24.3：正多边形和圆 同步提高课时练习（含解析）

24.3：正多边形和圆
1．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
2．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是false，则正方形的边长是（　　）
A．1 B．2 C． D．2false
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，下列结论正确的是（　　）
A．∠ABC+∠AOC＝180° B．∠ABC+∠ADC＝180°
C．∠OAB+∠OCB＝180° D．∠BAD+∠BCO＝180°
4．在一块半径为false的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）
A．false B．4 C．false D．2
6．设边长为false的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为false、false、false，则下列结论不正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为(　　)
A．1：2：3 B．1：false：false C．false：false：1 D．无法确定
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是false上的任意一点，则∠APB的大小是（　　）
false
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（　　）
A．false B．3﹣false C．false D．2false﹣3
11．如图，五边形false是false的内接正五边形，false是false的直径，则false的度数是（ ）
A．18° B．36° C．false D．72°
12．如图false，false，false是false上顺次3点，若false，false，false分别是false内接正三角形、正方形、正false边形的一边，则false（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
13．如图，false是false的内接正三角形，四边形false是false的内接正方形，false，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．如图，正五边形false和正三角形false都是false的内接多边形，若连接false，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．正六边形的周长为12，则它的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需（　　）个这样的正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
17．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上．若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
18．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是(　　)
A．2﹣false B．false C．false D．false
19．线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是_____°．
20．如图，下列正多边形都满足BA1=CB1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB1=108°，依此类推在正八边形中，AOB1=____°，在正n(n≥3)边形中，∠AOB1=____°．
21．用等分圆的方法，在半径为false的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若false则四叶幸运草的周长是______．(结果保留false)
22．如图，要拧开一个边长为false的正六边形螺帽，扳手张开的开口false至少为__________false．
23．若用αn表示正n边形的中心角，则边长为4的正十二边形的中心角是____．
24．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧false上不同于点B的任意一点，则∠BPC=_______度．
25．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧弧MN的长度为__________．
26．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是_____．
27．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为________．
28．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=_______°.
29．如图，正五边形false内接于false，false为false上一点，连接false，则false的度数为__________.
30．如图，false是false的直径，点false、false在false上，若false，则false______．
31．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转false，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______false，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为false，则所得正八边形的面积为_______．

32．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正边形DFHKGE，则这个正六边形的面积为_____．
33．如图，点P、M、N分别是边长为4的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为_______．
34．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____．
35．如图，已知⊙O,请用尺规做⊙O的内接正四边形ABCD，（保留作图痕迹，不写做法）
36．如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
37．如图，点false是正方形，false的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点false（异于点false），使得false（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接false求证：false．
38．如图，false是false的内接正五边形．求证：false.
39．如图，已知false．
（1）用尺规作正六边形，使得false是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．

40．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

41．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
42．如图，false内接于false，false．请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，false；
（2）在图2中，false．
43．如图， 已知多边形false中，false，false，false，false，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.
(1)在图①中，画出一个以false为边的矩形；
(2) 在图②中， 若多边形false是正六边形，试在false上画出点false，使false
44．一个边长为60米的正六边形跑道，P、Q两人同时从A处开始沿相反方向都跑一圈后停止，P以4米/秒逆时针方向、Q以5米/秒顺时针方向，PQ的距离为d米，设跑步时间为x秒，令d2＝y，
（1）跑道全长为　 　米，经过　 　秒两人第一次相遇．
（2）当P在BC上，Q在EF上时，求y关于x的函数解析式；并求相遇前当x为多少时，他们之间的距离最大．
（3）直接写出P、Q在整个运动过程中距离最大时的x的值及最大的距离．
45．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=false∠D，∠C=false∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG=2时，求⊙O的直径．
参考答案
1．B
【解析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
【解答】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．
故选B．
【点评】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
2．B
【解析】作OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.
【解答】解：
作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=false.
在Rt△ODE中,易得∠EDO为45false，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,
OD=false=false=false .
可得：ED=1，
falseAD=2ED=2，
所以B选项是正确的.
【点评】此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.
3．B
【解析】根据圆内接四边形对角互补这一性质定理判断解决即可.
【解答】根据图形发现：四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角的关系.
4．D
【解析】画出图形，作false于点false，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长即可得出AB的长.
【解答】解：依题意得false，
连接false，false，作false于点false，
∵false，
∴false，false，
∴false，
∴false．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.
5．B
【解析】根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．
【解答】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，
∴∠OCB=90°
∵正n边形的一个内角为120°，AB=4
∴∠B=60°，BC=2
∴∠O=30°，
∴OB=false=false=4.
故选B.
【点评】本题考查了正多边形与圆.正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形.
