24.1.2：垂直于弦的直径 同步提高课时练习（含解析）

24.1.2：垂直于弦的直径
1．如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是( )
A．false
B．false
C．false
D．false
2．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用（ ）次，就可以找到圆形工件的圆心．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（　　）
A．false B．false C．false D．false
5．下列说法中，正确的是（ ）．
A．在同圆内，平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．在同圆内，平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．在同圆内，弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在同圆内，平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
6．如图，⊙O的半径为5，AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为1的点有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP=2cm,那么过点P的最短弦的长等于（ ）
A．falsecm B．falsecm C．falsecm D．12cm
9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知false，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
10．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧false，点O是这段圆弧所在圆的圆心，false，点C是false的中点，D为AB的中点,且false，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．false B．false C．false D．false
12．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．2falsecm B．4false cm C．2falsecm或4falsecm D．2falsecm或4falsecm
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2false，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于falseEF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于falseAB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
A．2false B．10 C．4 D．5
14．一块圆形宣传标志牌如图所示，点false，false，false在false上，false垂直平分false于点false，现测得false，false，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．往直径为false的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽false，则水的最大深度为（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．已知⊙O的直径为falsecm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有（　　）
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与false交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A．22 B．24 C．false D．false
18．如图，在平面直角坐标系中有一半径为5的false和点false，B、D为false夹在两坐标轴正半轴之间的劣弧（含交点）上的两点，且false，以false，false为边作矩形false，则对角线false的最小值是（ ）
A．false B．false C．5 D．4
19．若false是false的直径，false是弦，false于点false，若false，则false____．
20．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝________．
21．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
22．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
23．己知false是false的两条弦，false．若false的直径为false,则弦false和false之间的距离是__________．
24．如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_____．
25．如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB=80cm，则水深CD约为______cm．
26．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径false为false，油面宽false为false，如果再注入一些油后，油面宽变为false，则油面上升_______
27．如图，false是半圆false的直径，false，false为弦，false于false，false交半圆false于点false，false于false，若false，则false的长为__________．
28．如图，false是圆false的弦，false，垂足为点false，将劣弧false沿弦false折叠交于false的中点false，若false，则圆false的半径为_____．
29．如图，射线false，false分别交false于点false，false和点false，false，且false． 已知false半径等于5，false． 则false的长度为__________．
30．如图，false经过矩形false的顶点false，且与false，false相交于点false，false，false，false，false在圆心false同侧.已知false，false.
（1）false的长为__________.
（2）若false的半径长为false，则false________.
31．如图，圆柱形水管的截面半径是false，阴影部分为有水部分，水面宽false，则水的最大深度是__________false．
32．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是_____
33．如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为___．
34．如图，在两个同心圆中，大圆弦false交小圆于点false、false，已知false.false与圆心false的距离false，则大圆半径与小圆半径之比为________．
35．如图所示，false的弦false，false 垂直于false，false，false，false，求false的半径.
36．已知在以点false为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于点false、false.
（1）求证：false；
（2）若大圆的半径false,小圆的半径false,且圆心false到直线false的距离为false,求false的长．
37．如图，AB为⊙O的弦，C，D为直线AB上的两点，OC=OD．
（1）尺规作图：过点O作直线AB的垂线，垂足为点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件上，求证：AC=BD．
38．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
39．如图，false是false的弦，false于false，交false于false，若false，求false的半径.
40．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
41．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
42．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．
（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；
（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．
43．如图,false在false上,false经过圆心false的线段false于点false，与false交于点false.
(1)如图1,当false半径为false,若false,求弦false的长;
(2)如图2,当false半径为false ,false,若false,求弦false的长.
44．如图所示，false、false是false的弦，false，且false，若false，false，垂足分别为false，false.求证：四边形false是正方形.
45．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A =30°， CD =2false，求⊙O的半径的长．
参考答案
1．B
【解析】根据垂径定理及等腰三角形的性质对各选项进行分析即可．
【解答】A. ∵在圆中，直径AB⊥CD于点E，∴CE=DE，故本选项正确；
B. ∵点E不一定是线段OA的中点，∴AE与OE的大小不能确定，故本选项错误；
C. ∵在圆中,直径AB⊥CD于点E,∴false，故本选项正确；
D. ∵OC=OD，∴∠C=∠D，∵AB⊥CD，∴∠COA=∠DOA,
∴false，故本选项正确.
