12.3 角的平分线的性质 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·广元）观察下列作图痕迹，所作线段 为 的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·庆阳模拟）如图，在 中， 平分 ，交 于点D， ，垂足为点E，若 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
3．（2021·南宁模拟）如图，在 中， ， 平分 ， 于E，则下列结论中，不正确的是（ ）
A． 平分 B．
C． 平分 D．
4．（2021·黄梅模拟）如图，已知直线AB//CD，∠GEB 的平分线EF交CD于点F，∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．135° B．145° C．155° D．165°
5．（2021七下·槐荫期末）如图，在 中， ， 平分 ， ， ，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2021·开福模拟）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于 ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
7．（2021七下·吉林期中）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线EN与CD相交于点N。若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．64° B．50° C．60° D．54°
8．（2021八下·达州期中）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°， AD 平分∠CAB 交BC平D，DE ⊥AB 交AB于E，则下列结论中不正确的是( ）
A．BD +ED=BC B．DE 平分∠ADB
C．AD 平分∠EDC D．ED+AC>AD
9．（2021·建湖模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2021八上·南宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题
11．（2021七下·永川月考）如图，点 是 的平分线 上一点， ，若 ，则 的度数为 .
12．（2021·娄底模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 .
13．（2021八下·南岸期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，垂足为E，若 .
14．（2021·金牛模拟）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，交 于点 .已知 ， ，则点 到 的距离为 .
15．（2021七下·上海期中）如图,已知直线AB、CD相交与点O,如果∠BOD=40°,OA平分∠COE,那么∠DOE= .
16．（2021七下·天桥期末）如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是： ；(只填写序号)
三、解答题
17．（2021·章丘模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
18．（2021·白云模拟）如图，已知 平分 ， ．求证： ．
19．（2021七下·潮阳期中）如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE=∠BED，若∠ABE=25°时，求∠ADE的度数．
四、作图题
20．（2021·宝鸡模拟）如图，在 中， ，用尺规在 上求作一点 ，使 到边 ， 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）.
五、综合题
21．（2021七下·苏州期末）探索角的平分线的画法.
（1）画法1：利用直尺和圆规
请在图中用直尺和圆规画出 的平分线 ；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）
（2）画法2：利用等宽直尺.
如图，将一把等宽直尺的一边依次落在 的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O.画射线 ，则射线 是 的平分线.这种角的平分线的画法依据的是______.
A． B． C． D．
（3）画法3：利用刻度尺
已知：如图，在 的两条边上分别画 ， ，连接 、 ，交点为点O，画射线 .
求证： 是 的平分线.
（4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法.请在图中画出 的平分线 ，写出画法，并加以证明.
22．（2020八上·遂川期末）如图1，点A、B分别在射线 、 上运动（不与点O重台）， 、 分别是 和 的角平分线， 延长线交 于点G．
（1）若 ，则 ；（直接写出答案）
（2）若 ，求出 的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2．若 ，过点C作 交 于点F，求 与 数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为 的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的画法可得结果.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，又∵ 平分 ， ，∴由角平分线的性质得 .
故答案为：B
【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等，根据性质可知DE=BD，即可得解.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故答案为：B正确；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故答案为：C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故答案为：D正确；
若DE平分∠ADB
则有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
显然这里∠B是不一定为30゜
故答案为：A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质定理可得CD=ED，根据角平分线的定义、三角形三边的关系，从而可对各选项作出判断.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB=∠1=30°，
∵EF为∠GEB的角平分线，
∴∠FEB= ∠GEB=15°，
∴∠2=180°-∠FEB=165°
故答案为：D
【分析】因为两直线平行，∠1＝30° ，可得∠GEB=30°.因为EF平分∠GEB,可得∠BEF=15°，所以，由同旁内角互补，得∠2=165°.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故答案为：A．
【分析】先求出BD=4．再根据角平分线的性质计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】如图，连接EC、DC.
根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，
在△EOC与△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS）.
故答案为：A.
