11.2.2 三角形的外角 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°
则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠1＝∠2+∠3，据此解答即可.
2．（2021·十堰）如图，直线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出∠3=∠2+ ∠C，据此计算即可.
3．（2021·新昌模拟）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中 的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由图可得：∠2-∠1=45°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质求解.
4．（2021七下·龙岩期末）如图，已知 ，则 的值（ ）
A．不确定 B．等于1 C．等于2 D．大于2
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据三角形的外角性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠ECD，
∴∠ECD=∠ABF+∠BAF，
∵∠BAF=∠EAF，
∴∠BAE=2∠BAF，
∴∠AEC+∠ABF=∠BAE+∠ABF+∠ABF=2∠BAF+2∠ABF=2（∠BAF+∠ABF），
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，由平行线的性质可得∠AFE=∠ECD，由已知条件可推出∠BAE=2∠BAF，进一步得到∠AEC+∠ABF=2(∠BAF+∠ABF)，据此求解.
5．（2021·乐山）如图，已知直线 、 、 两两相交，且 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵ ，
∴∠2=90°；
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义求出∠2的度数，再利用对顶角相等，可求出∠1的度数，然后连同三角形外角的性质，可求出 β 的度数.
6．（2021·攸县模拟）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a//b，c与d相交于点O，则α=（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵a//b，∠OCD=79°，
∴∠OAB=∠OCD=79°，
∵∠OBE是△OAB的一个外角，
∴α=112°-79°=33°，
故答案为：B.
【分析】如图，根据平行线的性质可得∠OAB=∠OCD=79°，根据三角形外角性质即可得答案.
7．（2021·太原模拟）如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，
∵l1∥l2，∠1=120°，
∴∠4=180°-∠1=180°-120°=60°，
∴∠3=∠2-∠4=100°-60°=40°．
故答案为：C．
【分析】延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，根据平行线的性质得出∠4=180°-∠1=60°，根据三角形外角的性质得出∠3=∠2-∠4，据此即得结论.
8．（2019七下·新华期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平分
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】A. ∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A不符合题意.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B不符合题意.
C. 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90° ∠ABD，
故C不符合题意；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90° ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论符合题意．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故不符合题意．
二、填空题
9．（2021七下·罗湖期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝53°，∠A＝30°，则∠2= °．
【答案】23
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵a∥b，
∴∠3=∠1=53°，
∵∠3=∠2+∠A，
∴∠2=∠3-∠A=53°-30°=23°.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=53°，根据三角形外角的性质得出∠2=∠3-∠A，据此计算即可.
10．（2021·通州模拟）如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3= .
【答案】110°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：延长直线，
∵a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，
又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2-∠3=∠5=110°
故答案为：110°.
【分析】先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.
11．（2020八上·南宁期中）如图所示，∠1，∠2 的大小关系是∠1 ∠2.
【答案】＜
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形外角的性质可得：∠2=∠1+∠3，
∵∠3＞0°，
∴∠1＜∠2，
故答案为：＜
【分析】由三角形外角的性质可得∠2=∠1+∠3，结合∠3＞0°可得结论.
12．（2021七下·黄埔期末）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是 °．
【答案】23
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BAE＝92°，
∵∠DCE＝∠EFD+∠E＝115°，∴∠E＝115°－92°=23°，
故答案为：23°．
【分析】延长DC交AE于点F，根据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角的性质，即可得到∠E的度数。
13．（2021·成都模拟）如图，直线 ，直线 分别与 ，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧交 于点 ，交AB于点 ，②分别以C、D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 交 于点F，若∠ABP=70°，则 .
【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，
∴∠NAF=∠BFA，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∵∠ABP=∠BFA+∠BAF，
∴∠ABP=2∠BFA=70°，
∴∠AFB=70°÷2=35°，
故答案为：35°.
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解.
14．（2020七下·偃师月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4= 度.
