13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·金水期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．（2021八上·福州期末）如图，在 中， ， 垂直平分 ，若 的周长为16，则 的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2021八上·泸县期末） 中， ， 的垂直平分线 交 、 于点 、 ，若 ，则 的周长是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
4．（2020八上·合江月考）如图，在 中， 是 的垂直平分线， ，且 的周长是 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·古冶模拟）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021七下·珠海期中）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则正确的图形可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017·黄石港模拟）如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．12 D．16
二、填空题
8．（2020八上·唐山月考）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 。
9．（2020八上·田家庵期中）如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD= °.
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
11．（2021九下·南海月考）如图， 垂直平分 ， 垂直平分 ，若 ，则 °．
12．（2021七下·槐荫期末）如图，在 中， ，分别作 ， 两边的垂直平分线 、 ，垂足分别是点 、 ．以下说法正确的是 （填序号）．
① ；② ；③ ；④点 到点 和点 的距离相等．
三、解答题
13．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
14．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P，过点P作AB，AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：BM＝CN．
15．（2020八上·农安期末）如图，在直角 中， ， 的平分线 交 于点 ，若 垂直平分 ，求 的度数．
四、作图题
16．（2021九上·港南期末）如图，已知等腰三角形 的顶角 .
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）.
（2）写出 的度数.
五、综合题
17．（2020八上·恩施月考）如图， 平分 ，D为 的中点，且 ，过点M作 于点E， 于点F.
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 ， 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，然后根据垂直平分线的性质解答即可.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长为16，
∴BD+BC+CD=16，
∴AD+BC+CD=16，
即：AC+BC=16，
∵BC=7，
∴AC=16-7=9，
故答案为：C.
【分析】首先根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据条件△BCD的周长为16，可得到BD+BC+CD=16，利用等量代换把BD换为AD，即可得到AC+BC=16，进而可得到AC的长.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC
∵ ， ，
∴△DBC的周长=6+4=10cm，
故答案为：D.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据三角形的周长等于三角形三边之和可得△DBC的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC，再结合已知可求解.
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15+8＝23cm，
故选：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
5．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，即∠B=∠BCD．
∵CD=AC，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠B+∠BCD=∠CAD，
∴∠B= ∠CDA=25°．
故答案为：A．
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由CD=AC，可得出∠CDA=∠A，根据三角形外角的性质即可得出结论．
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得图形 ，
故答案为：C．
【分析】根据垂线的定义和性质逐个选项判断，即可得到答案。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故答案为：A．
【分析】利用中垂线性质可转化DA=DB，EA=EC，把周长转化为BC长.
8．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
【分析】根据"线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”解答即可.
9．【答案】25°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中,
∵∠A=65°,∠B=45°，
∴∠ACB=180° ∠A ∠B=70°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ACD=∠ACB ∠DCB=70° 45°=25°.
故答案为25°.
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，即可得到角相等，最后求出∠ACD的度数即可。
10．【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：22.
【分析】根据题意可得MN为AB的垂直平分线，故 ，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差和等量代换即可求解.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
12．【答案】①②④
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，∠BAC=120°
∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①说法符合题意；
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°-120°=60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC=EA，FB=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-（∠B+∠C）=120°-60°=60°，
∴ ∠EAF=∠B+∠C，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC=PA，PB=PA，
∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】根据 在 中， ，分别作 ， 两边的垂直平分线 、 ， 对每个说法一一判断求解即可。
13．【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
14．【答案】解：连接PC，PB，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90°
∵PE垂直平分BC，
∴BP=CP
在Rt△BPM和Rt△CPN中
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴BM=CN
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接PC，PB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PM=PN，利用线段垂直平分线的性质可证得BP=CP；再利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
15．【答案】解： 平分 ，
，
又 垂直平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
即 ，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线及垂直平分线的性质可知，再利用三角形的内角和可求出。
16．【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知，只需作出线段AC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
（2）连接AD，由等边对等角可得∠B=∠C=∠DAC，根据三角形内角和等于180°可求得∠C的度数，再根据角的构成可求解.
17．【答案】（1）证明：连接AM、MC，
∵D为 的中点，且 ，
∴AM=MC，
∵ 平分 ， ， ，
∴MF=ME，∠BFM=∠BEM=90°，
∴Rt△AFM≌Rt△CEM（HL），
∴AF=CE；
（2）解：在Rt△BFM和Rt△BEM中
∵MF=ME，BM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BEM（HL），
∴BF=BE,
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵AF=CE，
∴ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接AM、MC，由线段的垂直平分线的性质可得AM=MC，用HL定理可证 Rt△AFM≌Rt△CEM，根据全等三角形的性质可求解；
（2）用HL定理可证 Rt△BFM≌Rt△BEM，根据全等三角形的性质可得BF=BE，然后用线段的和差可求解.
1 / 113.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·金水期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，然后根据垂直平分线的性质解答即可.
