2021-2022学年鲁科版（2019）选择性必修第一册 2.4科学测量：用单摆测量重力加速度 课时练（word解析版）

2021-2022学年鲁科版（2019）选择性必修第一册
2.4科学测量：用单摆测量重力加速度 课时练（解析版）
1．小河同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定做匀速圆周运动时可处理为“圆锥摆”模型，手机上装载的Phyphox软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度和向心加速度a，Tracker软件可通过拍下的视频分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方向的夹角及手机做圆周运动的半径r。有了a，，，r的实测数据，即可在误差允许范围之内测量当地重力加速度。
（1）小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为：______（用a和表示）
（2）若保持角速度不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为：______（用k和h表示）
（3）根据下面数据描绘图像，请在答题卡的坐标纸上描出序号为4的点（____），并由图像计算重力加速度______（结果保留三位有效数字）
序号 夹角/（） 夹角正切 半径r/m 角速度 向心加速度
1 44.90 0.998 0.403 4.954 9.789
2 47.25 1.082 0.434 4.941 10.577
3 49.50 1.111 0.486 4.833 11.348
4 49.90 1.188 0.466 4.961 11.683
5 53.10 1.332 0.545 4.912 12.999
2．（1）在“用单摆测重力加速度”的实验中，下列措施中可以提高实验精度的是___________。
A．选细线做为摆线
B．单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内
C．拴好摆球后，令其自然下垂时测量摆长
D．计时起止时刻，选在最大摆角处
（2）某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间，则：
①该摆摆长为___________cm。
②如果测得的g值偏小，可能的原因是___________。
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点末固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过迟按下
D．实验中误将49次全振动记为50次
③为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g=___________（用k表示）
3．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）如果他测得的g值偏小，可能的原因是______。
A．测摆线长时测了悬线的总长度
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动、使摆线长度增加了，使周期变大了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验中误将49次全振动次数记为50次
（2）为了提高实验精度，在实验中可改变即次摆长，并测出相应的周期T，从面得出一组对应的l与的数据，再以l为模坐标，为纵坐标，将所得数据连成直线，如图1所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度______。（用k表示）
（3）该同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象（如图2），由图2可知，两单摆摆长之比______。
4．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为______。
A．20cm长的结实的细线、小木球、秒表、米尺、铁架台
B．100cm长的结实的细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台
C．100cm长的结实的细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台
D．100cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台
（2）用游标尺测量摆球的直径，读数为_________cm；把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长99cm，通过计算得到摆长L=______。
（3）用秒表测量单摆的周期。当单摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时秒表读数为60.4s所示，该单摆的周期是T=_________s（结果保留三位有效数字）。
（4）测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2-L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是______。
A．gB．C．D．
（5）若实验测得的g值偏小，可能的原因是______。
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过迟按下
D．实验中误将（n-1）次全振动数为n次
（6）在（4）中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小______。
A．偏大B．偏小C．不变D．都有可能
5．某同学利用单摆测定当地的重力加速度，在实验中：
（1）测量单摆的周期时，应选择何时作为计时开始与终止的位置更好些____________。
A．小球到达最高点时 B．小球经过平衡位置时 C．小球经过任意位置时
（2）测量单摆摆长记为L，摆球直径为d，周期为T，则重力加速度计算表达式为_______。
（3）在测量过程中，由于操作失误，使得小球没有做单摆运动，而形成了一个圆锥摆（摆球在水平面内做圆周运动）。则测得的重力加速度偏___________（填：“大”、“小”或“不变”）。
6．某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.20 cm；用20分度的游标卡尺测得小球直径如图所示，然后用秒表记录了单摆全振动40次所用的时间。则
（1）小球直径为______cm
（2）如果他在实验中误将41次全振动记为40次，测得的g值______（填“偏大”或“偏小”或“准确”）
