24.1.3：弧、弦、圆心角 同步提高课时练习（含解析）

24.1.3：弧、弦、圆心角
1．下图中false是圆心角的是( )
A． B． C． D．
2．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，弦AB所对的圆心角是（　　）
A．∠AOB B．∠ACB C．∠OAB D．∠CAB
3．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ( )
A．false=false=false B．false
C．false D．false
4．已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是(　　)
A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′ C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定
5．如图，在false中，false，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图，在⊙O中，false＝false，∠A＝40°，则∠B的度数是（　　）
A．60° B．40° C．50° D．70°
7．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为（　　）
A．6 B．8 C．5false D．5false
8．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2)相等的圆心角所对的弧相等，(3)劣弧一定比优弧短，(4)直径是圆中最长的弦．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．135°
10．如图，弧 AB 等于弧CD ，false于点false，false于点false，下列结论中错误的是（ ）
A．OE=OF B．AB=CD C．∠AOB=∠COD D．OE＞OF
11．下列命题中是真命题的有（ ）
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；⑤等弧所对的圆心角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，AB是⊙O的直径，false，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52° B．57° C．66° D．78°
13．如图，在半圆⊙O中，直径AB=4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC=84°，∠BOD=36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．2false C．2false D．2
14．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．90°
15．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
16．如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，下列结论：①AD＝CD＝BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③四边形ADCO为菱形，其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
17．如图，在同圆中，弧false等于弧false的false倍，试判断false与false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．不能确定
18．如图，false是false的直径，点false，false在false上，false，false ，falsefalse，则false的半径为（ ）
A．false B．false C．false D．false
19．如图，在⊙O中，false，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____．
20．如图所示，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则________________；
(2)若false，则______________；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则______________．
21．如图，在两个同心圆中，false为60°，则false的度数为__________．
22．如图,AB是☉O的直径,false=false=false,∠COD=40°,则∠AOE的度数为____.
23．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论：____________________________．(至少填写两个)
24．如图，在半径为6的false中，劣弧false的度数是120°，则弦false的长是_______．
25．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
26．如图，把一个圆分成三个扇形，其中两个扇形面积分别占圆面积的30%、50%，则弧AB所对圆心角的度数为___________．
27．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD＝false，则∠AOD＝________，∠COD＝_________．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是false的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____．
29．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果false=false，那么____，_____，false______false．
30．如图, AB为⊙O的弦, ∠OAB=75°, 则此弦所对的优弧是圆周的________．
31．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_______，则false(只需填写一个你认为适当的条件).
32．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，∠AOC=35°，则∠BOD=__°．
33．如图，在△ABC中，∠Afalse70°，∠Bfalse55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则false的度数为________°．
34．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是false上的点，且有false，则∠OCG=___．
35．如图，在false中，false、false是两条弦，false，false，垂足分别为false、false．
false如果false，那么false与false的大小有什么关系？为什么？
false如果false，那么false与false的大小有什么关系？false与false的大小有什么关系？为什么？false与false呢？
36．如图，在false中，false，false于点false，false于点false.
（1）求证：false；
（2）若false，求四边形false的面积.
37．已知：如图，AB是⊙O的直径，M、N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，连接OC、OD．
求证：false
38．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
39．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
40．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证： false=false．
41．如图，弦AB＝CD，AB与CD相交于点E，求证：（1）false；（2）AE＝DE．
42．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：false=false；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则false成立吗？
43．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数.
44．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．
45．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
参考答案
1．B
【解析】根据圆心角的定义判断即可.
【解答】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.
如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.
故选B.
【点评】本题考查圆心角的定义,关键在于熟记定义.
2．A
【解析】根据圆心角，弧，弦的关系解答即可.
【解答】false的三个顶点在⊙O上，弦AB所对的圆心角是false
故选：A.
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，熟记圆心角的定义是解题关键.
3．A
【解析】
【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.
【解答】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，
∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,
∴DF=CE=falseAB，AD=OD，OF=BF，
∴DF=DF=BF，
则false=false=false.
故选A.
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
4．D
【解析】解:由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.
点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等的弦所对的圆心角才相等”，从而选择A，而忽略了这一命题成立的前提是“在同圆和等圆中”.
5．C
【解析】
【解析】连接BC，由false，可知弧AB=弧BC，从而AB=BC，然后根据三角形三条边的关系解答即可.
【解答】∵false，
∴弧AB=弧BC，
∴AB=BC，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2AB.
故选C.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了三角形三条边的关系.
