11.3 多边形及其内角和 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·杭州期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ）
A． 条 B． 条 C．3条 D． 条
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，
故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，
故答案为：C.
【分析】由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，然后将n=6代入计算即可.
2．（2020七上·西安月考）过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（ ）边形
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴ ，
解得 .
故答案为：D.
【分析】根据n边形从一个顶点出发可作（n-3）条对角线，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
3．（2020七上·龙华期末）n边形所有对角线的条数有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：n边形共有 条对角线．
故答案为：C．
【分析】根据多边形的边数与对角线的条数之间的关系式进行判断．
多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有 条．
4．（2021八下·吴兴期末）把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°，内角和增加了180°，说明多边形增加了一边。故x=1.
故答案为：A
【分析】多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）
多边形外角和为360°
从多边形内角和定理可知：多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°.
5．（2021七下·苏州期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案.若 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的度数无法确定
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°，
可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，
∴∠5=360°-∠1-∠2-∠3-∠4，
∴∠5=360°-75°-75°-65°-65°=80°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，结合已知即可求出∠5的度数.
6．（2021八下·新华期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故答案为：B．
【分析】对于每一种剪法都得到左右两个多边形，运用内角和公式分别计算其内角和度数，然后判断即可.
7．（2021·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；多边形内角与外角；三角形的重心及应用
【解析】【解答】A、五边形的内角和是 ，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式、三角形三边关系、平行线的性质及三角形重心的性质分别进行判断即可.
8．（2021·扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 、 、 、 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用三角形的内角和求出∠CBD+∠CDB=180°-∠BCD=80°，根据四边形内角和为360°，可得∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB，据此计算即可.
9．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
10．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
二、填空题
11．（2021八下·鄞州期末）一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形的边数是 。
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：每个外角=180°-150°=30°，
∴n=360÷30°=12，
故答案为：12.
【分析】根据邻补角的性质求出每个外角的度数，再根据多边形外角和公式求边数即可.
12．（2021八下·信都期末）如图，则 的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】因为四边形的内角和为，所以，解得。
【分析】利用四边形的内角和为360度列出方程求解即可。
13．（2021八下·济南期末）如图， 的度数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理知，
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
故答案是：360°．
【分析】利用多边形的外角和定理计算求解即可。
14．（2021八下·长宁期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180的整数倍数，
是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720，
故多边形的内角和为720°，
这个凸多边形的边数为： +2=6，
故答案为：6．
【分析】先求出多边形的内角和为720°，再求解即可。
15．（2021·燕山模拟）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 ．
【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的外角和是 ．
故答案为： ．
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
16．（2021·盐田模拟）如图，如图1将矩形ABCD剪2刀得3个角，其和为360°；如图2，剪3刀得4个角，其和为540°；
如图 3，剪4刀得5个角，其和为720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）个角，其和为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
，
设剪n刀得 个角的和为x，则所得多边形的角的个数为 个，
由多边形的内角和公式得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】先求出∠C=∠D=90°，再求出，最后计算求解即可。
17．（2020七下·建湖月考）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ．
【答案】240m
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷15°=24，
∴小亮所走的路程是=24×10=240m.
故答案为：240m.
【分析】根据小亮的走法可知，他行走的轨迹正好是一个正多边形，先根据正多边形的外角和定理求出边数，则小亮的行走的总路程可求.
三、解答题
18．（2021七下·相城月考）如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 ，求这个多边形的内角和.
【答案】解：设外角为x°，
x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
（12-2）×180=1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设外角为x°，由题意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度数，然后利用360°除以外角的度数求出边数，最后结合多边形内角和公式进行求解.
19．（2021八上·灞桥期末）小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，求 的度数.
【答案】解：如图，由三角形的外角的性质可得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解j∠E+∠F=90°， 再利用四边形的内角和求解∠5+∠6=240°， 根据邻补角的定义求出∠3+∠4=120°， 从而可得结论.
四、作图题
20．（1）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）多边形的内角和与多边形的边数有关，边数每增加一边，其内角和就增加180°； ①截线 过多边形两边进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形增加一条，故内角和比原多边形的内角和增加了180° ； ②截线过多边形一边与一个顶点进行剪截， 新多边形的边数就不会增加，故新多边形的内角和与原多边形的内角和相等； ③截线过多边形两个顶点进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形减少一边，增故新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°；
（2） 设新多边形的边数为n， 新多边形的内角和为 （n﹣2） 180° ，又新多边形的内角和为2520° ，从而列出方程，求解得出n的值，再根据（1）所得的结论即可求出原多边形的边数。
五、综合题
21．（2021七下·卧龙期末）如图
（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，
如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
由此可得 ， 与 ， 的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ， ， 分别是其外角 和 的平分线，若 ，求 的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形 中， ， 和 是它的两个外角，且 ， ，求 的度数.
【答案】（1）∠1+∠2=∠A+∠D
（2）解：∵
∴
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线
∴∠ADE=
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
∴ + = + ，
故答案为： + = + ；
【分析】（1）由四边形的内角和可得，利用邻补角的定义可得，从而可得 + = + ；
（2） 由，可得 ，由角平分线的定义可得∠ADE= ，从而得出，利用三角形的内角和可得；
（3）利用四边形内角和可得，即得，从而得出，由于，利用四边形内角和等于360°即可求出∠P的度数.