6．C
【解析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【解答】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即false，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即false，
由B中关系可得：false，解得false，则false，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点评】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
7．C
【解析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：设圆的半径为R，
如图(一)，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB?cos30°falseR，
故BC=2BDfalseR；
如图(二)，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BEfalse，
故BCfalseR；
如图(三)，
连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA?cos60°falseR，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为falseR：falseR：Rfalse：false：1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆是解题的关键.
8．B
【解析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【解答】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝false＝60°，
∴∠APC＝false∠AOC＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
9．A
【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝false＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝false（180°﹣120°）＝30°，
故选A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
10．B
【解析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP＝falseOF＝falseOC，OP＝falsePF＝false，从而得到PC＝OP＝false，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC＝false，从而得到EG的长．
【解答】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，
∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴正方形ABCD和等边△AEF都是轴对称图形，直径AC是对称轴，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，AC⊥EF，∠BCA＝45°，
∴PE＝PF＝falseEF＝3，
在Rt△OPF中，OP＝falseOF＝falseOC，
∵OP＝falsePF＝false，
∴PC＝OP＝false，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC＝false，
∴EG＝PE﹣PG＝3﹣false．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
11．C
【解析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：false五边形false是false的内接正五边形，
falsefalse，false，false，
又false是false的直径，
falsefalse，
∴false
false，
false，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【解析】连接false，false，false,则false，false,即可得到false,然后得到答案．
【解答】解：如图：连接false，false，false.
∵若false，false，false分别是false内接正三角形、正方形、正false边形的一边，
则false，false.
false.
∴false，
false是false内接正十二边形的一边.
故选：C.
【点评】本题考查了圆内接正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接正多边形的性质进行解题．
13．D
【解析】连接OA．利用正多边形的性质以及垂径定理求出∠AOP，∠AOB，∠POQ即可解决问题．
【解答】解：连接OA．
∵△PQR是等边三角形，
∴false=false，
∴OP⊥QR，
∵AD∥CB∥QR，
∴OP⊥AD，
∴false=false，
∴∠AOP=45°，
∵△PQR是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠POQ=120°，∠AOB=90°，
∴∠AOQ=120°-45°=75°，
∴∠BOQ=∠AOB-∠AOQ=90°-75°=15°，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，正方形的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．A
【解析】连接BM，OA，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，求出∠BOM，从而得到∠MOC，再根据圆周角定理得出∠MBC.
【解答】解：连接BM，OA，OC，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=false=72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM=false=120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
∴∠MOC=∠BOC-∠BOM=72°-48°=24°，
∴∠MBC=false∠MOC=12°，
故选A.
【点评】本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
15．D
【解析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【解答】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=false×360°=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为12，
∴BC=12÷6=2，
∴OB=BC=2，∴BM=falseBC=1，
∴OM=false=false，
∴S△OBC=false×BC×OM=false×2×false=false，
∴该六边形的面积为：false×6=6false．
故选：D．
【点评】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．B
【解答】如图，
∵多边形是正五边形，
∴内角是false×（5-2）×180°=108°，
∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，
36°度圆心角所对的弧长为圆周长的false，
即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形.
故选B.
17．B
【解答】解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，
由勾股定理可知：false，②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x）．∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6．∵x+y＞0，∴x+y=false，
∴CG=x+y=false．
故选B．
点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．
18．A
【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，于是得到△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到AF=EF=DH=GH，EG=FH，设AF=EF=GH=DH=k，得到EG=2AE=2falsek，AB=AD=2falsek+2k，于是得到结论．
【解答】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，
则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，
∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，
设AF＝EF＝GH＝DH＝k，
∴AE＝DG＝falsek，
∴EG＝2AE＝2falsek，
∴AB＝AD＝2falsek+2k，
∴正八边形边长与AB的比＝false，
故选A．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正八边形和正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．15°或165
【解析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
【解答】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
AB所对的圆周角的度数是15°或165°，
故答案为15°或165．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，圆周角定理，以及分类讨论的数学思想，属于基础题，分两种情况讨论是解答本题的关键．
20．135 false
【解析】根据正八边形的性质可以得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，就可以得出△ABA1≌△BCB1，就可以得出∠CBB1=∠BAA1，就可以得出∠AOB1=135°，由正三角形中∠AOB1=60°false，正方形中，∠AOB1=90°false，正五边形中，∠AOB1=108°false，…正n(n≥3)边形中，∠AOB1false，就可以得出结论．
【解答】如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，
在△ABA1和△BCB1中，
false，
∴△ABA1≌△BCB1(SAS)
∴∠BAA1=∠CBB1，
∵∠AOB1=∠ABO+∠BAA1，
∴∠AOB1=∠ABO+∠CBB1=135°；
∵在正三角形中∠AOB1=60°false，
正方形中，∠AOB1=90°false，
正五边形中，∠AOB1=108°false，
…
∴在正n(n≥3)边形中，∠AOB1false，
故答案为：135°，false．
【点评】本题考查了正多边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．false
【解析】
由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．
【解答】
由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝false×1＝false；
故答案为：false．
【点评】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
22．false
【解析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝false，
∴AM＝8×false＝4false（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝falseAC，
∴AC＝2AM＝8false（mm）．
故答案为：false.
