false，
∴∠BAE=∠BAC，
∵AE=AC，AB=AB，
∴△ABE≌△ABC（SAS），
∴BE=BC；
（2）答：四边形ABED是菱形．
理由如下：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转2false，
∴AD=AB，BC=DE，
∵AB=BC，BE=BC，
∴AD=AB=BE=DE，
∴四边形ABED是菱形；
（3）如图，当BE⊥AC时，延长EB交AC于H，
∵四边形ABED是菱形，
∴AD∥BE，
∵BE⊥AC，
∴AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠DAE=∠BAC=false，∠EAC=2false，
∴false +2false =90°，
∴false =30°；
如图，当BE∥AC，
∵四边形ABED是菱形，
∴AD∥BE，
又∵BE∥AC，
∴AD与AC共线，
∴∠DAE+∠EAC=180°，
∴false +2false =180°，
∴false =60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
41．(1)、证明过程见解析；(2)、BD=DE–CE；证明过程见解析；(3)、BD=DE–CE；(4)、当B,C在AE的同侧时，BD=DE–CE；当B,C在AE的异侧时，BD=DE+CE.
【解析】(1)、根据垂直得出∠ADB=∠CEA=90°，结合∠BAC=90°得出∠ABD=∠CAE，从而证明出△ABD和△ACE全等，根据全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出答案；(2)、根据第一题同样的方法得出△ABD和△ACE全等，根据全等得出BD=AE,AD=EC，然后得出结论；(3)、根据同样的方法得出结论；(4)、根据前面的结论得出答案.
【解答】(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACEfalse
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE,AD=EC
∴BD=DE+CE
(2)、∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACEfalse
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE,AD=EC
∴BD=DE–CE
(3)、同理：BD=DE–CE
(4)、归纳：由（1）（2）（3）可知：当B,C在AE的同侧时，BD =DE –CE；当B,C在AE的异侧时，∴BD=DE+CE
考点：三角形全等的证明与性质
42．（1）见解析；（2）见解析；（3）（0，4）
【解析】（1）依据平移的方向、平移的距离即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C；
（3）作A1A2和B1B2的垂直平分线即可得到旋转中心，即可写出旋转中心点P的坐标．
【解答】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C即为所求；
（3）△A2B2C可由△A1B1C1绕点P旋转得到，旋转中心为P（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了旋转及平移作图的知识，熟练掌握网格结构特点准确找出对应点的位置是解题的关键．
43．α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°．
【解析】画出图形发现，符合条件的旋转角度α一共有8个，分别利用旋转的性质和三角形的内角和即可依次求出符合题意的相等的角和旋转角．
【解答】解：设旋转后的图形为△false，
①当α＝45°时，如图1，由旋转得：∠CAfalse＝45°，
∴∠DAfalse＝45°，
∴∠falseDA＝45°，
∴∠DAfalse＝∠falseDA；
②当α＝60°时，如图2，
∵BC∥y轴，∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠DAfalse＝60°﹣30°＝30°，
∵∠false＝30°，
∴∠false＝∠DAfalse，
③当α＝135°时，如图3，
由旋转得：∠CAfalse＝135°，∴∠DAfalse＝45°，
∵∠false＝90°，∴∠ADfalse＝45°，
∴∠DAfalse＝∠ADfalse；
④当α＝150°时，如图4，
∵∠CAfalse＝150°，
∴∠DAfalse＝180°﹣150°＝30°，
∴∠falseAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠falseAD＝∠false＝30°；
⑤当α＝225°时，如图5，
∵∠CAfalse＝360°﹣225°＝135°，
∴∠DAfalse＝135°﹣90°＝45°，
∴∠ADfalse＝45°，
∴∠DAfalse＝∠ADfalse；
⑥当α＝240°时，如图6，
∵∠CAfalse＝360°﹣240°＝120°，
∴∠DAfalse＝120°﹣90°＝30°，
∴∠falseAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠falseAD＝∠false＝30°；
⑦当α＝315°时，如图7，
∵∠CAfalse＝360°﹣315°＝45°，
∴∠ADfalse＝45°，
∴∠CAfalse＝∠ADfalse；
⑧当α＝330°时，如图8，
∵∠CAfalse＝360°﹣330°＝30°，
∴∠falseAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠falseAD＝∠false＝30°．
综上所述，所有符合条件的旋转角度α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°．
【点评】本题是直角三角形的旋转变换问题，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要认真画图；明确对应线段的夹角就是旋转角，且旋转角都相等，本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，要熟练掌握．
44．（1）105°；（2）150°；（3）5或17；11或23．
【解析】（1）根据三角形的内角和定理可得false，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出false，利用内错角相等两直线平行求出false，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分false在false上方时，false，设false与false相交于false，根据两直线平行，同位角相等可得false，然后根据三角形的内角和定理列式求出false，即可得解；false在false的下方时，false，设直线false与false相交于false，根据两直线平行，内错角相等可得false，然后利用三角形的内角和定理求出false，再求出旋转角即可；②分false在false的右边时，设false与false相交于false，根据直角三角形两锐角互余求出false，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出false，再求出旋转角即可，false在false的左边时，设false与false相交于false，根据直角三角形两锐角互余求出false，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出false ，然后求出旋转角，计算即可得解．
【解答】解：（1）在false中，
false
false
false；
（2）false平分false，
false，
false，
false，
false；
（3）如图1，false在false上方时，设false与false相交于false，
false，
false，
在false中，false，
false，
false，
false旋转角为false，
false秒；
false在false的下方时，设直线false与false相交于false，
false，
false，
在false中，false，
false旋转角为false，
false秒；
综上所述，第5或17秒时，边false恰好与边false平行；
如图2，false在false的右边时，设false与false相交于false，
false，
false，
false，
false旋转角为false，
false秒，
false在false的左边时，设false与false相交于false，
false，
false，
false，
false旋转角为false，
false秒，
综上所述，第11或23秒时，直线false恰好与直线false垂直．
故答案为：5或17；11或23．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
45．（1）DE＝falseDG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为4false或3false．
【解析】（1）根据题意结论：DE=falseDG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C共线时，分别求解即可．
【解答】解：（1）结论：DE＝falseDG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
∴EF＝CM，GM＝GE，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴DE＝falseDG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，
∴△CGM≌△FGE（SAS），
∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，
∴CM∥ER，
∴∠DCM＝∠ERC，
∵∠AER+∠ADR＝180°，
∴∠EAD+∠ERD＝180°，
∵∠ERD+∠ERC＝180°，
∴∠DCM＝∠EAD，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∵EG＝GM，
∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴DE＝falseDG．
（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，
在Rt△ADC中，AC＝false＝false＝5false，
在Rt△AEC中，EC＝false＝false＝7，
∴CF＝CE﹣EF＝6，
∴CG＝falseCF＝3，
∵∠DGC＝90°，
∴DG＝false＝false＝4，
∴DE＝falseDG＝4false．
②如图3﹣3中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝3false．
综上所述，DE的长为4false或3false．
【点评】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．