故选B.
【点评】此题考查垂径定理及其推论，解题关键在于掌握其性质定义.
2．B
【解析】根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故选：B．
【点评】此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
3．B
【解析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】连接OC．
∵直径AB=10，
∴OC=5．
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴CD=2CE=8，∠OEC=90°，
∴CE=4，
由勾股定理得：OEfalse3．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE的长是解题的关键．
4．C
【解析】由M（0，-4），N（0，-10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．
【解答】解：∵M（0，-4），N（0，-10），
∴MN=6，
连接PM，过点P作PE⊥MN于E，
∴ME=NE=falseMN=3，
∴OE=OM+EM=4+3=7，
在Rt△PEM，PE=false=4，
∴圆心P的坐标为（4，-7）．
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
5．D
【解析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
6．A
【解析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB所在的直线距离，与1比较大小，即可判断．
【解答】解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB＝8，
∴AD＝4．
∵OA＝5，
∴OD＝false＝3，
∴CD＝OC﹣3＝5﹣3＝2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为1的点有2点；
∵DE＝5+3＝8＞1，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为1的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为1的点有4个．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与1比较大小是解题的关键．
7．A
【解析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=falseAB=3，
根据勾股定理，得：OA=false=5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
8．B
【解析】如图，过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，根据勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：如图，过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，
连接OC．根据勾股定理，得PC＝falsecm，
由垂径定理，得CD＝2CP=8falsecm．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解此题的关键首先要能够正确作出过点P的最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理解答．
9．B
【解析】
【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．C
【解析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．
【解答】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．
11．D
【解析】连接OD,由于点C是false的中点、D为AB的中点,则O、D、C三点共线、OD⊥AB，OA=OC=OB,设圆O的半径为r，运用勾股定理解答即可．
【解答】解：连接OD
∵点C是false的中点、D为AB的中点
∴O、D、C三点共线、OD⊥AB
设圆O的半径为r且r＞0,则OA=OC=OB=AB=r
在Rt△OBD中,OB=r,OD=r-5,BD=false
∴false
解得r=false或r=false（舍去）．
故答案为D．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，根据勾股定理构建关于r的方程是解答本题的关键．
12．C
【解答】连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=falseAB=false×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=false=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=falsecm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=falsecm.
故选C.
13．D
【解析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设OA交BC于T．
∵AB＝AC＝2false，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝false，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
【点评】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．B
【解析】连结false，false，设半径为r，根据垂径定理得false ，在false中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
【解答】连结false，false，如图，设半径为false，
∵false，false，
∴false，点false、false、false三点共线，
∵false，
∴false，
在false中，
∵false，，
即false，
解得false，
故选B.
【点评】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
15．C
【解析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为false，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度false的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：false，
∵⊙O的直径为false，
∴false，
在false中，由勾股定理得：false，
∴false，
∴油的最大深度为false，
故选：false．
【点评】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
16．C
【解析】
【解析】找到两个极值点，点P与点A或点B重合时OP取得最大，此时OP=5，当OP⊥AB时，OP取得最小，从而求出OP的取值范围．
【解答】解：①当点P与点A或点P重合时，OP=r=2cm；
②如图所示：
∵OP⊥AB，
∴AP=PB=falseAB=4，
在Rt△OPB中，OP=false=2（cm）．
综上可得OP的取值范围为：2cm≤OP≤falsecm．
则OP的整数值是2，3，4．其中长度是2cm的只有当OP⊥AB时一种情况，当OP=3cm、4cm各自有2种情况．则总计有5种．
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握．
17．B
【解析】
试题分析：根据题意可得直线经过定点D（3，4），则OD=5，当OD⊥BC时，BC取得最小值，根据垂径定理可得BC=24．
考点：垂径定理
18．B
【解析】连接BD，根据矩形的性质可得：AC＝BD，ED＝EB，连接OE，如图1，由垂径定理得：OE⊥DE，则OE的大小决定BD的大小，即AC的大小，所以如图2中当O、A、E共线时，此时OE最大，DE最小，即AC最小，然后设DE＝a，在直角△ODE中根据勾股定理即可列出关于a的方程，解方程即可求出a，进而可求出AC的长．
【解答】解：如图1，连接BD，交AC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，E是BD的中点，
连接OE，∴OE⊥BD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，∴OE的大小决定DE的大小，即BD的大小，AC的大小，
∴当OE最大时，DE最小，即AC最小，
如图2，当O、A、E共线时，此时OE最大，DE最小，即AC最小，
∵A（2，1），∴OA＝false，
∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE，
设DE＝a，则OE＝false+a，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝DE2+OE2，
∴false，即a2+falsea﹣10＝0，解得：a＝﹣2false（舍去）或false，
∴AC＝BD＝2a＝2false.