【分析】连接EC、DC.根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，利用SSS即可证明△ODC≌OEC.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠1=∠BEN=65°
∵NE平分∠BEF
∴∠NEF=2×65°=130°
∵AB∥CD
∴∠2+∠BEF=180°
∴∠2=180°-130°=50°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质，计算得到答案即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、∵AD 平分∠CAB 交BC平D， DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE，∴BD+ED=BD+CD=BC，正确；
BCD、在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∠ADE=∠ADC，即AD平分∠EDC ，而DE不一定平分∠ADB，∵AE+ED>AD，∴ED+AC>AD，故CD正确，B不正确；
故答案为：B.
【分析】由角平分线的性质定理可得CD=DE，然后根据线段的和差关系即可得出BD +ED=BC；利用斜边直角边定理证明Rt△AED≌Rt△ACD，则可得出AE=AC，∠ADE=∠ADC，则可判断C正确，而B不一定正确；然后利用三角形的三边的关系可以判断D.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝4，
∴DH＝4，
又∵点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，
∴DP≥4，
∴DP的长不可能是3，
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，先求出∠ABD＝∠CBD，可得BD是∠ABC的角平分线，由AD⊥AB，DH⊥BC，可得AD＝DH，点P在BC上运动时，当点P运动到与点H重合时DP最短，从而得出结论.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥OB，∠ECO＝20°，
∴∠COB＝∠ECO＝20°，
∵点C在∠AOB的平分线OP上，
∴∠AOB＝2∠COB＝40°，
故答案为：40°.
【分析】两直线平行，内错角相等.所以，∠ECO=∠BOC=20°.根据OP平分∠AOB，可得∠AOB＝2∠COB＝40°.
12．【答案】1
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1.
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到DE=DC，再求出DC即可得到答案.
13．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理直接即可直接得出DE的长.
14．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB于T.
∵BC=14，BE=8，
∴EC=BC BE=6，
由作图可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC=6，
故答案为：6.
【分析】 过点E作ET⊥AB于T，由作图可知，AE平分∠CAB，根据角平分线的性质可得结果.
15．【答案】100°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=40°
∴∠AOC=∠BOD=40°
∵OA平分∠COE
∴∠COE=2∠AOC=80°
∴∠DOE=180°-80°=100°
【分析】根据对顶角的性质求出∠AOC，继而根据角平分线的定义，即可得到∠COE的度数，求出∠DOE即可。
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A =AC，DC=D ，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都符合题意；
∵B ＝D ， DC=D ，
∴B ＝D = DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC ；
∴③不符合题意；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠A D=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴
∴D ∥EC
∴④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角对每个结论一一判断求解即可。
17．【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，S△ABC=S△ABD+S△DBC，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE+DF=8，
∴DE=DF=4．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形面积公式得出冠以DE的方程，求出即可。
18．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，结合题意，证明三角形全等即可。
19．【答案】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABE=∠BED，
∴∠EBC=∠BED，
∴BC∥DE；
∴∠ADE=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∴∠ADE=50°．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义以及∠ABE=∠BED，即可得到BC∥DE，从而得到∠ADE=∠ABC，根据∠ABE=25°，求出∠ADE的度数即可。
20．【答案】解：如图，点 即为所求作.
.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】由题意可知：点P在∠CAB的角平分线上，作∠CAB的平分线，与BC的交点即为点P.
21．【答案】（1）解：如图①中，射线 即为所求.
（2）D
（3）解：如图③中，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 .
（4）解：如图，在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.
理由：在 和 中，
，
，
，
射线 平分 .
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图②中， 是等宽直尺，
点 到两边的距离相等，根据 可以利用全等三角形的性质证明 是角平分线.
故答案为：D.
【分析】（1）利用尺规作图作出角平分线即可；
（2）点 到两边的距离相等，根据 证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明 是角平分线；
（3）先证明 ，再证明 ， 最后证明 ，可得，即得结论；
（4） 在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.理由： ，可得 ，即得结论.
22．【答案】（1）60°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA= ∠ABO，∠CAB= ∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB= （∠ABO+∠BAO）=60°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
【分析】（1）先求出∠BAO+∠ABO=120°，再利用角平分线进行求解即可；
（2）先求出 ， 再根据角平分线求出 ， ， 最后即可作答；
（3）根据平行求出 ， 再计算求解即可。
1 / 112.3 角的平分线的性质 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021·广元）观察下列作图痕迹，所作线段 为 的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为 的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的画法可得结果.
