选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 (word无答案）

空间向量与立体几何
空间向量及其运算
【考点分类】
考点一
空间向量及其加减运算
空间向量的有关概念
定义：在空间中，我们把既有大小又有方向的量称为空间向量．
长度：向量的大小叫作向量的长度或模。
（3）表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
几类特殊的向量：
(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模长为1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
3、空间向量的线性运算
加法：＝＋＝a＋b
减法：＝－＝a－b
数乘：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
运算律：①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．
考点二
共线向量和共面向量
共线向量
定义：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
（2）共线向量定理：对于空间中任意的两个向量a，b，a∥b充要条件是存在实数λ，使a=λb.
此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意:
b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
共面向量
（1）定义：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（注意：空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．）
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使
或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
考点三
空间向量的数量积
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作a，b，则叫做向量a，b的夹角，记作。
范围：0π
空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．
注意：a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略，也不能用“×”代替。
数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律：（a）·b=（a·b）
交换律：a·b=b·a
分配律：a·（b+c）=a·b+a·c
数量积的性质
垂直：若a，b是非零向量，则aba·b=0
共线：同向：a·b=；反向：a·b=-
模：；
夹角：为a，b的夹角，则
典型例题
类型一
概念的辨析
例1、下列命题中正确的是_____________（填序号）
①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；④模为0是一个向量方向不确定的充要条件。
有下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量。
其中正确的命题个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
辨析跟踪
【变式1】在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】给出下列命题
①将空间中所有的单位向量移到同一个点作为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向。
其中假命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式3】下列命题中正确的是（
）
若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
若两个非零空间向量与满足,则∥
若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
类型二
空间向量的线性运算
例3、（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的有（
）
例4、在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中：
化简;
化简
例5、在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
辨析跟踪
【变式1】在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是AC，A1C1的中点：
写出与向量相反的向量；
写出与向量平行的向量；
写出与向量相等的向量。
【变式2】如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3】在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是（
）
类型三
共线、共面向量定理的运用
已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值。
;
.
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE。求证：向量共面。
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且满足,点F在对角线A1C上，且满足.求证：E,F,B三点共线。
辨析跟踪
【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E是PD的中点，若a，b，c，则(
)
a-b+c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a-b+c
【变式2】在棱长为1的正方体中，分别在棱上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则
A.
B.
C.
D.
【变式3】若点P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且,点G在AH上，且。若G，B，P，D四点共面，求m的值。
【变式4】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线。
类型四
空间向量的数量积
例9、已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长
（2）求与的夹角的余弦值．
例10、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为（
）
-1
B.0
C.1
D.2
例11、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角.
例12、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
辨析跟踪
【变式1】在棱长为1的正四面体A-BCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则等于（
）
A.0
B.
C.
D.
【变式2】已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点。求向量与向量所成角的余弦值。
【变式3】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。
【变式4】如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
课后练习
1.已知四边形ABCD中，O为空间任意一点，且,则四边形ABCD是（
）
平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形
2.若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为?
?
A.
B.
C.
D.
0
3.如果向量满足,则（
）
A.
B.
C.与同向
D.与同向
4.给出下列几个命题：
向量，，共面，则它们所在的直线共面；
零向量的方向是任意的；
若，则存在唯一的实数，使．
其中真命题的个数为?
???
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
5.若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
6.（多选）已知为正方体，下列说法中正确的是　　
A．
B．
C．向量与向量的夹角是
D．正方体的体积为
已知a+b+c=0，，，，则向量a与b之间的夹角为（
）
B.
C.
D.以上都不对
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，,则x+y+z=____________。
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式的结果是__________.
10.给出以下结论：
两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
若空间向量，，满足，则；
在正方体中，必有；
若空间向量，，满足，，则．
其中不正确的命题的序号为________．
11.已知，，，，，，则
________。
12.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ+m+n的值为_________.
13.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使，则=_____________.
14.如图所示，在正六棱柱中
化简，并在图中标出表示化简结果的向量
化简，并在图中标出表示化简结果的向量．
15.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，M是PC的中点，设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．