24.1.4：圆周角 同步提高课时练习（含解析）

24.1.4：圆周角
1．如图，在⊙O中，A，B，P为false上的点，false，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．如图，E，F，G为圆上的三点，false，P点可能是圆心的是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，false是false上的三点，且点false是false上与点false，点false不同的一点，若false是直角三角形，则false必是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．有一个角是false的三角形 D．有一个角是false的三角形
4．如图，一块直角三角板的false角的顶点false落在false上，两边分别交false于false、false两点，若false的直径为8，则弦false长为（ ）
A．8 B．4 C．false D．false
5．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°．AB＝4，则⊙O的半径为 ( )
A．false B．4
C．false D．5
6．如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（　　）
A．43° B．44° C．45° D．46°
7．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，且CB＝CD，则∠CBA的度数是（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．62.5°
8．已知false，false是圆false的半径，点false，false在圆false上，且false，若false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，false是圆false上一点，false是直径，false，false，点false在圆false上且平分弧false，则false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．如图，false与x轴交于点false，false，与false轴的正半轴交于点false．若false，则点false的纵坐标为( )
A．false B．false C．false D．false
11．如图，false为false的直径，false为半圆的中点，动点false从点false出发在圆周上顺时针匀速运动，到达点false后停止运动，在点false运动过程中（不包括false、false两点），false的值（ ）
A．由小逐渐增大 B．固定不变为false C．由大逐渐减小 D．固定不变为false
12．如图，在false中，以false为直径的false交false的延长线于点false交false于点false连接false．若false，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（ ）
A．false B．false C．2false D．2false
14．如图，false是圆false的直径，false，false是圆false上的点，且false，false分别与false，false相交于点false，false，则下列结论：①false；②false平分false；③false；④false≌false，其中一定成立的是（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
15．如图，已知false是false的直径，false是弦，若false则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．如图，点false在圆上，若弦false的长度等于圆半径的false倍，则false的度数是( )．
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
19．如图，false，false，false，false是false上的四个点，false，false，则false的度数为_________.
20．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
21．如图，⊙A过点O(0，0)，C(false，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．
22．如图，⊙false的半径为false，点false为⊙false上一点，如果false，false弦false于点false，那么false的长是________．
23．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线false和直线外一点false.
求作：直线false的垂线，使它经过false.
作法：如图2.
（1）在直线false上取一点false，连接false；
（2）分别以点false和点false为圆心，大于false的长为半径作弧，两弧相交于false，false两点，连接false交false于点false；
（3）以点false为圆心，false为半径作圆，交直线false于点false（异于点false），作直线false.所以直线false就是所求作的垂线.
请你写出上述作垂线的依据：______.
24．⊙O是正方形ABCD的外接圆，若点P在⊙O上且与A，B不重合，则∠APB的大小为度_____度．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是_______．
26．如图，false是⊙false的直径，false是⊙false上一点，false的平分线交⊙false于false，且false，则false的长为_________．
27．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．
28．如图，已知，在false中,false ,false是优弧false上一点，false、false是劣弧false上不同的两点(不与false、false两点重合)，则false的度数为______．
29．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB度数为________
30．如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B
两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为___度．
31．如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是__________．
32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，外角∠DCE＝85°，则∠BAD＝_____．
33．如图，在false中，点false在false上，false则false_______________________false
34．如图，⊙O的半径为4，A、B、C均是⊙O的点，点D是∠BAC的平分线与⊙O的交点，若∠BAC=120°，则弦BD的长为 _____________ ．
35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
36．如图，false内接于false.false，D是false上任一点，false.求证：DA平分false.
37．如图，false是false外接圆上一点，false交false于false点，且false。
（1）求证：false；
（2）若false，求false的长。
38．如图，false是false的直径，false是圆上的两点，且false，false.
（1）求false的度数；
（2）求false的度数.