2．（2021·庆阳模拟）如图，在 中， 平分 ，交 于点D， ，垂足为点E，若 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，又∵ 平分 ， ，∴由角平分线的性质得 .
故答案为：B
【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等，根据性质可知DE=BD，即可得解.
3．（2021·南宁模拟）如图，在 中， ， 平分 ， 于E，则下列结论中，不正确的是（ ）
A． 平分 B．
C． 平分 D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故答案为：B正确；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故答案为：C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故答案为：D正确；
若DE平分∠ADB
则有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
显然这里∠B是不一定为30゜
故答案为：A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质定理可得CD=ED，根据角平分线的定义、三角形三边的关系，从而可对各选项作出判断.
4．（2021·黄梅模拟）如图，已知直线AB//CD，∠GEB 的平分线EF交CD于点F，∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．135° B．145° C．155° D．165°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB=∠1=30°，
∵EF为∠GEB的角平分线，
∴∠FEB= ∠GEB=15°，
∴∠2=180°-∠FEB=165°
故答案为：D
【分析】因为两直线平行，∠1＝30° ，可得∠GEB=30°.因为EF平分∠GEB,可得∠BEF=15°，所以，由同旁内角互补，得∠2=165°.
5．（2021七下·槐荫期末）如图，在 中， ， 平分 ， ， ，则点D到AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC ．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故答案为：A．
【分析】先求出BD=4．再根据角平分线的性质计算求解即可。
6．（2021·开福模拟）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于 ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】如图，连接EC、DC.
根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，
在△EOC与△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS）.
故答案为：A.
【分析】连接EC、DC.根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，利用SSS即可证明△ODC≌OEC.
7．（2021七下·吉林期中）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线EN与CD相交于点N。若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．64° B．50° C．60° D．54°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠1=∠BEN=65°
∵NE平分∠BEF
∴∠NEF=2×65°=130°
∵AB∥CD
∴∠2+∠BEF=180°
∴∠2=180°-130°=50°
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质，计算得到答案即可。
8．（2021八下·达州期中）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°， AD 平分∠CAB 交BC平D，DE ⊥AB 交AB于E，则下列结论中不正确的是( ）
A．BD +ED=BC B．DE 平分∠ADB
C．AD 平分∠EDC D．ED+AC>AD
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、∵AD 平分∠CAB 交BC平D， DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE，∴BD+ED=BD+CD=BC，正确；
BCD、在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∠ADE=∠ADC，即AD平分∠EDC ，而DE不一定平分∠ADB，∵AE+ED>AD，∴ED+AC>AD，故CD正确，B不正确；
故答案为：B.
【分析】由角平分线的性质定理可得CD=DE，然后根据线段的和差关系即可得出BD +ED=BC；利用斜边直角边定理证明Rt△AED≌Rt△ACD，则可得出AE=AC，∠ADE=∠ADC，则可判断C正确，而B不一定正确；然后利用三角形的三边的关系可以判断D.
9．（2021·建湖模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝4，
∴DH＝4，
又∵点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，
∴DP≥4，
∴DP的长不可能是3，
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，先求出∠ABD＝∠CBD，可得BD是∠ABC的角平分线，由AD⊥AB，DH⊥BC，可得AD＝DH，点P在BC上运动时，当点P运动到与点H重合时DP最短，从而得出结论.
10．（2021八上·南宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确.
二、填空题
11．（2021七下·永川月考）如图，点 是 的平分线 上一点， ，若 ，则 的度数为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥OB，∠ECO＝20°，
∴∠COB＝∠ECO＝20°，
∵点C在∠AOB的平分线OP上，
∴∠AOB＝2∠COB＝40°，
故答案为：40°.
【分析】两直线平行，内错角相等.所以，∠ECO=∠BOC=20°.根据OP平分∠AOB，可得∠AOB＝2∠COB＝40°.
12．（2021·娄底模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为 .
【答案】1
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1.
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到DE=DC，再求出DC即可得到答案.
13．（2021八下·南岸期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，垂足为E，若 .
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理直接即可直接得出DE的长.