6．D
【解析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【解答】解：∵false，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝false（180°﹣∠A）＝false×（180°﹣40°）＝70°．
故选：D．
【点评】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆的基本性质.
7．A
【解析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝false＝false＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆心角定理、勾股定理，解题的关键是应用圆心角定理和圆周角定理解决问题．
8．A
【解析】
【解析】根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．
【解答】(1)长度相等的弧是等弧，错误；
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误；
(3)在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，错误；
(4)直径是圆中最长的弦，正确；
故选A.
【点评】考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，解答此类问题注意前提条件是在同圆或等圆中.
9．B
【解答】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，如图所示：
由折叠的性质可知，OD=false OC=falseOA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB=180°-∠A-∠B=120°.
故选B．
10．D
【解析】根据圆心角、弧、弦的关系可得B、C正确，根据垂径定理和勾股定理可得A正确，D错误．
【解答】解：∵false，
∴AB＝CD，∠AOB＝∠COD，
∵false，false，
∴BE＝falseAB，DF＝falseCD，
∴BE＝DF，
又∵OB＝OD，
∴由勾股定理可知OE＝OF，
即A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．
11．B
【解析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、圆心角、弧、弦直径的关系定理判断．
【解答】解：①直径是圆中最大的弦，∴①是真命题；
②长度相等的弧不一定是等弧，∴②是假命题；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，∴③是假命题；
④在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，∴④是假命题；
⑤等弧所对的圆心角相等，⑤是真命题；
真命题有2个，故选B.
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．B
【解答】∵false，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=66°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=（180°-∠AOE）÷2=57°，
故选B.
13．B
【解析】作出点D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P，此时PC+PD最小，就等于CE的长，在△COE中求出CE长即可.
【解答】解：如图，在falseO上作出点D关于AB的对称点E,连接CE，交AB于点P，
∴PC+PD=PC+PE=CE，CE为PC+PD的最小值 ，
连接OE、DE，过O作OG⊥CE于点G，
由垂径定理，得false ，
∴∠DOB=∠EOB=36°，
∵∠BOC=84°，
∴∠COE=120°，
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE=30°，
∴OG=falseOE=1，
∴由勾股定理得GE=false，
∴CE=false .
即PC+PD的最小值为false.
故选B
【点评】本题主要考查的是垂径定理和圆的对称性，利用两点之间线段最短确定出P点是解答此题的关键.
14．D
【解析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，就可以确定弧AC所对的圆心角的大小.
【解答】作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，∴点Q为这条圆弧所在圆的圆心，∴QC＝AQ＝false，连接AC，且AC＝false，∴在△ABC中false，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠AQC＝90°，故本题正确答案为选项D.
【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，这是常用来确定圆心的方法，圆心确定就可以求得弧AC所对的圆心角的大小，确定圆心是解决本题的关键.
15．D
【解析】根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.
【解答】解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD
故选：D
【点评】本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键.
16．A
【解析】
【解析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．
【解答】∵C、D为半圆上三等分点，
∴false，
根据在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等知，AD=CD=BC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AO=OD=OC=OB，
∴△AOD≌△COD≌△COB，
∴△AOD和△COD是等边三角形，
∴OA=AD=DC=OC，
∴四边形ADCO为菱形，
∴三种说法都正确．
故选：A．
【点评】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．
17．B
【解析】先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取弧AB的中点E，连接AE、BE,根据三角形的三边关系定理可得出AB< AE+BE,从而得出AB<2CD．
【解答】连接OA、OB、OC、OD，取弧AB的中点E，连接AE、BE
∴弧AE=BE
∵弧false=弧falsefalse
∴∠AOB=2∠COD
∴弧AE=弧BE=弧CD
∴AE= BE=CD
∵false
∴false
∴false
故选：B
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系定理，掌握在同圆或等圆中，弧相等所对的圆心角相等，弦相等是解题的关键．
18．D
【解析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE=∠AOC，则DE=AC=2，利用三角形内角和可计算出∠BDE=135°，所以∠BDF=45°，从而可计算出DF=BF=2，利用勾股定理计算出BE=2false ，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．
【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，
∵∠DOC=90°，∠BOE=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴DE=AC=2，
∵∠BDE=180°-false×90°=135°，
∴∠BDF=45°，
∴DF=BF=false
在Rt△BEF，BE=false ，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=false
．
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
19．40°
【解析】
试题分析：由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
解：∵在⊙O中，false=false，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
20．(1) false，∠AOC＝∠BOC； (2) AC＝BC，∠AOC＝∠BOC； (3) false，AC＝BC．
【解析】
试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来解决.