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、垂径定理、坐标与图形的性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握矩形的性质和垂径定理、明确当O、A、E共线时AC最小是解题的关键．
19．6
【解析】由OD⊥AC于点D，根据垂径定理得到AD=CD，即D为AC的中点，则OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得到OD=false BC，然后把OD=3代入计算即可．
【解答】∵OD⊥AC于点D，
∴AD=CD，即D为AC的中点，
∵AB是⊙O的直径，
∴点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=false BC，
∴BC=2OD=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及垂径定理的运用．熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
20．false
【解析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD=false=false=false（cm），
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=2falsecm．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．
21．false
【解答】解：设半径为R，则有：大正方形边长是a，则有
false
考点：本题考查了圆的性质
点评：此类试题属于难度较大的试题主要考查了考生对圆的性质的基本定理的考查了和基本性质的运算
22．（2，0）
【解答】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
则圆心是（2，0）．
23．1或7
【解析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE＝falseAB＝4，CF＝falseCD＝3，再根据勾股定理可计算出OF＝4，OE＝3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF?OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF．
【解答】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD．
∵false的直径为10，
∴OA=OC=5
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝falseAB＝4，CF＝falseCD＝3，
∴OE＝false＝3, OF＝false＝4
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF?OE＝1；
②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7．
则AB与CD间的距离为1或7．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
24．6
【解答】falseOM⊥AB
falseAM=BM ,
falseON⊥AC
falseAN=CN,
故MN是⊿ABC的中位线
falseBC=2MN=6.
25．20
【解析】
【解析】连接OA，设CD为x，由于C点为弧AB的中点，CD⊥AB，根据垂径定理的推理和垂径定理得到CD必过圆心0，即点O、D、C共线，AD=BD=falseAB=40，在Rt△OAD中，利用勾股定理得（50-x）2+402=502，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA、如图，设⊙O的半径为R，
∵CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD⊥AB，
∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AD=BD=falseAB=40，
在Rt△OAD中，OA=50，OD=50-x，AD=40，
∵OD2+AD2=OA2，
∴（50-x）2+402=502，解得x=20，
即水深CD约为为20．
故答案为；20
【点评】本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.
26．false或false
【解析】
【解析】本题实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【解答】解：
连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB=6分米，
∴false分米，
∵油槽直径MN为10分米．
∴OA=5分米，
∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米，即10cm；
当油面超过圆心O时，油上升了7分米，即70cm，
故答案：false或false
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
27．6
【解析】根据垂径定理得出AD=CD，再证△ADO≌△OFE，推出OF=AD=3，即可求出答案．
【解答】解：AB是半圆O的直径，AB=12，
∴OB=OA=6，
∵BF=3，
∴OF=OB-BF=3，
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
false，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴AD=OF=3，
∴AC=2AD=6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识；熟练掌握垂径定理，证明三角形全等是解题的关键．
28．false．
【解析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【解答】解：解：连接OA，设半径为x，
false将劣弧false沿弦AB折叠交于OC的中点D，
false，false，
false，
false，
false，
解得，false．
故答案为false．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
29．false
【解析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC、OP，求出∠AMO=∠CNO=90°，AM=BM=CN=DN=4，由勾股定理求出OM=ON=3，证Rt△PMO≌Rt△PNO，推出∠MPO=∠NPO，求出∠AOP=∠MPO，推出PA=OA=5，求出PM，根据勾股定理求出即可．
【解答】过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC、OP，
则∠AMO=∠CNO=90°，AM=BM=falseAB=false×8=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=5，
由勾股定理得：OM=ON=3，
在Rt△PMO和Rt△PNO中
false
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL），
∴∠MPO=∠NPO，
∵AO∥PC，
∴∠AOP=∠NPO，
∴∠AOP=∠MPO，
∴PA=OA=5，
∴PM=5+4=9，
在Rt△PMO中，由勾股定理得：false，
故答案为：false．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
30．6 false
【解析】（1）过点O作OM⊥EF，垂足为M，且交BC于点N,由垂径定理得，NH=CN,EM=FM,又由四边形ABNM为矩形，可知BN=AM，可求得HN的长，进而求出CH的长；
（2）连接OE,OH，根据勾股定理分别求出，OM,ON的长，根据AB=MN，可求得AB的 长．
【解答】解：（1）过点O作OM⊥EF，垂足为M，且交BC于点N，
∵四边形ABCD为矩形，∴OM⊥BC,
∴四边形ABNM也为矩形.