39．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA=a，PB=b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
40．如图，BC是false的直径，点A、D在false上，false，false，false．
（1）求证：BA平分false；
（2）求DB的长．
41．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且false，连接OA、OF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
42．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．
43．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
44．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1至∠6是六个不同位置的圆周角．
（1）分别写出与∠1、∠2相等的圆周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；
（2）若∠1－∠2=∠3－∠4，求证: AC⊥BD．
45．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交OF于点E．
（1）求证：OF⊥BD；
（2）若AB=false，DF=false，求AD的长．
参考答案
1．B
【解析】利用圆周角与圆心角的关系即可解答．
【解答】∵∠AOB=68?，
∴∠APB=34?，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的倍数关系是解答的关键．
2．C
【解析】根据圆心角与圆周角的角度关系判断即可．
【解答】同弧的圆心角是圆周角的两倍,因此C满足该条件．
故选C．
【点评】本题考查圆周角定理,关键在于牢记基础知识．
3．D
【解析】根据false是直角三角形得出false,从而得出答案．
【解答】∵false是直角三角形
∴false
∴false
故答案选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，灵活应用圆周角定理是解题关键．
4．B
【解析】连接AO，BO，求出∠AOB=2∠APB=60°，得到△AOB为等边三角形，即可求出AB长.
【解答】连接AO，BO，
∴OA=OB，
∵false所对的圆周角是∠APB，false所对的圆心角是∠AOB，∠APB=30°，
∴∠AOB=2∠APB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO，
∵直径为8，
∴OA=4，
∴AB=4，
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角和圆心角，根据题意作出辅助线，得到等边三角形是解答此题的关键．
5．A
【解答】试题解析：连接OA，OB．
false
false
∴在false中，
false
故选A.
点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
6．D
【解析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】
如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，
∴∠AOD＝40°+48°＝88°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD＝false(180°?88°)＝46°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
7．B
【解析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠CBD＝67.5°，由圆周角定理得到∠A＝∠D＝67.5°，于是得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵CB＝CD，
∴∠D＝∠CBD＝67.5°，
∴∠A＝∠D＝67.5°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝22.5°，
故选B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．D
【解析】连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据平行得到∠OCB，利用圆内等腰三角形即可求解.
【解答】连接CO，
∵false
∴∠AOC=2false
∵false
∴∠OCB=∠AOC=false
∵OC=BO，
∴false=∠OCB=false
故选D.
【点评】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.
9．D
【解析】由false是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又false在圆false上且平分弧false，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.
【解答】解：∵false是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又false在圆false上且平分弧false，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，false，false，根据勾股定理，得BC=false=2false.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=false=false.
故选:D.
【点评】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．B
【解析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=false，PA=PB=PC=2false，根据勾股定理得到CE=false，于是得到结论．
【解答】连接false，false，false，过false作false于false，false于false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∵false，false，
∴false，
∴false，
∴false，false，
∵false，false，false，
∴四边形false是矩形，
∴false，false，
∴false，
∴false，
∴点false的纵坐标为false.