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．
23．30?
【解析】根据正多边形的中心角的定义，可得正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
【解答】正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
故答案为：30?．
【点评】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
24．45°．
【解析】连接OB、OC，根据正方形的性质可得出∠BOC=90°，再根据圆周角定理即可求得∠BPC=45°．
【解答】连接OB、OC，则∠BOC=90°；
由圆周角定理可得：∠BPC=false∠BOC=45°．
考点：1.圆周角定理；2.正多边形和圆．
25．false
【解析】
试题分析：连接OM，ON，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．
试题解析：如图：连接OM，ON，
∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠A=108°，
∴∠MON=72°，
∵半径为1，
∴劣弧false的长度为：false．
考点：正多边形和圆
26．互补．
【解析】
【解析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为false，正多边形的一个外角等于false，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故答案为互补．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．
27．π．
【解析】
【解答】解：连接OA、OB,作OM⊥AB于M,如图所示：
则∠AOB=false=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2,AM=falseAB=1，
∴OM=false，
即正六边形外接圆的半径=2，
它的内切圆的半径=false，
所以圆环的面积=false；
故答案为π．
28．72.
【解答】试题分析：根据正多边形的性质可得：∠DEA=∠EAB=108°，根据DE=AE可得∠EAD=(180°－108°)=36°，则∠DAB=∠EAB－∠EAD=108°－36°=72°.
考点：正多边形的性质
29．false
【解析】连接OA，OE．根据正五边形false求出∠AOE的度数，再根据圆的有关性质即可解答
【解答】如图，连接OA，OE．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOE=false =72°，
∴∠APE=false ∠AOE=36°
【点评】本题考查了正多边形和圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握想关性质并且灵活运用题目的已知条件.
30．20°.
【解析】
【解析】根据圆周角定理得∠AEB=90°，根据圆的内接四边形性质得∠BED=180°-∠DCB=70°，即可求解.
【解答】
连接BE，因为false是false的直径
所以∠AEB=90°
因为点C、D在⊙O上，∠DCB=110°
所以∠BED=180°-∠DCB=70°
所以false∠AEB-∠BED=20°
故答案为20°
【点评】考核知识点：圆周角，圆内接四边形.掌握圆的性质是关键.
31．false false
【解析】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转false，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为falsex；然后根据x+x+falsex=4求得x；最后用正方形的面积减去这八个等腰直角三角形的面积即可．
【解答】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转false，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则将一个正七边形绕其中心最少旋转false所得图形与原图的重叠部分是正多边形；
由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为falsex
∴x+x+falsex=4，解得x=4-2false
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：false
∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积
=4×4-4（false）
=false．
故答案为false，false．
【点评】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关键．
32．6false．
【解析】先求出△ADE是等边三角形，再证明AD=DF=BF=2，即可求出S正六边形DFHKGE=6S△ADE．
【解答】∵六边形DFHKGE是正六边形，
∴∠EDF＝∠DFH＝∠FHK＝∠KGE＝∠GED＝120°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
同理：BH＝BF＝FH，
∴AD＝DF＝BF＝2，
∴S正六边形DFHKGE＝6S△ADE＝6×false×22＝6false，
故答案为：6false．
【点评】本题主要考查的是正多边形和圆，熟知等边三角形的性质及正六边形的性质是解题的关键．
33．18
【解析】分别过正六边形最下方的两个顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，通过正六边形每个内角120°可得到∠EAM=∠NBF=30°，EF=AB=2，解直角三角形即可得到△PMN的周长．
【解答】解：如图，分别过正六边形最下方的两个顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
由正六边形每个内角120°可得到∠EAM=∠NBF=30°，EF=AB=4，
∵M、N分别是正六边形边的中点，
∴AM=BN=false ，
∴EM=FN=false，
∴MN=ME+EF+FN=false，
∴△PMN的周长3×6=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．4﹣2false．
【解析】
【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2false小于等于4，由此即可判断．
【解答】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2false小于等于4，
∴B，M之间距离的最小值是4-2false．
故答案为：4-2false．
【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
35．见解析
【解析】根据内接正四边形的作图方法画出图，保留作图痕迹即可.
【解答】
任作一条直径，再作该直径的中垂线，顺次连接圆上的四点即可.