【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∴ （∠A＋∠ABC）＝ ∠ABC＋∠A1，
∴∠A1＝ ∠A＝32°，
同理可得：∠A2＝ ∠A1＝16°，∠A3＝ ∠A2＝ ∠A =8°…∠A4＝ ∠A3=4°
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可求出∠A1＝ ∠A＝32°，同理可求出∠A2和∠A3和∠A4
三、解答题
15．（2021七下·相城月考）将一副直角三角尺 和 如图放置，其中 ， ， ，若 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AE与BC平行.理由：
∵∠AFD是△AEF的外角， ， ，
∴∠EAF=∠AFD-∠AED=75°-45°=30°，
又∵∠BCA=30°，
∴∠EAF=∠BCA，
∴AE∥BC.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形外角的性质可得：∠EAF=∠AFD-∠AED=30°，进而推出∠EAF=∠BCA，然后结合平行线的判定定理进行证明.
16．（2021七下·江阴期中）如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=32°，
①求∠DEF的度数；
②若∠F比∠ACF大60°，求∠B的度数.
【答案】解：①∵DE⊥AB，∴∠ADG=90°，∴∠AGE=90°+∠A=90°+32°=122°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠AGE=122°；
②∵EF∥AC，∴∠F+∠ACF=180°，而∠F-∠ACF=60°，∴∠ACF=60°，∴∠ACF=∠B+∠A，∴∠B=60°-32°=28°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】①根据三角形外角和可得∠AGE的度数，再根据平行线的性质可得∠DEF ；
②根据 EF∥AC可得 ∠F+∠ACF=180°， 再根据 ∠F比∠ACF大60° 可得 ∠ACF ，由三角形外角可得∠B的度数.
17．（2020七下·鼓楼期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角
∴__▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵_▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】证明：证法 、 、 是 的三个外角.
， ， .
，
.
；
证法 平角等于 ，
，
.
，
.
故答案为： ， ， ； .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：要求证 ，根据三角形外角性质得到 ， ， ，则 ，然后根据三角形内角和定理即可得到结论；证法2：根据平角的定义得到 ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.
1 / 111.2.2 三角形的外角 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·十堰）如图，直线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新昌模拟）三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中 的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
4．（2021七下·龙岩期末）如图，已知 ，则 的值（ ）
A．不确定 B．等于1 C．等于2 D．大于2
5．（2021·乐山）如图，已知直线 、 、 两两相交，且 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·攸县模拟）如图所示，直线a、b被直线c、d所截，且a//b，c与d相交于点O，则α=（ ）
A．11° B．33° C．43° D．68°
7．（2021·太原模拟）如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
8．（2019七下·新华期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平分
二、填空题
9．（2021七下·罗湖期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝53°，∠A＝30°，则∠2= °．
10．（2021·通州模拟）如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3= .
11．（2020八上·南宁期中）如图所示，∠1，∠2 的大小关系是∠1 ∠2.
12．（2021七下·黄埔期末）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是 °．
13．（2021·成都模拟）如图，直线 ，直线 分别与 ，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 为圆心，以任意长为半径作弧交 于点 ，交AB于点 ，②分别以C、D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 交 于点F，若∠ABP=70°，则 .
14．（2020七下·偃师月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4= 度.
三、解答题
15．（2021七下·相城月考）将一副直角三角尺 和 如图放置，其中 ， ， ，若 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由.
16．（2021七下·江阴期中）如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=32°，
①求∠DEF的度数；
②若∠F比∠ACF大60°，求∠B的度数.
17．（2020七下·鼓楼期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角
∴__▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵_▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°
则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠1＝∠2+∠3，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出∠3=∠2+ ∠C，据此计算即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由图可得：∠2-∠1=45°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据三角形的外角性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠ECD，
∴∠ECD=∠ABF+∠BAF，
∵∠BAF=∠EAF，
∴∠BAE=2∠BAF，
∴∠AEC+∠ABF=∠BAE+∠ABF+∠ABF=2∠BAF+2∠ABF=2（∠BAF+∠ABF），
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得：∠AFE=∠ABF+∠BAF，∠AEC=∠BAE+∠ABF，由平行线的性质可得∠AFE=∠ECD，由已知条件可推出∠BAE=2∠BAF，进一步得到∠AEC+∠ABF=2(∠BAF+∠ABF)，据此求解.