2．（2021八上·福州期末）如图，在 中， ， 垂直平分 ，若 的周长为16，则 的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长为16，
∴BD+BC+CD=16，
∴AD+BC+CD=16，
即：AC+BC=16，
∵BC=7，
∴AC=16-7=9，
故答案为：C.
【分析】首先根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据条件△BCD的周长为16，可得到BD+BC+CD=16，利用等量代换把BD换为AD，即可得到AC+BC=16，进而可得到AC的长.
3．（2021八上·泸县期末） 中， ， 的垂直平分线 交 、 于点 、 ，若 ，则 的周长是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC
∵ ， ，
∴△DBC的周长=6+4=10cm，
故答案为：D.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据三角形的周长等于三角形三边之和可得△DBC的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC，再结合已知可求解.
4．（2020八上·合江月考）如图，在 中， 是 的垂直平分线， ，且 的周长是 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝15cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15+8＝23cm，
故选：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
5．（2021·古冶模拟）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，即∠B=∠BCD．
∵CD=AC，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠B+∠BCD=∠CAD，
∴∠B= ∠CDA=25°．
故答案为：A．
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由CD=AC，可得出∠CDA=∠A，根据三角形外角的性质即可得出结论．
6．（2021七下·珠海期中）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则正确的图形可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得图形 ，
故答案为：C．
【分析】根据垂线的定义和性质逐个选项判断，即可得到答案。
7．（2017·黄石港模拟）如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故答案为：A．
【分析】利用中垂线性质可转化DA=DB，EA=EC，把周长转化为BC长.
二、填空题
8．（2020八上·唐山月考）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 。
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
【分析】根据"线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”解答即可.
9．（2020八上·田家庵期中）如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD= °.
【答案】25°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中,
∵∠A=65°,∠B=45°，
∴∠ACB=180° ∠A ∠B=70°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ACD=∠ACB ∠DCB=70° 45°=25°.
故答案为25°.
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，即可得到角相等，最后求出∠ACD的度数即可。
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ， 的周长为15， ，则 的周长为 .
【答案】22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：22.
【分析】根据题意可得MN为AB的垂直平分线，故 ，进而根据三角形周长的计算方法及线段的和差和等量代换即可求解.
11．（2021九下·南海月考）如图， 垂直平分 ， 垂直平分 ，若 ，则 °．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
12．（2021七下·槐荫期末）如图，在 中， ，分别作 ， 两边的垂直平分线 、 ，垂足分别是点 、 ．以下说法正确的是 （填序号）．
① ；② ；③ ；④点 到点 和点 的距离相等．
【答案】①②④
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，∠BAC=120°
∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①说法符合题意；
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°-120°=60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC=EA，FB=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-（∠B+∠C）=120°-60°=60°，
∴ ∠EAF=∠B+∠C，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC=PA，PB=PA，
∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】根据 在 中， ，分别作 ， 两边的垂直平分线 、 ， 对每个说法一一判断求解即可。
三、解答题
13．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
14．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P，过点P作AB，AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：BM＝CN．
【答案】解：连接PC，PB，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90°
∵PE垂直平分BC，
∴BP=CP
在Rt△BPM和Rt△CPN中
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴BM=CN
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接PC，PB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PM=PN，利用线段垂直平分线的性质可证得BP=CP；再利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
15．（2020八上·农安期末）如图，在直角 中， ， 的平分线 交 于点 ，若 垂直平分 ，求 的度数．
【答案】解： 平分 ，
，
又 垂直平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
即 ，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线及垂直平分线的性质可知，再利用三角形的内角和可求出。
四、作图题
16．（2021九上·港南期末）如图，已知等腰三角形 的顶角 .
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）.
（2）写出 的度数.
【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知，只需作出线段AC的垂直平分线与BC的交点即为所求；
（2）连接AD，由等边对等角可得∠B=∠C=∠DAC，根据三角形内角和等于180°可求得∠C的度数，再根据角的构成可求解.
五、综合题
17．（2020八上·恩施月考）如图， 平分 ，D为 的中点，且 ，过点M作 于点E， 于点F.
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 ， 的长.
【答案】（1）证明：连接AM、MC，
∵D为 的中点，且 ，
∴AM=MC，
∵ 平分 ， ， ，
∴MF=ME，∠BFM=∠BEM=90°，
∴Rt△AFM≌Rt△CEM（HL），
∴AF=CE；
（2）解：在Rt△BFM和Rt△BEM中
∵MF=ME，BM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BEM（HL），
∴BF=BE,
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵AF=CE，
∴ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接AM、MC，由线段的垂直平分线的性质可得AM=MC，用HL定理可证 Rt△AFM≌Rt△CEM，根据全等三角形的性质可求解；
（2）用HL定理可证 Rt△BFM≌Rt△BEM，根据全等三角形的性质可得BF=BE，然后用线段的和差可求解.
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