（3）他以摆长（L）为横坐标、周期的二次方（T2）为纵坐标作出了T2－L图线，由图象测得的图线的斜率为k，则测得的重力加速度g=______。（用题目中给定的字母表示）
（4）若他用一个摆长为90.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过______cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。）
7．用单摆测定重力加速度的实验中：
（1）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精确度有利的是（______）
A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间细线的长
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
C．质量相同、体积不同的摆球，选用体积较大的
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
（2）一端固定在房顶的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗的上沿到房顶的高度，在线的下端系了一小球，发现当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗子上沿接触。打开窗子，让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图所示。
①为了测小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次小球从窗外向内运动到达最低点时数1，同时开始计时，随后每次小球从外向内运动到最低点依次数2、3、4…，数到n时，手机上显示的时间为t。则小球摆动的周期T为___________；
②该同学用钢卷尺测量出摆动中小球球心到窗上沿的距离，测得50cm。又测出小球摆动的周期是4.5s，当地的重力加速度为9.8m/s2，则窗的上沿到房顶的高度约为___________米（结果取2位有效数字）。
8．在“用单摆测定重力加速度”实验中：
（1）除长约的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺、米尺外，下列器材中，还需要___________（填正确答案的标号）
A．秒表 B．天平 C．弹簧秤
（2）用游标卡尺测小球的直径，如图所示，则小球的直径是___________cm。
（3）下列做法正确的是___________；（填正确答案的标号）
A．选用的细线应细、质量小，且不易伸长
B．记录摆球完成一次全振动的时间
C．从摆球达到最高位置时开始计时
（4）从悬点到球心的距离是摆长，周期为，则重力加速度的表达式是___________。
9．某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为l，摆球直径为d，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为t。则
（1）他测得的g值偏小，可能的原因是（______）
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过迟按下
D．实验中误将49次全振动数为50次
（2）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T的数据，如表所示。描点并作出T2-l图线______。通过图线求得当地的重力加速度g=______。（π2取9.86，结果保留两位小数）
序号 摆长l/m T2/s2
1 0.600 2.47
2 0.650 2.67
3 0.700 2.88
4 0.750 3.08
5 0.800 3.29
6 0.850 3.49
10．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺测量出悬点到小球的距离为96.60cm，用游标卡尺测量出小球直径为5.260cm，对周期进行了3次测量，每次都在摆球通过最低点时按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到计时终止，结果如下表：
1 2 3
数的次数 61 81 71
时间（s） 60.40 79.80 70.60
这个单摆振动周期的测量值是______s，当地重力加速度的值是______m/s2。（均保留三位有效数字）
11．小王利用单摆测量当地的重力加速度，他用毫米刻度尺测得摆线的长度为x，用游标卡尺测得摆球（质量分布均匀）的直径为d，通过传感器测出摆球小角度振动时，摆球的位移随时间变化的规律为x=Asinωt。该单摆的周期为___________，当地的重力加速度大小为___________。
12．在测量引力常量的实验中，小球（可视为质点）偏离竖直方向一个小角度，两球心之间距离为，质量为的均匀球快速移开后，小球运动___________（选填“可以”或“不可以”）视为简谐运动；测量、、和小球的振动周期，则=___________。（很小时，）
13．班里同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这颗古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳（质量不计且不可伸长），于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段（已预留出打结部分的长度），然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
I．将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
II．移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5的角度，然后由静止释放，使小石块在同-竖直面内摆动；
III．从小石块经过平衡位置（已经选定参考位置）开始，用手机中的“秒表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20s。
（1）根据步骤III，可得小石块摆动的周期T=______s；
（2）经百度查得该地区的重力加速度为9.79m/s2，可估得该古树的树围C=______m；（结果保留2位有效数字）
（3）若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值______（填“>”“<”或“=”）真实值。
参考答案
1． ；9.80（9.70~10.0）
【分析】
考查实验测量重力加速度。
【详解】
（1）[1]由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为
故重力加速度为
（2）[2]由题意
可得斜率
由（1）知
故可求得