5．【答案】C
【知识点】垂线；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵ ，
∴∠2=90°；
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义求出∠2的度数，再利用对顶角相等，可求出∠1的度数，然后连同三角形外角的性质，可求出 β 的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵a//b，∠OCD=79°，
∴∠OAB=∠OCD=79°，
∵∠OBE是△OAB的一个外角，
∴α=112°-79°=33°，
故答案为：B.
【分析】如图，根据平行线的性质可得∠OAB=∠OCD=79°，根据三角形外角性质即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，
∵l1∥l2，∠1=120°，
∴∠4=180°-∠1=180°-120°=60°，
∴∠3=∠2-∠4=100°-60°=40°．
故答案为：C．
【分析】延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，根据平行线的性质得出∠4=180°-∠1=60°，根据三角形外角的性质得出∠3=∠2-∠4，据此即得结论.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】A. ∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A不符合题意.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B不符合题意.
C. 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90° ∠ABD，
故C不符合题意；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90° ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论符合题意．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故不符合题意．
9．【答案】23
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵a∥b，
∴∠3=∠1=53°，
∵∠3=∠2+∠A，
∴∠2=∠3-∠A=53°-30°=23°.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=53°，根据三角形外角的性质得出∠2=∠3-∠A，据此计算即可.
10．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：延长直线，
∵a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，
又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2-∠3=∠5=110°
故答案为：110°.
【分析】先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.
11．【答案】＜
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形外角的性质可得：∠2=∠1+∠3，
∵∠3＞0°，
∴∠1＜∠2，
故答案为：＜
【分析】由三角形外角的性质可得∠2=∠1+∠3，结合∠3＞0°可得结论.
12．【答案】23
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BAE＝92°，
∵∠DCE＝∠EFD+∠E＝115°，∴∠E＝115°－92°=23°，
故答案为：23°．
【分析】延长DC交AE于点F，根据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角的性质，即可得到∠E的度数。
13．【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，
∴∠NAF=∠BFA，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF，
∵∠ABP=∠BFA+∠BAF，
∴∠ABP=2∠BFA=70°，
∴∠AFB=70°÷2=35°，
故答案为：35°.
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解.
14．【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∴ （∠A＋∠ABC）＝ ∠ABC＋∠A1，
∴∠A1＝ ∠A＝32°，
同理可得：∠A2＝ ∠A1＝16°，∠A3＝ ∠A2＝ ∠A =8°…∠A4＝ ∠A3=4°
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可求出∠A1＝ ∠A＝32°，同理可求出∠A2和∠A3和∠A4
15．【答案】解：AE与BC平行.理由：
∵∠AFD是△AEF的外角， ， ，
∴∠EAF=∠AFD-∠AED=75°-45°=30°，
又∵∠BCA=30°，
∴∠EAF=∠BCA，
∴AE∥BC.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】由三角形外角的性质可得：∠EAF=∠AFD-∠AED=30°，进而推出∠EAF=∠BCA，然后结合平行线的判定定理进行证明.
16．【答案】解：①∵DE⊥AB，∴∠ADG=90°，∴∠AGE=90°+∠A=90°+32°=122°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠AGE=122°；
②∵EF∥AC，∴∠F+∠ACF=180°，而∠F-∠ACF=60°，∴∠ACF=60°，∴∠ACF=∠B+∠A，∴∠B=60°-32°=28°.
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】①根据三角形外角和可得∠AGE的度数，再根据平行线的性质可得∠DEF ；
②根据 EF∥AC可得 ∠F+∠ACF=180°， 再根据 ∠F比∠ACF大60° 可得 ∠ACF ，由三角形外角可得∠B的度数.
17．【答案】证明：证法 、 、 是 的三个外角.
， ， .
，
.
；
证法 平角等于 ，
，
.
，
.
故答案为： ， ， ； .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】证法1：要求证 ，根据三角形外角性质得到 ， ， ，则 ，然后根据三角形内角和定理即可得到结论；证法2：根据平角的定义得到 ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.
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