1 / 111.3 多边形及其内角和 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·杭州期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ）
A． 条 B． 条 C．3条 D． 条
2．（2020七上·西安月考）过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（ ）边形
A．七 B．八 C．九 D．十
3．（2020七上·龙华期末）n边形所有对角线的条数有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
4．（2021八下·吴兴期末）把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021七下·苏州期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案.若 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的度数无法确定
6．（2021八下·新华期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
7．（2021·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
8．（2021·扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接 、 、 、 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
10．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
二、填空题
11．（2021八下·鄞州期末）一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形的边数是 。
12．（2021八下·信都期末）如图，则 的度数为 ．
13．（2021八下·济南期末）如图， 的度数为 ．
14．（2021八下·长宁期末）小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为 ．
15．（2021·燕山模拟）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 ．
16．（2021·盐田模拟）如图，如图1将矩形ABCD剪2刀得3个角，其和为360°；如图2，剪3刀得4个角，其和为540°；
如图 3，剪4刀得5个角，其和为720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）个角，其和为 ．
17．（2020七下·建湖月考）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ．
三、解答题
18．（2021七下·相城月考）如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 ，求这个多边形的内角和.
19．（2021八上·灞桥期末）小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，求 的度数.
四、作图题
20．（1）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
五、综合题
21．（2021七下·卧龙期末）如图
（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，
如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
由此可得 ， 与 ， 的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ， ， 分别是其外角 和 的平分线，若 ，求 的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形 中， ， 和 是它的两个外角，且 ， ，求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，
故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，
故答案为：C.
【分析】由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，然后将n=6代入计算即可.
2．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴ ，
解得 .
故答案为：D.
【分析】根据n边形从一个顶点出发可作（n-3）条对角线，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
3．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：n边形共有 条对角线．
故答案为：C．
【分析】根据多边形的边数与对角线的条数之间的关系式进行判断．
多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有 条．
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°，内角和增加了180°，说明多边形增加了一边。故x=1.
故答案为：A
【分析】多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）
多边形外角和为360°
从多边形内角和定理可知：多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°.
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°，
可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，
∴∠5=360°-∠1-∠2-∠3-∠4，
∴∠5=360°-75°-75°-65°-65°=80°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，结合已知即可求出∠5的度数.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故答案为：B．
【分析】对于每一种剪法都得到左右两个多边形，运用内角和公式分别计算其内角和度数，然后判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；多边形内角与外角；三角形的重心及应用
【解析】【解答】A、五边形的内角和是 ，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式、三角形三边关系、平行线的性质及三角形重心的性质分别进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用三角形的内角和求出∠CBD+∠CDB=180°-∠BCD=80°，根据四边形内角和为360°，可得∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB，据此计算即可.
9．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
11．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：每个外角=180°-150°=30°，
∴n=360÷30°=12，
故答案为：12.
【分析】根据邻补角的性质求出每个外角的度数，再根据多边形外角和公式求边数即可.
12．【答案】75°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】因为四边形的内角和为，所以，解得。
【分析】利用四边形的内角和为360度列出方程求解即可。
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理知，
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
故答案是：360°．
【分析】利用多边形的外角和定理计算求解即可。
14．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180的整数倍数，
是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720，
故多边形的内角和为720°，
这个凸多边形的边数为： +2=6，
故答案为：6．
【分析】先求出多边形的内角和为720°，再求解即可。
15．【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的外角和是 ．
故答案为： ．
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
16．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
，
设剪n刀得 个角的和为x，则所得多边形的角的个数为 个，
由多边形的内角和公式得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】先求出∠C=∠D=90°，再求出，最后计算求解即可。
17．【答案】240m
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷15°=24，
∴小亮所走的路程是=24×10=240m.
故答案为：240m.
【分析】根据小亮的走法可知，他行走的轨迹正好是一个正多边形，先根据正多边形的外角和定理求出边数，则小亮的行走的总路程可求.
18．【答案】解：设外角为x°，
x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
（12-2）×180=1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设外角为x°，由题意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度数，然后利用360°除以外角的度数求出边数，最后结合多边形内角和公式进行求解.
19．【答案】解：如图，由三角形的外角的性质可得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解j∠E+∠F=90°， 再利用四边形的内角和求解∠5+∠6=240°， 根据邻补角的定义求出∠3+∠4=120°， 从而可得结论.
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）多边形的内角和与多边形的边数有关，边数每增加一边，其内角和就增加180°； ①截线 过多边形两边进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形增加一条，故内角和比原多边形的内角和增加了180° ； ②截线过多边形一边与一个顶点进行剪截， 新多边形的边数就不会增加，故新多边形的内角和与原多边形的内角和相等； ③截线过多边形两个顶点进行剪截， 新多边形的边数就会比原多边形减少一边，增故新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°；
（2） 设新多边形的边数为n， 新多边形的内角和为 （n﹣2） 180° ，又新多边形的内角和为2520° ，从而列出方程，求解得出n的值，再根据（1）所得的结论即可求出原多边形的边数。
21．【答案】（1）∠1+∠2=∠A+∠D
（2）解：∵
∴
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线
∴∠ADE=
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
∴ + = + ，
故答案为： + = + ；
【分析】（1）由四边形的内角和可得，利用邻补角的定义可得，从而可得 + = + ；
（2） 由，可得 ，由角平分线的定义可得∠ADE= ，从而得出，利用三角形的内角和可得；
（3）利用四边形内角和可得，即得，从而得出，由于，利用四边形内角和等于360°即可求出∠P的度数.
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