∴BN=AM.
由垂径定理可得，EM=FM=2，NH=CN.
∴BN=AM=4+2=6，
∴NH=BN-BH=6-3=3.
∴CH=2NH=6.
(2)连接OE,OH，
在Rt△EMN中，由勾股定理可得，OM=false,
在Rt△ONH中，由勾股定理可得，ON=false,
∴AB=MN=OM-ON=false-1.
故答案为：（1）6；（2）false-1.
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应边的长度．
31．1.6
【解析】如图（见解析），先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出OC的长，由此即可得．
【解答】如图，设圆心为点O，过点O作false于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA
由圆的性质可知，圆的半径为false，水的最大深度为CD的长
由垂径定理得：false
在false中，false
则false
即水的最大深度是false
故答案为：false．
【点评】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，理解题意，正确找出水的最大深度为CD的长是解题关键．
32．4
【解析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．
【解答】
当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB，
∵M为CD中点，OM过O，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
∵⊙O直径AB=8，
∴半径OC=4，
即PM=4.
【点评】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
33．5cm
【解析】首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA长．
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AE=falseAC=false×6=3（cm），AD=falseAB=false×8=4（cm），∠OEA=∠ODA=90°，
∵AB、AC是互相垂直的两条弦，
∴∠A=90°，
∴四边形OEAD是矩形，
∴OD=AE=3cm，
在Rt△OAD中，OA=false
故答案为5cm．
34．false
【解析】首先要作出两个圆的半径,连结OB、OD，结合已知条件再根据弦心距的性质和直角三角形勾股定理求出OD=falseOM，OB=falseOM，即可求出大圆与小圆的半径之比.
【解答】连结OB、OD.
∵ OM是AB的弦心距
∴ OM⊥AB OM⊥CD
∵ OM⊥AB OM⊥CD
∴ AM=BM CM=DM (弦心距平分所对弦)
∵ AB=2CD， AM=BM ，CM=DM
∴ AC=CM=DM=BD
∵ OM=falseCD
∴ OM=DM
∵ OM=DM OM⊥CD
∴ OD=falseOM (利用直角三角形勾股定理求值)
∵ DM=BD OM=DM
∴ BM=2OM
∵ BM=2OM ，OM⊥AB
∴ OB=falseOM
∵ OD=falseOM，OB=falseOM
∴ OB:OD=false
∴ 大圆与小圆的半径之比为false
【点评】此题考查垂径定理及其推论与勾股定理的结合运用，解题关键在于利用直角三角形勾股定理求出OD，OB的值.
35．圆的半径为false
【解析】
【解析】过false作弦心距false，false，连结false,根据垂径定理可得false，然后根据勾股定理求出OC的长
【解答】过false作弦心距false，false，连结false
又false，false，false
由垂径定理知false
∵false，false垂直于false，
∴false为矩形，false，
在false中，由勾股定理false
得出false，即圆的半径为false
【点评】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OC是解决问题的关键．
36．（1）见解析；（2）false.
【解析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE-CE即可得出结论．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理，则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，,
圆心o到直线AB的距离为4，即OE=4，
则CE=,false=false，AE=false=false，
∴false.