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．B
【解析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等确定正确的选项即可．
【解答】如图，连接OC，
∵点C是半圆的中点，
∴∠AOC=90°，
∵点D在AB间运动，∠ADC所对的弧始终是false，
∴∠ADC的值固定不变，等于false∠AOC=false×90°=45°，
故选：B．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧或等弧所对的圆周角相等，难度不大．
12．A
【解析】
连接CD，则∠BDC=90°，然后得到∠ACD=false，由圆周角定理即可得到答案．
【解答】
解：连接CD，如图：
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴false，
∴false；
故选：A．
【点评】
本题考查了圆周角定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．
13．B
【解析】作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，利用圆周角定理得∠EOF=120°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF=2EG=falseOE，所以当⊙O的半径最小时，EF的值最小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后计算出AH的长就可得到EF的最小值．
【解答】作AH⊥BC于H，OG⊥EF于G，连接OE、OF，如图，
∵∠EOF＝2∠EAF＝2×60°＝120°，OE＝OF，
∴∠OEF＝30°，
∴OG＝falseOE，
∴EG＝falseOG，
∵OG⊥EF，
∴EG＝FG＝falseOE，
∴EF＝2EG＝falseOE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
此时AD最小，AD的最小值为AH的长，
在Rt△ABH中，∵∠ABH＝45°，
∴AH＝falseAB＝2false，
∴OE的最小值为false，
∴EF的最小值为false×false＝false．
故选：B．
【点评】考查了圆周角定理和垂径定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．C
【解析】①由直径所对圆周角是直角，再由false可知①正确；
②根据垂径定理问题可解；
③由中位线定理课证明③正确；
④根据题意全等三角形条件不足，故可知④不正确；
【解答】解：由false是圆false的直径可知，false，故false，则①正确；
∵false，false
∴false，由垂径定理可知，false
则false，故 false平分false则②正确；
由垂径定理可知，F为AD中点，O为AB中点，则有false，故③正确；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，故④不正确；
故应选：C
【点评】本题主要考查圆周角定理及垂径定理、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
15．A
【解析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据false是false的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【解答】解：∵false是弦，若false
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵false是false的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．
16．C
【解析】设圆心为false，连接false，如图，先证明false为等腰直角三角形得到false，然后根据圆周角定理确定false的度数．
【解答】解：设圆心为false，连接false，如图，
∵弦false的长度等于圆半径的false倍，
即false，
∴false，
∴false为等腰直角三角形，false ，
∴false°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．D
【解析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．
【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，
理由：
连接AC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在△ACB和△ACE中，
false，
∴△ACB≌△ACE（SAS），
∴AB＝AE；
当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ACE中，
false，
∴Rt△ACB≌Rt△ACE（HL），
∴CB＝CE；
当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，
理由：在△ACB和△ACE中，
false，
∴△ACB≌△ACE（SSS），
∴∠ACB＝∠ACE，
又∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
故选：D．
【点评】熟练掌握圆的基本性质，全等三角形的证明，是解题关键
18．D
【解析】通过证明△DEC≌△AFD得出∠DGE=90°，可知△DGC是直角三角形，则G点运动轨迹是以DC为直径的圆上，设圆的圆心为O,当A、G、O三点共线时，AG最短．由点E不与点D重合可得AG＜2．
【解答】解：∵AD=DC，∠EDC=∠FAD，DE=AF，
∴△DEC≌△AFD（SAS）．
∴∠DCE=ADF．
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，即∠DGE=90°=∠DGC．
所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处．
当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示．
此时AO=false=false=false，OG=falseDC=1，
所以AG=AO-OG=false-1．
因为点E不与点D重合，所以AG＜2．
所以false-1≤AG＜2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决动点问题的最值问题，要先分析出动点运动的轨迹，根据轨迹特征确定最大或最小值．
19．false
【解析】
【解析】直接利用圆周角定理即可得出答案.
【解答】解：false与false所对的弧都是false，
false.
故答案为：false.
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
20．3
【解析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【点评】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.
21．30°
【解析】
【解析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【解答】连接CD.
由题意得∠COD=90°，
∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（false，0），
∴OD=1，OC=false，
∴CD=false=2，
∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）?
故答案为30°.
【点评】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.
22．1
【解析】由于∠BAC=60°，根据圆周角定理可求∠BOC=120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD=60°；在Rt△BOD中，利用直角三角形中30°角的性质易求OD．
【解答】∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO=90°.
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°.
∵OD⊥弦BC，
∴∠BOD=∠BAC=60°，即∠OBD=30°，
∴OD=false OB=1，
故答案为1．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，特殊角三角函数计算，解题的关键是熟记特殊角三角函数.
23．直径所对的圆周角是直角
【解析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直线a．
【解答】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，
所以∠PEA＝90°，
则PE⊥直线a，
所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【点评】本题主要考查作图?尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．
24．45或135．
【解析】连接OA，OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA，OB，
当点P在优弧false上时，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOB＝false＝90false，
由圆周角定理得，∠APB＝false∠AOB＝45false，
当点P在劣弧false上时，∠APB＝180false﹣45false＝135false，
故答案为：45或135．
【点评】本题考查的是正方形的性质，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
25．120°
【解析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，
∴∠BCD=120°，
故答案为120°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
26．false
【解析】连接OD，由AB是直径，得∠ACB=90°，由角平分线的性质和圆周角定理，得到△AOD是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求出AD的长度.
