11.2.1 三角形的内角 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C=100°
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和可得∠ABC的度数，根据BD平分∠ABC可得∠ABD的度数，由平行线的性质可得结果.
2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段 、 上，连接 、 .若 ， ， ，则 的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.
3．（2021七下·赣榆期中）将一副直角三角板如图所示放置，使含 角的三角板的一条直角边和含 角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，由题意可得： ，
根据三角形的内角和为 可得：
∴
故答案为：A
【分析】根据三角板的度数以及三角形内角和可得结果.
4．（2021七下·长兴期末）如图，AB∥CD，E，F，G分别是CD，AB，AC上的点，且EG⊥GF，若∠DEG和∠BFG的平分线相交于点H，则∠EHF的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．不能确定；
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵EG⊥GF，即∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DEF+∠BFE=180°，
∴∠GEF+∠GFE+∠DEF+∠BFE=90°+180°=270°，即∠GED+∠BFG=270°，
∵∠DEG和∠BFG的平分线相交于点H，
∴∠GEH+∠GFH=135°，
∴∠EFH=360°-（∠EGF+∠GEH+∠GFH）=360°-（90°+135°）=135°，
故答案为：B.
【分析】连接EF，利用三角形内角和定理求出∠GEF+∠GFE=90°，根据平行线的性质求出∠DEF+∠BFE=180°，从而得出∠GED+∠BFG=270°，则由角平分线的定义求出∠GEH+∠GFH=135°，然后根据四边形的内角和定理求解即可.
5．（2021·武威）如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和∠ABF=90°-∠CBF=70°，根据平行线的性质得出∠ADE=∠ABF=70°.
6．（2021七下·南开期末）若一个三角形三个内角度数的比为2：5：8，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】设三个内角为： ， ， ，
由内角和可得： ，
解得： ，
则该三角形三个内角为： ，即为钝角三角形，
故答案为：C．
【分析】设三个内角为： ， ， ，根据三角形内角和是180度，列方程即可求出三个内角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。
7．（2021七下·埇桥期末）如果三角形的两个内角都小于 ，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】设 中
是钝角三角形
故答案为：C．
【分析】设 中 ，得出，由公式计算得出角C的度数范围，即可得出答案。
8．（2021七下·肇庆月考）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则
∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°
∴∠1=60°
∵∠E=60°
∴∠1=∠E
∴AC∥DE，即①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°
∴∠3=∠B=45°
∵∠2+∠3=∠DAE=90°
∴∠2=45°，即③错误
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°
∴∠BAE=30°
∵∠E=60°
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°
∴∠4+∠B=90°
∵∠B=45°
∴∠4=45°
∵∠C=45°
∴∠4=∠C，即④正确
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形的内角和定理逐个判断得到答案即可。
二、填空题
9．（2021七下·南开期末）若直角三角形的一个锐角为 ，则另一个锐角等于 ．
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可。
10．（2021·陆良模拟）一把直尺与含30°的直角三角板如图所示放置， ，则 ．
【答案】80°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
由题意得：
故答案为：
【分析】三角形内角和为180度。两直线平行，同旁内角互补。熟悉直角三角板各角的度数。解题的关键是会运用定理进行简单的推理。
11．（2021·恩施）如图，已知 ， ， ，则 .
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为30°.
【分析】根据平行线的性质得出，利用三角形的内角和可得，据此计算即可.
12．（2021七下·淮阴期末）在 中，∠A=40°，∠B=40°，则 的度数为 度.
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°，
故答案为：100.
【分析】直接根据三角形内角和定理进行求解.
13．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算出∠CAD﹣∠CAE即可。
14．（2021七下·温州期末）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH=55°，BC∥EF时，∠ABC= 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=78°，则这时∠ABC= 度
【答案】125；168
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点B作BK∥EH，
∵BC∥EF，BK∥EH，
∴∠CBK=∠EFH=55°，
∴∠ABC=180°-∠CBK=125°；
如图，延长EF、BC交于点G，再延长AB与EF的延长线交于点K，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴BG⊥FK，
∵AK∥FH，
∴∠K=∠EFH=78°，
∴∠GBK=90°-∠K=12°，
∴∠ABC=180°-12°=168°，
故答案为：125；168.