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
37．（1）作图见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）分别以A、B两点为圆心，大于falseAB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P即可；
（2）根据三线合一和垂径定理可得PC=PD，PA=PB，然后根据等式的基本性质即可得出结论．
【解答】解：（1）分别以A、B两点为圆心，大于falseAB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P，根据圆的性质和作图方法，OP⊥AB，如下图所示，点P即为所求．
（2）∵OC=OD，OP⊥AB于点P
∴PC=PD，PA=PB
∴PC-PA=PD-PB，
即AC=BD
【点评】此题考查的是用尺规作图作线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和垂径定理，掌握线段垂直平分线的作法、三线合一和垂径定理是解决此题的关键．
38．见解析
【解析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，通过证明Rt△OPB≌Rt△OQD，从而有OP＝OQ，再证明Rt△OPA≌Rt△OQA，有AP＝AQ，从而结论可证.
【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝falseBC，DQ＝falseDE，
∵BC＝DE，
∴PB＝DQ，PC＝QE，
在Rt△OPB和Rt△OQD中，
false
∴Rt△OPB≌Rt△OQD（HL），
∴OP＝OQ，
在Rt△OPA和Rt△OQA中，
false
∴Rt△OPA≌Rt△OQA（HL），
∴AP＝AQ，
∴AP+PC＝AQ+QE，
即AC＝AE．
【点评】本题主要考查垂径定理及直角三角形的判定及性质，掌握直角三角性的判定方法是解题的关键.
39．5.
【解析】连接OB，由垂径定理得BE=CE=4，在false中，根据勾股定理列方程求解.
【解答】解：连接false
false
false
设false的半径为false，则false
在false中，由勾股定理得
false，即false
解得false
false的半径为false
【点评】本题考查了圆的垂径定理，利用勾股定理列方程求解是解答此题的关键.
40．（1）r=34；（2）不需要采取紧急措施．
【解答】试题分析：（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
试题解析：（1）连结OA，
由题意得：AD=falseAB=30，OD=（r-18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，
解得，r=34；
（2）连结OA′，
∵OE=OP-PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
点睛：应用垂径定理时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此类题的关键．
41．（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【解析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=falseAB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
【解答】(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=falseAB，
∵AB=8，
∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=falseAB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点评】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
42．（1）false；（2）见解析
【解析】（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度；
（2）延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，false得出false，则∠CNE =90°，则结论可证．
【解答】解：（1）如图1，连接OC．

∵ AE=4，BE=2，
∴AB =6，
∴CO =AO=3，
∴OE =AE-AO=1，
∵CD⊥AB，
∴ CE=false
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴ CD=2CE=false．
（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．
∵CD⊥AB，
∴∠BED=90°．
∵ M为BD中点，
∴EM =falseBD =DM，
∴∠DEM=∠D，
∴∠CEN=∠DEM=∠D．
∵∠B=∠C，false
false
∴∠CNE =90°，
即ME⊥AB．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
43．(1)8 (2)false
【解析】(1)连接false，根据垂径定理求出false的长，因为false，进而在false中根据勾股定理求出false长，所以求出false的长即可;
(2) 连接false,过点D作false于点M，根据勾股定理和垂径定理求出false，可以证明false,进而求出false的长，根据所做的辅助线false，可得false为等腰直角三角形，所以可以求出false的长，然后根据false，进而求出false的长；
【解答】解：(1) 连接false，根据垂径定理求出false的长，
即：false,
false,
设false，则false，
由勾股定理得：
false,
即：false，
解得：false,
false;
(2)连接false,过点D作false于点M，如图所示：
false，
false在false中根据勾股定理可得：
false,
false,
false，
false
而false,
false,
又false 在false和false中，
false,
false,
false,
false,
falsefalse,
false,
false
false,
false
false为等腰直角三角形，
false,
把false代入到false中，
解得：false.

【点评】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
44．见解析
【解析】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=falseAB，AE=falseAC，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB=AC，所以AD=AE，于是可判断四边形ADOE是正方形．
【解答】证明：∵false于false，false于false，
∵false，false，false，
∴false，
∴false，
∴四边形false是矩形，
∵false，
∴false，
∴四边形false是正方形.
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．
45．OC=2.
【解析】连接OC, 根据垂径定理可得∠COH=90°，CD=2CH,可求出CH的长，根据30度的直角三角形的特征求出OC=2OH即可.
【解答】连接OC，

则OA=OC.
∴∠A=∠ACO=30°.
∴∠COH=60°.
∵OB⊥CD，CD=2false，
∴CH=false.
∴OH=1.
∴OC=2.
【点评】本题考查了垂径定理及30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握垂径定理及30度的直角三角形的性质.