（3）[3]
[4]由图像斜率得重力加速度值约为9.80m/s2。
2．ABC 98.50 B
【详解】
（1）[1]A．为了减小空气阻力的影响，应选细线做为摆线，所以A正确；
B．因为单摆的周期与圆锥摆的周期不同，本实验是利用单摆来测量重力加速度，则单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内，所以B正确；
C．由于细线有伸缩性，则拴好摆球后，令其自然下垂时测量摆长，所以C正确；
D．摆球经过最低点时速度最大，相同的距离误差引起的时间误差最小，则应该从最低点开始计时，所以D错误；
故选ABC。
（2）①[2]该摆摆长为
②[3]A．根据单摆的周期公式
解得
测摆线长时摆线拉得过紧，则摆长增大，测得的g值偏大，所以A错误；
B．由于摆线上端悬点末固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则测量摆长小，所以测得的g值偏小，则B正确；
C．开始计时时，秒表过迟按下，则测得周期减小，所以测得的g值偏大，所以C错误；
D．实验中误将49次全振动记为50次，则测得周期减小，所以测得的g值偏大，所以D错误；
故选B。
③[4]根据单摆的周期公式
整理得
由图像可得
解得
3．AB
【详解】
（1）[1]A．根据单摆周期公式
解得
摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测摆线长时测了悬线的总长度，没有测出摆球半径，所测摆长偏小，则g偏小，所以A正确；
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动、使摆线长度增加了，使周期变大了，则测得的g值偏小，所以B正确；
C．开始计时时，停表过迟按下，使周期变小了，则测得的g值偏大，所以C错误；
D．实验中误将49次全振动次数记为50次，使周期变小了，则测得的g值偏大，所以D错误；
故选AB。
（2）[2]根据单摆周期公式
解得
由图像可得
解得
（3）[3]根据单摆周期公式
解得
由摆长与周期的平方成正比，由图像可得两单摆的周期之比为
所以两单摆摆长之比
4．B C B C
【详解】
（1）[1] 根据实验要求，摆长1m左右，用米尺测量，体积较小的实心金属球，选小钢球，测量周期用秒表。
故选B。
（2）[2] 摆球的直径，读数为
[3] 摆长
（3）[4] 单摆全振动的次数为
单摆的周期
（4）[5]根据
可得
可知图线斜率
故选C。
（5）[6]根据
解得
A．测摆线长时摆线拉得过紧，使得摆长的测量值偏大，则测得的重力加速度偏大，A错误；
B．摆动后出现松动，知摆长的测量值偏小，则测得的重力加速度偏小，B正确；
C．开始计时，秒表过迟按下，则周期的测量值偏小，重力加速度的测量值偏大．故C错误；
D．试验中误将（n-1）次全振动数为n次，周期测量值偏小，故加速度测量值偏大，D错误。
故选B。
（6）[7] 描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，则
图线斜率不变，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比不变。
故选C。
5．B 大
【详解】
（1）[1]摆球经过平衡位置时开始计时，因为此处速度大、计时误差小。故B正确。
故选B。
（2）[2]由单摆周期公式
（3）[3] 摆球在水平面内做圆周运动,由向心力公式
<
由上可知，测得的重力加速度偏大。
6．2.990 偏小 7.8cm
【详解】
（1）[1]由图可知，小球的直径
D=29mm+0.05mm×18=29.90mm=2.990cm
（2）[2]实验中将41次全振动数为40次，会导致测得周期偏大，根据
知测得重力加速度偏小；
（3）[3]根据单摆的周期公式
得
可知斜率
解得重力加速度
（4）[4]拉离平衡位置的距离
题中要求摆动的最大角度小于，且保留1位小数，所以拉离平衡位置的不超过7.8cm。
7．B 14
【详解】
（1）A.测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间细线的长，然后加上摆球的半径，选项A错误；
B.单摆偏离平衡位置的角度不能太大，否则就不是简谐振动了，选项B正确；
C.质量相同、体积不同的摆球，选用体积较小的，以减小阻力影响，选项C错误；
D.当单摆经过平衡位置时开始计时，应测量至少30次全振动的时间，然后得到单摆振动的周期，选项D错误。
故选B。
（2）①从小球第一次通过最低点开始计时，第n次通过B点用时t，故周期为
②小摆的周期为
大摆的周期为

其中
联立解得
。
8．A A g=
【详解】
（1）[1]ABC．在实验中，需要测量单摆的周期，所以需要秒表。摆球的质量不需要测量，所以不需要天平或弹簧秤，故A正确，BC错误。
故选A。
（2）[2] 游标卡尺的主尺读数为12mm，游标读数为0.5mm，所以最终读数为：?
12mm+0.5mm=12.5mm=1.25cm
（3）[3] A．选用的细线应细、质量小，且不易伸长。故A正确；
B．测量n次全振动的时间t，通过
求解周期，测量一次全振动时间误差较大。故B错误；
C．摆球经过平衡位置时速度最大，在该处计时测量误差较小。故C错误。
故选A。
（4）[4]根据单摆的周期公式
可得
9．B 9.67m/s2
【详解】
（1）[1] 由单摆周期公式
解得
A．测摆线长时摆线拉得过紧，所测L偏大，所测g偏大，A错误；
B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，所测T偏大，所测g偏小，B正确；
C．开始计时时，秒表过迟按下，所测T偏小，所测g偏大，C错误；
D．实验中误将49次全振动计为50次，所测T偏小，所测g偏大，D错误。
故选B。
（2）[2] T2-l图线如图所示
[3] 由单摆周期公式
解得
则斜率
解得
10．2.01 9.69
【详解】
[1]由题表可知三次周期的测量值分别为：
取三者的平均值为
[2]单摆的摆长为
根据单摆的周期公式可得当地重力加速度的值为
11．
【详解】
[1]动的圆频率为ω，可得单摆的周期为
T=
[2]摆长为
结合单摆周期公式可得
解得
g=
12．可以
【详解】
[1]重力作用下在铅垂平面内作周期运动，在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。
[2]设小球的质量为，线长为，则两球之间的引力与重力关系
周期公式为
线长为
又
联立解得
13． >
【详解】
(1)[1]从小石块经过平衡位置（已经选定参考位置）开始，用手机中的“秒表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位置，共经历n=20个周期，总时间为
解得
(2)[2]根据周期公式
解得摆长为
摆长即为树的周长，则
(3)[3]山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，所以同纬度的重力加速度偏大，则测量值>真实值。