12.2 三角形全等的判定 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八上·沙坪坝开学考）下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．三条边对应相等的两个三角形全等
2．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·云阳期末）如图， 、 分别为 、 边上的点， ， .若 ， ，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 的两边 、 上分别在取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021七下·天桥期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
8．（2021·望城模拟）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
9．（2020八上·曲阜月考）如图，ΔABC的面积为8cm ，AP垂直 ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．（2021七上·肇源期末）在 中， ， ，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且 ，下列结论：① ；② 的长度不变；③ 的度数不变；④四边形AEDF的面积为 .其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021八上·淮安期末）如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是 °.
12．（2021八上·乐山期末）如图，已知 ， ，点 、 、 、 在一条直线上，要证 ，还需添加的条件是： .（只需添加一个条件）
13．（2021七上·肇源期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则要说明 ，需要证明 ≌ ，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写理由）
14．（2020八上·江川期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 ．
15．（2021七下·槐荫期末）如图，要测量水池宽 ，可从点 出发在地面上画一条线段 ，使 ，再从点 观测，在 的延长线上测得一点 ，使 ，这时量得 ，则水池宽 的长度是 m．
16．（2021·建华模拟）如图，AD、 分别是锐角 和 中 、 边上的高，且 ， ，请你补充一个适当的条件： ，使 ．
17．（2021·大庆）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的 边上的中线长 的取值范围是
三、解答题
18．（2021·福建）如图，在 中，D是边 上的点， ，垂足分别为E，F，且 .求证： .
19．（2021七下·淮阴期末）如图， ，点 在 的延长线上， ， ，求证： .
20．（2021七下·苏州期末）已知：如图， ， ， ， .
求证： .
四、综合题
21．（2021·铜仁）如图， 交 于点 ，在 与 中，有下列三个条件：① ，② ，③ .请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）
（1）你选的条件为 、 ，结论为 ；
（2）证明你的结论.
22．（2021·湘西）如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连接 与 交于点 ，且 ， .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
2．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
∴ ，
∴AD =AE，AB=AC=7.
∴AD=AE=AC-CE=7-4=3.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用“AAS”易证 ，从而得出结论AD =AE，AB=AC=7，进而根据AD=AE=AC-AE即可算出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知
在 中
∴ (SSS)
∴
∴ 就是 的平分线
故答案为：D
【分析】证明 (SSS)，可得，根据角平分线的定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故答案为：A．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，再利用ASA证明三角形全等即可。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即 ，
当 时，满足 ，无法判定 ，故A选项符合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故B选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故C选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故D选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直 ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE= S△ABC=4cm2，
故答案为：C．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，
∵∠BDA=∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠B=∠DAF=45°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，DE=DF，
故①符合题意，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE的长度是变化的，
∴EF的长度是变化的．
故②不符合题意．
∵△BDE≌△ADF，
∴∠BED=∠AFD，
∴∠BED+∠CFD=∠AFD+∠CFD=180°，
故③符合题意；
∵△BDE≌△ADF，
∴ ，
∴ ．
故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形的面积对每个结论一一判断即可。
11．【答案】18
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠ CAD，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=36°，
∴∠BAD=18°.
故答案为：18.
【分析】利用边边边定理证明△ABD≌△ACD，∠BAD=∠ CAD，结合∠BAC=36°，即可求出结果.
12．【答案】 或 或 ∥ （答案不唯一）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：增加一个条件： ，
∵ ， ，
∴ .
或添加 或 ∥ 利用 证明全等（答案不唯一）.
故答案为： 或 或 ∥ （答案不唯一）.
【分析】要判定 ，已知 ， ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加 ，利用 可证全等.（也可添加其它条件）.
13．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图可得OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
所以△D'O'C' ≌△DOC，全等的依据是SSS．
故答案为：SSS．
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，进行作答即可。
14．【答案】③；ASA
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第①块和第②块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③，ASA．
【分析】根据“ASA”的判定及性质求解即可。
15．【答案】120
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】 ，
，
， ，
，
，
故答案为120．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．【答案】∠C=∠C1（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∠C=∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中
∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B=∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案为：∠C=∠C1（答案不唯一）．
【分析】根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B1，根据AAS推出全等即可。
17．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，反向延长中线 至F，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后求取值范围即可。
18．【答案】证明：∵ ，
∴ .
在 和 中，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 根据垂直的定义可得，证明 ，可得 .
19．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC=CD.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ABC=∠DCE，然后证明△ABC≌△ECD，根据全等三角形的性质就可得到结论.
20．【答案】证明：如图，∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠AMF=∠D，∠AMF=∠A，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠AMF=∠D，∠AMF=∠A，由等量代换可得∠A=∠D，根据SAS可证△ABC≌△DEF 可得BC=EF.
21．【答案】（1）OC=OD；∠A=∠B；AC=BD
（2）证明：由对顶角相等可知： ，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：(1)选择的条件为 ， ，需要证明的结论为： ；
【分析】（1）根据三角形的判定进行选择即可（答案不唯一）；
（2）根据（1）的选择证明△AOC≌△BOD，从而得出结论.
22．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴根据三角形内角和可得 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）证明 ，可得；
（2）由等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠BCD=180°-2∠B=40°，即得，由（1）可得 ，可得，利用三角形外角的性质可得.