解：本题中false所对的弦是AC，所对的圆心角是∠AOC；false所对的弦是BC，所对的圆心角是∠BOC.
（1）若AC＝BC，则false=false，∠AOC＝∠BOC；
（2）若false=false，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则false=false，AC＝BC.
21．60°
【解析】
【解析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则false的度数为60°.
【解答】∵false为60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，
则false的度数为60°.
故答案为：60°.
【点评】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
22．60°
【解析】
试题分析:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；根据,false=false=false，可得到∠COB=∠COD=∠DOE=40°；
根据∠COB+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，即可得到∠AOE的度数
解:∵false=false=false,
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,
∴∠AOE=180°-3×40°=60°.
23．OE＝OF(∠AOB＝∠COD. 本题答案不唯一．)
【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB,OF⊥CD,
∴OE=OF, ∠AOB=∠COD.
24．false
【解析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据垂径定理得到AC＝BC＝falseAB，根据圆心角、弦、弧之间的关系求出∠A，根据余弦的定义求出AC，得到答案．
【解答】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则AC＝BC＝falseAB，
∵劣弧false的度数是120°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝OA?cosA＝6×false＝3false，
∴AB＝2AC＝6false，
故答案为：6false．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系、垂径定理的应用，解题的关键是知道在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
25．60°
【解析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的false
【解答】解：∵弦AB把圆周分成1∶5的两部分，
∴false .
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
26．72°
【解析】
【解析】根据题意先求出剩下的扇形所占的百分比,然后用360°乘以剩下的扇形所占的百分比.
【解答】解：弧AB所对圆心角的度数为360°·（1-30%-50%）=72°.
【点评】本题考查扇形的圆心角度数是360°·它在总量中所占的百分比,掌握解题技巧是解题关键.
27．90° 150°或30°
【解析】如图，在△AOD中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD的度数；连接OC，易得△AOC是等边三角形，从而可得∠AOC＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD的度数．
【解答】解：如图，在△AOD中，∵false，false，
∴false，
∴∠AOD=90°；
连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°．
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°．
故答案为：90°；150°或30°．
【点评】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．
28．2false
【解析】
如下图，作点C关于直径AB的对称点C1，连接DC1，交AB于点P，此时PC+PD最短.
∵点C和点C1关于AB对称，点C是上半圆上的三等分点，
∴AB垂直平分CC1，点C1是下半圆上的三等分点，
∴PC=PC1，∠AOC1=60°，
∴PC+PD=PD+PC1=DC1，
∵点D是false的中点，
∴false为false半圆O，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOC1=∠DOA+∠AOC1=90°，
∴在Rt△DOC1中，DC1=false，
∴PC+PD的最小值为false.
29．AB=CD， false， false， = false， false， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， =
【解析】
【解析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【解答】（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，false=false，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴false=false，∠AOB=∠COD；
（3）∵false=false，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，false=false．
故答案为：AB=CD，false，false，=，false，false，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
30．false
【解析】
【解析】连接OB，求得∠O的度数，然后利用弦AB所对优弧的圆心角与360度的比即可得解.
【解答】连接OB，
易证△OAB为等腰三角形，
∴∠O=180°﹣2∠OAB=30°，
则弦AB所对的优弧是圆周的false=false.
故答案为false.
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键.
31．AB⊥CD
【解析】
【解析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧即可得到结论．
【解答】∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E
当AB⊥CD时，
false.
故答案为AB⊥CD.
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键.
32．35
【解析】因为弦AB＝CD，所以false；然后根据圆心角、弧、弦的关系定理，即可得∠BOD＝∠AOC．
【解答】∵AB＝CD（已知），
∴false；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB?∠BOC＝∠COD?∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD=35°，
故答案为：35
【点评】本题运用圆心角、弧、弦的关系定理解题，在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弦，③两条弧，④两条弦的弦心距中，有任意一组量相等，其他各组量都相等．
33．40
【解答】分析：连接OE、OF. 先利用三角形内角和定理计算出∠C=55°，再求出∠COF=∠BOE=70°，从而得出∠EOF=40°，故可得解.
详解：如图，连接OE，OF.
∵∠Afalse70°，∠Bfalse55°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=55°，
∵OC=OF,
∴∠OFC=∠C=55°，
∴∠COF=180°-∠CFO-∠C=70°，
同理，∠BOE=70°，
∴∠EOF=180°-∠COF-∠BOE=40°，
故false的度数为40°.
故答案为40.
点睛：此题考查了圆心角、弧的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
34．30°．
【解析】
解：∵false=false=false=false=false=false,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=false（180°-120°）=30°.