【分析】在图2中过点B作BK∥EH，由平行线的性质可得∠CBK=∠EFH，再计算补角即可求解；在图3中，延长EF、BC交于点G，再延长AB与EF的延长线交于点K，由平行线的性质得出∠K=∠EFH，再根据三角形内角和定理求出∠GBK，再计算补角即可求解.
三、解答题
15．（2021·武汉模拟）如图，点B、C、E、F都在同一直线上， 与DE的延长线交于点G， ， ，求证： .
【答案】解：∵
∴
∵ ，
，
，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由平行线的性质得出∠ACB和∠F相等，结合 ，根据三角形内角和定理分别把∠A和∠D的表示出来，然后比较即可得出结果.
16．（2021七下·凤山月考）如图，在四边形 ABCD中，延长AD至点E，已知AC平分∠DAB，∠DAB=70°，∠1=35°.
求证∶AB//CD;
【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠DAB=×70°=35°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠-1=180°-35°-35°=110°
∴∠2=180°-∠ADC=180°-110°=70°。
∴∠2=∠DAB
∴AB∥DC.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义求出∠DAC的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，由此可得到∠2的度数；即可证得∠2=∠DAB，然后利用平行线的判定可证得结论.
四、综合题
17．（2021七下·西湖期末）如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
【答案】（1）解：∵∠MON=50°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=25°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=25°；
（2）解：当∠BAD=∠ABD时，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=25°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=105°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=25°，
∴∠BAD=77.5°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=52.5°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠AOB=∠BON=25°，利用平行线的性质可得∠ABO=∠BON=25°；
（2） 分两种情况：当∠BAD=∠ABD时；当∠BAD=∠BDA时，分别求解即可.
1 / 111.2.1 三角形的内角 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段 、 上，连接 、 .若 ， ， ，则 的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
3．（2021七下·赣榆期中）将一副直角三角板如图所示放置，使含 角的三角板的一条直角边和含 角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021七下·长兴期末）如图，AB∥CD，E，F，G分别是CD，AB，AC上的点，且EG⊥GF，若∠DEG和∠BFG的平分线相交于点H，则∠EHF的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．不能确定；
5．（2021·武威）如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021七下·南开期末）若一个三角形三个内角度数的比为2：5：8，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．（2021七下·埇桥期末）如果三角形的两个内角都小于 ，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．（2021七下·肇庆月考）将一副三角板按如图放置，有下列结论：①若∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则
∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2021七下·南开期末）若直角三角形的一个锐角为 ，则另一个锐角等于 ．
10．（2021·陆良模拟）一把直尺与含30°的直角三角板如图所示放置， ，则 ．
11．（2021·恩施）如图，已知 ， ， ，则 .
12．（2021七下·淮阴期末）在 中，∠A=40°，∠B=40°，则 的度数为 度.
13．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
14．（2021七下·温州期末）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH=55°，BC∥EF时，∠ABC= 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=78°，则这时∠ABC= 度
三、解答题
15．（2021·武汉模拟）如图，点B、C、E、F都在同一直线上， 与DE的延长线交于点G， ， ，求证： .
16．（2021七下·凤山月考）如图，在四边形 ABCD中，延长AD至点E，已知AC平分∠DAB，∠DAB=70°，∠1=35°.
求证∶AB//CD;
四、综合题
17．（2021七下·西湖期末）如图，∠MON＝50°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B、C不与点O重合），且AB ON，连结AC交射线OE于点D.