【解答】解：连接OD，如图，
∵false是⊙false的直径，
∴∠ACB=90°，AO=DO=false，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴false；
故答案为：false.
【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理进行解题.
27．40°
【解析】
：在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
28．false
【解析】根据圆心角与弧的关系及圆周角定理不难求得false的度数．
【解答】∵false
∴弧AB的度数为false
∴false=false(false度数+false度数) =false=false
故答案为：false
【点评】本题考查了圆心角与弧的关系，及圆周角定理．
29．B
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
考点：圆周角定理．
30．45
【解析】
试题分析：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角，∴∠APB=false∠AOB=false×90°=45°．故答案为45．
考点：圆周角定理．
31．false
【解析】先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求出QC，继而求得PC的长即可．
【解答】∵动点F，E的速度相同，∴DE=CF，
又∵AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠DPE=∠APD=90°，
∴点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=false，
∴CP=QC-QP=false，
故答案为：false．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，能综合运用相关知识进行推理是解题的关键．
32．85°.
【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝∠DCE＝85°，即可解答
【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＝∠DCE＝85°，故答案为：85°.
【点评】此题考查圆周角定理，难度不大
33．false
【解析】画出false的圆周角false交false于点false，构造出false的内接四边形；根据圆周角定理求出false的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出false的度数．
【解答】如图，画出false的圆周角false交false于点false，则四边形false为false的内接四边形，
∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴false，
∵四边形false为false的内接四边形，
∴false，
∴false．
故答案为：false．
【点评】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
34．4false
【解析】连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，利用角平分线定义得∠BAD=∠CAD=false∠BAC=60°，则根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=60°，于是可判断△BCD为等边三角形，所以BD=BC，∠BDC=60°；再利用∠ABD=∠CAD得到弧DC=弧DB，根据垂径定理的推论得到DH⊥BC，BH=CH，接着根据圆周角定理计算出∠BOH=60°，然后在Rt△BOH中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=2false，则BC=2BH=4false，即BD=false．
【解答】解：连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=false∠BAC=60°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC，∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠CAD，
∴弧DC=弧DB，
∴DH⊥BC，
∴BH=CH，∠BOH=false∠BOC，
而∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=falseOB=2，
∴BH=falseOH=false，
∴BC=2BH=false，
∴BD=false．
故答案为：false．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
35．110°
【解析】先根据圆周角定理得到∠A=false∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝false∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
36．详见解析
【解析】
【解析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由false得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=∠ACB，再由已知false可得∠ADC=∠ADE，即DA平分false．
【解答】证明：false，
false.
false，
false.
false，
false，
即DA平分false.
【点评】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
37．（1）见解析；（2）false
【解析】
【解析】（1）根据题意证明false，可得false，再根据在等圆或同圆中等弧对等角，并且所对的弦也相等，可得false；
（2）由勾股定理逆定理证明false是直角三角形，可得false为圆的直径，再根据（1）中结论，结合三角函数，易得false.
【解答】（1）证明：在false和false中， false，
false， false，
false，false，
false；
（2）解： false，
false，
false，
false是直角三角形，且false，
false为圆的直径， false，
由（1）可知，在false中，false，
false，
false.
【点评】本题考查了三角形相似、圆的基本性质、勾股定理逆定理和三角函数等，灵活运用所学知识是解题关键.
38．（1）false；（2）false.