故答案为30°.
35．(1) OE=OF,理由详见解析;(2)详见解析.
【解析】（1）求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE=OF．
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【解答】false解：false，
理由是：∵false，false，false，false，
∴false，false，false，
∵false，
∴false，
∵在false和false中，
false
∴false，
∴false．
false解：弧false弧false，false，false，
理由是：∵false，false，
∴false，
∵在false和false中，
false
∴false，
∴false，
由垂径定理得：false，false，
∴false，
∴弧false弧false，false．
【点评】考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用．
36．（1）见解析；（2）false
【解析】（1）连接OC，先根据false得出∠AOC=∠BOC，利用角平分线的性质即可得出结论；
（2）在直角三角形中利用false的特性结合勾股定理，利用面积公式即可求得false的面积，同理可求得false的面积，继而求得答案．
【解答】（1）连接false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false；
（2）∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
同理可得false，
∴false．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
37．证明见解析
【解析】
试题分析：证明false得到：falsefalse
试题解析：连结false则false
∵false false
false
在 false与 false中
false
false
false
false
38．由AB＝CD可得弧AB＝弧CD，则可得弧AC＝弧BD，从而证得结论.
【解答】试题分析：∵AB＝CD
∴弧AB＝弧CD
∴弧AC＝弧BD
∴∠AOC＝∠BOD．
考点：圆周角定理
点评：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
39．证明见解析．
【解析】由AB=CD知false，得AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠A=∠C可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解答】解:证明：∵AB=CD，
∴false，即false，
∴false，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠A=∠C，
在△ADE和△CBE中，
false，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
40．证明见解析.
【解析】连接AG，由AB=AG，推出∠ABG=∠AGB，根据平行线性质推出∠EAD=∠ABG，∠DAG=∠AGB，推出∠EAF=∠FAG即可．
【解答】连接AG，
∵A为圆心，∴AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，
∴∠DAG=∠EAD，
∴false .
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，弧、弦、圆心角的头等等，解题的关键是求出∠EAF=∠FAG．
41．（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）由弦AB=CD得出false，进而得出false，即false；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得出∠A=∠D，根据等角对等边即可证得结论．
【解答】证明（1）∵弦AB＝CD，
∴false，
∴false，
即false；
（2）∵false，
∴∠A＝∠D，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
42．（1）证明见解析；（2）成立.
【解析】
试题分析:(1)先利用HL定理判定Rt△OCM和Rt△ODN全等,再根据全等三角形的性质可得: ∠AOM=∠BON,最后根据同圆中,相等的圆心角所对的弧相等即可求证,
(2)通过C点是OA的中点可得:OC=false,根据直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半可得∠OMC＝30°,根据直角三角形性质可得: ∠MOC＝60°,同理可得∠NOD＝60°,所以
∠MON＝60°,所以∠MOC＝∠NOD＝∠MON,根据同圆中相等的圆心角所对弧相等即可求证.
试题解析:(1)连结OM,ON,
因为OM=ON,OA=OB,
∵AC=DB,
∴OC=OD,
在Rt△OCM和Rt△ODN中,
false,
∴Rt△OCM≌Rt△ODN,
∴∠AOM=∠BON,
∴false,
(2)false.
43．48°
【解析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【解答】连接OB
则OA=OB
∵OA=BC
∴OB=BC
∴∠C=∠BOC=24°
∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48°
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答．
44．证明见解析．
【解析】根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是⊙O的直径，则false，由FD=EB，得，false，由等量减去等量仍是等量得：false，即false，由等弧对的圆周角相等，得∠D=∠B．
【解答】解：方法（一）
证明：∵AB、CD是⊙O的直径，
∴false．
∵FD=EB，
∴false．
∴false．
即false．
∴∠D=∠B．
方法（二）
证明：如图，连接CF，AE．
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵AB=CD，DF=BE，
∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．
∴∠D=∠B．
【点评】本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解．
45．见解析
【解析】
试题分析：
如图，由题意易得AC=CD=DB，故只需证AC=AE，BD=BF，就可证得结论了；连接AC、BD，通过角度计算证∠ACO=∠AEC，可得△AEC是等腰三角形，从而得AE=AC；同理可得BF=BD，就可得结论；
试题解析：
如图，连接AC、BD，
∵∠AOB=90°，点C、D是false的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∴∠CAE=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=75°，
∴∠AEC=180°-30°-75°=75°=∠OCA,
∴AE=AC，
同理可得：BF=BD，
∴AE=BF=CD.