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C=100°
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和可得∠ABC的度数，根据BD平分∠ABC可得∠ABD的度数，由平行线的性质可得结果.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，由题意可得： ，
根据三角形的内角和为 可得：
∴
故答案为：A
【分析】根据三角板的度数以及三角形内角和可得结果.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵EG⊥GF，即∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DEF+∠BFE=180°，
∴∠GEF+∠GFE+∠DEF+∠BFE=90°+180°=270°，即∠GED+∠BFG=270°，
∵∠DEG和∠BFG的平分线相交于点H，
∴∠GEH+∠GFH=135°，
∴∠EFH=360°-（∠EGF+∠GEH+∠GFH）=360°-（90°+135°）=135°，
故答案为：B.
【分析】连接EF，利用三角形内角和定理求出∠GEF+∠GFE=90°，根据平行线的性质求出∠DEF+∠BFE=180°，从而得出∠GED+∠BFG=270°，则由角平分线的定义求出∠GEH+∠GFH=135°，然后根据四边形的内角和定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和∠ABF=90°-∠CBF=70°，根据平行线的性质得出∠ADE=∠ABF=70°.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】设三个内角为： ， ， ，
由内角和可得： ，
解得： ，
则该三角形三个内角为： ，即为钝角三角形，
故答案为：C．
【分析】设三个内角为： ， ， ，根据三角形内角和是180度，列方程即可求出三个内角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】设 中
是钝角三角形
故答案为：C．
【分析】设 中 ，得出，由公式计算得出角C的度数范围，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°
∴∠1=60°
∵∠E=60°
∴∠1=∠E
∴AC∥DE，即①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°
∴∠3=∠B=45°
∵∠2+∠3=∠DAE=90°
∴∠2=45°，即③错误
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°
∴∠BAE=30°
∵∠E=60°
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°
∴∠4+∠B=90°
∵∠B=45°
∴∠4=45°
∵∠C=45°
∴∠4=∠C，即④正确
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形的内角和定理逐个判断得到答案即可。
9．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可。
10．【答案】80°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
由题意得：
故答案为：
【分析】三角形内角和为180度。两直线平行，同旁内角互补。熟悉直角三角板各角的度数。解题的关键是会运用定理进行简单的推理。
11．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为30°.
【分析】根据平行线的性质得出，利用三角形的内角和可得，据此计算即可.
12．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°，
故答案为：100.
【分析】直接根据三角形内角和定理进行求解.
13．【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算出∠CAD﹣∠CAE即可。
14．【答案】125；168
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点B作BK∥EH，
∵BC∥EF，BK∥EH，
∴∠CBK=∠EFH=55°，
∴∠ABC=180°-∠CBK=125°；
如图，延长EF、BC交于点G，再延长AB与EF的延长线交于点K，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴BG⊥FK，
∵AK∥FH，
∴∠K=∠EFH=78°，
∴∠GBK=90°-∠K=12°，
∴∠ABC=180°-12°=168°，
故答案为：125；168.
【分析】在图2中过点B作BK∥EH，由平行线的性质可得∠CBK=∠EFH，再计算补角即可求解；在图3中，延长EF、BC交于点G，再延长AB与EF的延长线交于点K，由平行线的性质得出∠K=∠EFH，再根据三角形内角和定理求出∠GBK，再计算补角即可求解.
15．【答案】解：∵
∴
∵ ，
，
，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由平行线的性质得出∠ACB和∠F相等，结合 ，根据三角形内角和定理分别把∠A和∠D的表示出来，然后比较即可得出结果.
16．【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠DAB=×70°=35°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠-1=180°-35°-35°=110°
∴∠2=180°-∠ADC=180°-110°=70°。
∴∠2=∠DAB
∴AB∥DC.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义求出∠DAC的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，由此可得到∠2的度数；即可证得∠2=∠DAB，然后利用平行线的判定可证得结论.
17．【答案】（1）解：∵∠MON=50°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=25°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=∠BON=25°；
（2）解：当∠BAD=∠ABD时，
∵∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=25°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=105°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=25°，
∴∠BAD=77.5°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=52.5°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠AOB=∠BON=25°，利用平行线的性质可得∠ABO=∠BON=25°；
（2） 分两种情况：当∠BAD=∠ABD时；当∠BAD=∠BDA时，分别求解即可.
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