1 / 112.2 三角形全等的判定 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八上·沙坪坝开学考）下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
2．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
3．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
4．（2021八上·云阳期末）如图， 、 分别为 、 边上的点， ， .若 ， ，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在 和 中， ，
∴ ，
∴AD =AE，AB=AC=7.
∴AD=AE=AC-CE=7-4=3.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用“AAS”易证 ，从而得出结论AD =AE，AB=AC=7，进而根据AD=AE=AC-AE即可算出答案.
5．（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 的两边 、 上分别在取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知
在 中
∴ (SSS)
∴
∴ 就是 的平分线
故答案为：D
【分析】证明 (SSS)，可得，根据角平分线的定义判断即可.
6．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
7．（2021七下·天桥期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故答案为：A．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，再利用ASA证明三角形全等即可。
8．（2021·望城模拟）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
，即 ，
当 时，满足 ，无法判定 ，故A选项符合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故B选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故C选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故D选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
9．（2020八上·曲阜月考）如图，ΔABC的面积为8cm ，AP垂直 ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直 ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE= S△ABC=4cm2，
故答案为：C．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
10．（2021七上·肇源期末）在 中， ， ，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且 ，下列结论：① ；② 的长度不变；③ 的度数不变；④四边形AEDF的面积为 .其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，
∵∠BDA=∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠B=∠DAF=45°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，DE=DF，
故①符合题意，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE的长度是变化的，
∴EF的长度是变化的．
故②不符合题意．
∵△BDE≌△ADF，
∴∠BED=∠AFD，
∴∠BED+∠CFD=∠AFD+∠CFD=180°，
故③符合题意；
∵△BDE≌△ADF，
∴ ，
∴ ．
故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形的面积对每个结论一一判断即可。
二、填空题
11．（2021八上·淮安期末）如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是 °.
【答案】18
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠ CAD，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=36°，
∴∠BAD=18°.
故答案为：18.
【分析】利用边边边定理证明△ABD≌△ACD，∠BAD=∠ CAD，结合∠BAC=36°，即可求出结果.
12．（2021八上·乐山期末）如图，已知 ， ，点 、 、 、 在一条直线上，要证 ，还需添加的条件是： .（只需添加一个条件）
【答案】 或 或 ∥ （答案不唯一）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：增加一个条件： ，
∵ ， ，
∴ .
或添加 或 ∥ 利用 证明全等（答案不唯一）.
故答案为： 或 或 ∥ （答案不唯一）.
【分析】要判定 ，已知 ， ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加 ，利用 可证全等.（也可添加其它条件）.
13．（2021七上·肇源期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则要说明 ，需要证明 ≌ ，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等的简写理由）
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图可得OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
所以△D'O'C' ≌△DOC，全等的依据是SSS．
故答案为：SSS．
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，进行作答即可。
14．（2020八上·江川期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 ．
【答案】③；ASA
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第①块和第②块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③，ASA．
【分析】根据“ASA”的判定及性质求解即可。
15．（2021七下·槐荫期末）如图，要测量水池宽 ，可从点 出发在地面上画一条线段 ，使 ，再从点 观测，在 的延长线上测得一点 ，使 ，这时量得 ，则水池宽 的长度是 m．
【答案】120
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】 ，
，
， ，
，
，
故答案为120．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．（2021·建华模拟）如图，AD、 分别是锐角 和 中 、 边上的高，且 ， ，请你补充一个适当的条件： ，使 ．
【答案】∠C=∠C1（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∠C=∠C1，
理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，
在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中
∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），
∴∠B=∠B1，
在△ABC和△A1B1C1中
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），
故答案为：∠C=∠C1（答案不唯一）．
【分析】根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B1，根据AAS推出全等即可。
17．（2021·大庆）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的 边上的中线长 的取值范围是
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，反向延长中线 至F，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后求取值范围即可。
三、解答题
18．（2021·福建）如图，在 中，D是边 上的点， ，垂足分别为E，F，且 .求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴ .
在 和 中，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 根据垂直的定义可得，证明 ，可得 .
19．（2021七下·淮阴期末）如图， ，点 在 的延长线上， ， ，求证： .
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC=CD.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ABC=∠DCE，然后证明△ABC≌△ECD，根据全等三角形的性质就可得到结论.
20．（2021七下·苏州期末）已知：如图， ， ， ， .
求证： .
【答案】证明：如图，∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠AMF=∠D，∠AMF=∠A，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠AMF=∠D，∠AMF=∠A，由等量代换可得∠A=∠D，根据SAS可证△ABC≌△DEF 可得BC=EF.
四、综合题
21．（2021·铜仁）如图， 交 于点 ，在 与 中，有下列三个条件：① ，② ，③ .请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）
（1）你选的条件为 、 ，结论为 ；
（2）证明你的结论.
【答案】（1）OC=OD；∠A=∠B；AC=BD
（2）证明：由对顶角相等可知： ，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：(1)选择的条件为 ， ，需要证明的结论为： ；
【分析】（1）根据三角形的判定进行选择即可（答案不唯一）；
（2）根据（1）的选择证明△AOC≌△BOD，从而得出结论.
22．（2021·湘西）如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连接 与 交于点 ，且 ， .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴根据三角形内角和可得 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）证明 ，可得；
（2）由等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠BCD=180°-2∠B=40°，即得，由（1）可得 ，可得，利用三角形外角的性质可得.
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