【点评】此题重点考察学生对圆内接正四边形作图的应用，掌握圆内接正四边形的作图方法是解题的关键.
36．（1）画图见解析； （2）画图见解析.
【解析】
【解析】（1）连接AD、BE交于点O，四边形AOEF即为所求；
（2）连接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH即为所求；或延长AB、DC交于点G，延长AF、DE交于点H，菱形AGDH即为所求．
【解答】（1）画图如下：四边形AOEF（或四边形BCDO）即为所求；
（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．
解法二：菱形AGDH即为所求．
【点评】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
37．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明false即可求解．
【解答】false如图所示，点false即为所求．
false连接false
由false得：false
false是正方形false中心，
false
false在false和false中，
false
false
false．
【点评】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
38．证明见解析
【解析】根据正五边形的性质求出false，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
【解答】证明：∵false是正五边形，
∴false.
又∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false.
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
39．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径；
（2）连接对角线以及利用正六边形性质．
【解答】解：（1）如图所示：
,
（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键.
40．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【解析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【解答】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；
(2)①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
【点评】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.
41．（1）60°；（2）90°，108°；（3）false.
【解析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，false．
【点评】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
42．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）取优弧AB上取一点D，连接AD、BD、CD，得到false（或false）即为所求；
（2）连接BO并延长，交圆于点E，连接AE，则得到∠ABE=30°，在弧BC上取一点D，连接AD、ED，则∠ADE为所求．
【解答】解：（1）false（或false）即为所求；
∵false，
∴false，
∵AC=BC，
∴false，
∴false；
（2）false即为所求．
∵false，
∴false，
∵BE是直径，
∴false，
∴∠ABE=30°，
∴false．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补，从而正确作出图形．
43．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可；
（2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得false即可．
【解答】解：（1）图①中，即为以false为边的矩形
（2）在图②中，点false即为所求，使得false
【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图．
44．（1）360，40；（2）当x＝24时，d的最大值为12false米；（3）PQ的最大值为120米．
【解析】（1）由正六边形的性质可得跑道全长；根据相遇时P、Q两人的路程之和等于跑道全长列出方程，即可求解；
（2）如图，连接BF，过点Q作QH⊥BC于H，可证四边形FBHQ是矩形，可得QH＝BF，而FB易求，则QH可得，显然PH就是Q跑x秒的路程减去P跑x秒的路程，于是PH可得，再由勾股定理即可求出y关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据正六边形的性质可知：点A，B，C，D，E，F在以AD中点为圆心，AB长为半径的圆上，则可得当PQ为直径时，PQ的值最大，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝60米，
∴跑道全长＝6×60＝360米，
∴4x+5x＝360，∴x＝40s，即经过 40秒两人第一次相遇．
故答案为：360，40；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝∠F＝∠B＝120°，
如图，连接BF，过点Q作QH⊥BC于H，
∵∠A＝120°，AB＝AF＝60米，∴∠AFB＝∠ABF＝30°，BF＝60false米，
∴∠BFE＝∠FBC＝90°，∴四边形FBHQ是矩形，
∴QH＝BF＝60false米，FQ＝BH，
∵AF+FQ＝5x米，AB+BP＝4x米，∴PH＝x米，
∴y＝QP2＝PH2+QH2，
∴y＝x2+10800，（15≤x≤24）
∴当x＝24时，d的最大值为12false米；
（3）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴点A，B，C，D，E，F在以AD中点为圆心，AB长为半径的圆上，
∵当x＝60s时，5×60＝300米，则点Q与点B重合，4×60＝240米，则点P与点E重合，
∴BE为直径时，如图，P、Q之间的距离最大，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BE=2AB=120米，即PQ的最大值为120米．
【点评】本题把正六边形和行程问题巧妙结合，主要考查了正六边形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、二次函数的性质和路程、速度与时间的关系等知识，熟练掌握正六边形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
45．(1) ∠B与∠C的度数和为120°；(2)详见解析；（3）8.
【解析】根据题意得出∠B=false∠D,∠C=false∠A,代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可;
求出△BED≌△BEO ,根据全等得出∠BDE=∠BOE ,连接OC,设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α,求出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α,∠AOC=180°-2α,即可得出等答案;
过点O作OM⊥BC,再由角与角之间关系得出边与边之间关系，进而得出解.
【解答】（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=false∠D，∠C=false∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；
（2）证明：∵在△BED和△BEO中BD＝BO，∠EBD＝∠EBO，BE＝BE∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=false∠BOE，∴∠BCF=false∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，∴∠ABC=false∠AOC=false∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=falseBO=falseBD，∵DG⊥OB，∠DBO=30°，∵DH=BG=2时，BD=4，直径=8.
【点评】本题主要考查多边形内角和定理，全等三角形判定等知识点，灵活运用是根据.