【解析】（1）根据AB是⊙O直径，得出∠ACB=90°，进而得出∠B=70°；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角∠AOC的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠ACD的度数．
【解答】（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90false，
∵∠BAC=20false，
∴∠ABC=70false，
（2）连接OC，OD，如图所示：
∴∠AOC =2∠ABC =140false，
∵false，
∴∠COD=∠AOD=false
∴∠ACD=false．
【点评】本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题．
39．（1）证明见解析；（2）当点P位于false的中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）a+b．
【解析】（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于false的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠CPB=60°，
∠ABC=∠APC=60°，．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形；
(2)解：当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB
∴四边形PBOA是菱形．
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
false，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD＋DC＝PA＋PB＝a＋b．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定．
40．（1）证明见解析；（2）false．
【解析】（1）根据平行线的性质可得false，根据半径相等利用等腰三角形的性质可得false，进而即可证明结论；
（2）如图，作false于H，false于E，则false，根据圆周角定理可得false，利用勾股定理可求得AB长，然后利用三角形面积不变求出AH长，进而求出OH长，通过证明false可得BE=OH，继而可求得答案．
【解答】（1）∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴BA平分false；
（2）如图，作false于H，false于E，则false，
∵BC为直径，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
在false中，false，
∵false，
∴false，
在false和false中，
false，
∴false，
∴false，
∴false．
【点评】本题考查了圆的综合题，涉及了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较大，准确识图，正确添加辅助线，熟练灵活运用相关知识是解题的关键．
41．（1）见解析（2）80°
【解析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：false，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；
（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x,根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+false（180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵false,
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴false,
∴false,
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AOF=3∠FOE，
设∠FOE=x，则∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=false（180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+false（180-3x）=180，
x=20°，
∴∠ABC=80°．
【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、圆的基本性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数是解题的突破点，属于中考常考题型．
42．（1）证明见解析；（2）40°.
【解析】(1) 连接BC，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明.
（2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答.
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
∴∠CEB＝∠A，
∴∠CEB＝∠D，
∴CE＝CD．
（2）解：连接AE．
∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
43．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【试题分析】
（1）由圆周角定理的推论得∠B＝∠E.∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，根据两直线平行，同旁内角互补得：∠D＋∠ECD＝180°，等量代换得：∠E＋∠ECD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AE∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得：四边形AECD为平行四边形．
(2)过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.在平行四边形AECD中，
AD＝CE.又由于AD＝BC，等量代换得：CE＝CB，在同圆中，等弦所对的弦心距相等得：
OM＝ON.又因为OM⊥BC，ON⊥CE，根据角平分线的判定定理得：CO平分∠BCE.
【试题解析】
(1)由题意得∠B＝∠E.∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，
∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形．
(2)过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又∵AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.
44．（1）∠6=∠1，∠5=∠2，180°；（2）详见解析
【解析】（1）根据圆的性质可得出与∠1、∠2相等的圆周角，然后计算∠1+∠2+∠3+∠4可得；
（2）先得出∠1+∠4=90°，从而得出∠6+∠4=90°，从而证垂直．
【解答】（1）∵∠1和∠6所对应的圆弧相同，∴∠1=∠6
同理，∠2=∠∠5
∵∠1=∠6，∠2=∠5
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠5+∠3+∠4=180°；
（2）∵∠1－∠2=∠3－∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°
∵∠1=∠6
∴∠6+∠4=90°
∴AC⊥BD．
【点评】本题考查圆周角的特点，同弧或等弧所对应的圆周角相等，解题关键是得出∠1+∠2+∠3+∠4=180．
45．（1）见解析；（2）false
【解析】（1）连接AF．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）设AD=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．
【解答】解：（1）证明：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴FC=FB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OF⊥BD．
（2）设AD=x，
∵OF⊥BD，
∴可得OF是BD的中垂线，
∴FD=FB，
∴∠1=∠2，
∴BF=DF=false，
∵OF⊥DB，
∴ED=EB．
∴OE=falseAD=false，FE=OF﹣OE=false，
在Rt△FEB中，BE2=EB2﹣FE2=false；
在Rt△OFB中，BE2=OB2﹣OE2=false；
∴false=false
解得：x=false，
即AD=false．
【点评】此题考查了圆周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．