14．（2021·金牛模拟）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，交 于点 .已知 ， ，则点 到 的距离为 .
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB于T.
∵BC=14，BE=8，
∴EC=BC BE=6，
由作图可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC=6，
故答案为：6.
【分析】 过点E作ET⊥AB于T，由作图可知，AE平分∠CAB，根据角平分线的性质可得结果.
15．（2021七下·上海期中）如图,已知直线AB、CD相交与点O,如果∠BOD=40°,OA平分∠COE,那么∠DOE= .
【答案】100°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=40°
∴∠AOC=∠BOD=40°
∵OA平分∠COE
∴∠COE=2∠AOC=80°
∴∠DOE=180°-80°=100°
【分析】根据对顶角的性质求出∠AOC，继而根据角平分线的定义，即可得到∠COE的度数，求出∠DOE即可。
16．（2021七下·天桥期末）如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是： ；(只填写序号)
【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A =AC，DC=D ，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都符合题意；
∵B ＝D ， DC=D ，
∴B ＝D = DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC ；
∴③不符合题意；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠A D=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴
∴D ∥EC
∴④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角对每个结论一一判断求解即可。
三、解答题
17．（2021·章丘模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，S△ABC=S△ABD+S△DBC，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE+DF=8，
∴DE=DF=4．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形面积公式得出冠以DE的方程，求出即可。
18．（2021·白云模拟）如图，已知 平分 ， ．求证： ．
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，结合题意，证明三角形全等即可。
19．（2021七下·潮阳期中）如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE=∠BED，若∠ABE=25°时，求∠ADE的度数．
【答案】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABE=∠BED，
∴∠EBC=∠BED，
∴BC∥DE；
∴∠ADE=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∴∠ADE=50°．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义以及∠ABE=∠BED，即可得到BC∥DE，从而得到∠ADE=∠ABC，根据∠ABE=25°，求出∠ADE的度数即可。
四、作图题
20．（2021·宝鸡模拟）如图，在 中， ，用尺规在 上求作一点 ，使 到边 ， 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）.
【答案】解：如图，点 即为所求作.
.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】由题意可知：点P在∠CAB的角平分线上，作∠CAB的平分线，与BC的交点即为点P.
五、综合题
21．（2021七下·苏州期末）探索角的平分线的画法.
（1）画法1：利用直尺和圆规
请在图中用直尺和圆规画出 的平分线 ；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）
（2）画法2：利用等宽直尺.
如图，将一把等宽直尺的一边依次落在 的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O.画射线 ，则射线 是 的平分线.这种角的平分线的画法依据的是______.
A． B． C． D．
（3）画法3：利用刻度尺
已知：如图，在 的两条边上分别画 ， ，连接 、 ，交点为点O，画射线 .
求证： 是 的平分线.
（4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法.请在图中画出 的平分线 ，写出画法，并加以证明.
【答案】（1）解：如图①中，射线 即为所求.
（2）D
（3）解：如图③中，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 .
（4）解：如图，在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.
理由：在 和 中，
，
，
，
射线 平分 .
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图②中， 是等宽直尺，
点 到两边的距离相等，根据 可以利用全等三角形的性质证明 是角平分线.
故答案为：D.
【分析】（1）利用尺规作图作出角平分线即可；
（2）点 到两边的距离相等，根据 证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明 是角平分线；
（3）先证明 ，再证明 ， 最后证明 ，可得，即得结论；
（4） 在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.理由： ，可得 ，即得结论.
22．（2020八上·遂川期末）如图1，点A、B分别在射线 、 上运动（不与点O重台）， 、 分别是 和 的角平分线， 延长线交 于点G．
（1）若 ，则 ；（直接写出答案）
（2）若 ，求出 的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2．若 ，过点C作 交 于点F，求 与 数量关系．
【答案】（1）60°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA= ∠ABO，∠CAB= ∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB= （∠ABO+∠BAO）=60°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
【分析】（1）先求出∠BAO+∠ABO=120°，再利用角平分线进行求解即可；
（2）先求出 ， 再根据角平分线求出 ， ， 最后即可作答；
（3）根据平行求出 ， 再计算求解即可。
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