13.3.2：等边三角形 同步提高课时练习（含解析）

13.3.2：等边三角形
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移得到△AˊBˊCˊ，连接AˊC，若BBˊ＝4，则△AˊBˊC的周长为（　　）
A．20 B．24 C．36 D．16
2．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
3．如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是（　　）
A．60° B．45° C．55° D．75°
4．如图，小江同学把三角尺含有false角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有false角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为false，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A．false m B．4 m C．4false m D．8 m
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则以下AE与CE的数量关系正确的是（　　）
A．AE=falseCE B．AE=falseCE C．AE=falseCE D．AE=2CE
8．一副三角板如图摆放（直角顶点false重合），边false与false交于点false，false，则false等于（　　）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是 （ ）
A．false B．false C．6 D．4
10．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　）
A．false B．false C．false D．不能确定
11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，则AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A．3 B．2 C．false D．1
13．下列三角形，不一定是等边三角形的是
A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形 D．边上的高也是这边的中线的三角形
14．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
15．给出下列命题:
（1）有一个角为false的等腰三角形是等边三角形；
（2）三个内角度数之比为false的三角形是直角三角形；
（3）有三条互不重合的直线false，若false，那么false；
（4）等腰三角形两条边的长度分别为false和false，则它的周长为false或false．
其中真命题的个数为（ ）
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
16．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( )
A．90° B．100° C．130° D．180°
17．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③AM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
18．如图点false在同一条直线上，false都是等边三角形，false相交于点O，且分别与false交于点false，连接false，有如下结论：①false；②false；③false为等边三角形；④false．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
19．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为_____度．
20．false中, false,最小边false,则最长边false的长为__________．
21．如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面积是__．

22．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
23．如图：点false在false上，false、false均是等边三角形，false、false分别与false、false交于点false、false，则下列结论①false ②false ③false为等边三角形 ④false正确的是______（填出所有正确的序号）
24．如图，已知P、Q是falseABC的边BC上的两点，且BP=QC=PQ=AP=AQ，则∠BAC=______
25．如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是_____．
26．已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则BE=___________，∠BDE=_________ ．
27．如图，在等边false中，将false沿虚线false剪去，则false___°．
28．如图，在false中，false，false，false平分false交false于false，false于false，下列结论：①false；②点false在线段false的垂直平分线上；③false；④false；⑤false，其中正确的有____（填结论正确的序号）．
29．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD为∠CAB的角平分线,若CD=3，则DB=____.
30．如图：false是等边三角形，false，false，false相交于点false，false于false，false，false，则false的长是______________．
31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足是D，若AB=8cm，则AD=__cm.
32．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
33．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______
三、解答题
34．如图，在false中，false，false，false平分false，延长false至false，使false．
（1）求证：false；
（2）连接false，试判断false的形状，并说明理由．
35．如图1，△ABC为等边三角形，点E、F分别在BC和AB上，且CE=BF，AE与CF相交于点H.
（1）求证：△ACE≌△CBF；
（2）求∠CHE的度数；
（3）如图2，在图1上以AC为边长再作等边△ACD，将HE延长至G使得HG=CH，连接HD与CG，求证：HD=AH+CH

36．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，
（1）求证：DB=DE
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．
37．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
（观察猜想）
①AE与BD的数量关系是　 　；
②∠APD的度数为　 　．
（数学思考）
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（拓展应用）
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为　 　．
38．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE
?
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）求出∠AFB的度数．
39．如图，false是等边三角形，延长false到false，使false，点false是边false的中点，连接false并延长false交false于false．
求证：（1）false；
（2）false．
40．已知：如图，△ABC中，P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，连结AP和AQ，且BP＝PQ＝QC．求∠C的度数．
证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，
∴PA＝　 　，QC＝QA．　 　
∵BP＝PQ＝QC，
∴在△APQ中，PQ＝　 　（等量代换）
∴△APQ是　 　三角形．
∴∠AQP＝60°，
∵在△AQC中，QC＝QA，
∴∠C＝∠　 　．
又∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP＝∠　 　+∠　 　＝60°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C＝　 　．
41．如图，已知false为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且false，false与false相交于点false．
（1）求证：false；
（2）求false的度数．
42．如图，已知false为等边三角形，点false由点false出发，在false延长线上运动，连接false，以false为边作等边三角形false，连接false．
（1）证明：false；
（2）若false，点false的运动速度为每秒false，运动时间为false秒，则false为何值时，false？
43．已知△ABC是等边三角形，P为△ABC所在平面内一个动点，BP=BA，若0°﹤∠PBC﹤ 180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA．
(1)当BP和BA重合时(如图1)，则∠BPD=______°.
(2)当BP在∠ABC内部时(如图2)，求∠BPD的度数
(3)当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形.
44．已知：等边三角形false，false交false轴于点false，false，false，false，false，且false、false满足false．
（1）如图，求false、false的坐标及false的长；
（2）如图，点false是false延长线上一点，点false是false右侧一点，false，且false．连接false．
求证：直线false必过点false关于false轴对称的对称点；
（3）如图，若点false在false延长线上，点false在false延长线上，且false，求false的值．
参考答案
1．B
【解析】由false，false的长度结合∠B＝60°，判断false的形状，得false的长度，可得false的周长．
【解答】由平移可知：false，false
∵false
∴false
∴false
∴false是等边三角形
∴false
∴false的周长为：false
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，等边三角形的判断，熟知以上知识点是解题的关键．
2．D
【解答】试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
false ，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
3．B
【解析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．
【解答】如图，延长AC交BD于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CBD+∠CHB，∠CBD=15°，
∴∠CHB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠CHB=45°，
故选B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．B
【解析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.
【解答】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，
∵孔洞的最长边为false
∴S=false=false
故选B.
【点评】此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.
5．B
【解析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
【点评】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
6．B
【解答】分析：过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
详解： 过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=falseBC=4m，
故选B．
点睛：本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．
7．D
【解析】首先连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE．
【解答】连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE，
故选D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
8．A
【解析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形，故false，false，由平行线的性质可知false，由三角形内角和定理可求出false的度数．
【解答】解：由题意知false，false，
∵false，
∴false，
在false中，
falsefalse，
故选A．
【点评】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含false角的直角三角形．
9．C
【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=6．
故选C．
10．B
【解析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=falseAC即可．
【解答】
过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
false
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=falseAC，
∵AC=1，
∴DE=false.
故选B.
11．C
【解答】试题解析：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，又CD是高，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4cm，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8cm，
故选C．
12．B
【解答】连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF．
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°．
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°．
∵DE=1，∴AE=2DE=2．
∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2．故选B．
13．D
【解析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．
【解答】A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
14．A
【解答】【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，false，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA；
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，false，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．
15．B
【解析】分别根据等边三角形的判定、直角三角形的判定、平行公理的推论、等腰三角形的性质逐一判定即可
【解答】解：（1）有一个角为false的等腰三角形是等边三角形；正确；
（2）三个内角度数之比为false的三角形各个角的度数分别是30°、60°、90°，是直角三角形；正确；
（3）有三条互不重合的直线false，若false，那么false；正确；
（4）等腰三角形两条边的长度分别为false和false，则它的三边长可能是2、2、4或2、4、4，其中2+2false 4，不能构成三角形，所以等腰三角形的周长false；错误．
故选：B
【点评】熟练掌握等边三角形，直角三角形等的性质平行公理的推论、等腰三角形的性质以及三角形三边关系,熟练掌握相关的知识是解题的关键．
16．B
【解答】试题分析：如图，∠1=90°-∠BAC；
∠2=120°-∠ACB；
∠3=120°-∠ABC；
∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150°
∵∠3=50°
∴∠1+∠2=100°
故选B
考点：1．特殊角的度数；2．三角形内角和
17．B
【解析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=falseAD，DF=falseAD，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．
【解答】如图所示：连接BD、DC，
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF，
∴①正确；
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=falseAD，
同理：DF=falseAD，
∴DE+DF=AD，
∴②正确；
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，
假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF，
故③错误；
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中
false，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=FC，
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC，
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE，
故④正确，
所以正确的有3个，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
18．D
【解析】由SAS即可证明false，则①正确；有∠CAE=∠CDB，然后证明△ACM≌△DCN，则②正确；由CM=CN，∠MCN=60°，即可得到false为等边三角形，则③正确；由AD∥CE，则∠DAO=∠NEO=∠CBN，由外角的性质false，即可得到答案．
【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
false
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①正确；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
false，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，false；则②正确；
∵∠MCN=60°，
∴false为等边三角形；则③正确；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴false；则④正确；
∴正确的结论由4个；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．
19．30或150
【解析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
【解答】解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝falseAB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝falseAC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，注意分情况讨论．
20．8cm
【解析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
此三角形为直角三角形，
故AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
21．72cm2
【解析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=24cm，
∴AC=falseAB=12cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=12cm．
故S△ACF=false×12×12=72（cm2）．
故答案为：72cm2．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
22．false．
【解析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEfalseAC即可．
【解答】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵false，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEfalseAC．
∵AC=3，
∴DEfalse．
故答案为：false．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
23．①②③④
【解析】利用等边三角形的性质得CA＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，所以∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，则利用“SAS”可判定△ACE≌△DCB，所以AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，则可对①进行判定；再证明△ACM≌△DCN得到CM＝CN，则可对②进行判定；然后证明△CMN为等边三角形得到∠CMN＝60°，则可对③④进行判定．
【解答】解：∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，
在△ACE和△DCB中false，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，所以①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠MAC=∠NDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠MCA=∠DCN=60°，
在△ACM和△DCN中false，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN，所以②正确；
∵CM＝CN，∠MCN＝60°，
∴△CMN为等边三角形，故③正确，
∴∠CMN＝60°，
∴∠CMN＝∠MCA，
∴MN∥BC，所以④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，也考查了等边三角形的判定与性质．
24．120°
【解析】
识记三角形中的角边转换
因为 PQ=AP=AQ
△APQ为等边三角形 ∠APQ=60°它互补角∠APB=120°
BP="AP"
△ APB为等腰三角形∠PAB=30°
同理 ∠CAQ=30°
所以 ∠BAC=∠CAQ+∠PAB+∠PAQ=30°+30°+60°=120°
25．0＜t＜false或t＞6．
【解析】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：①过A作AP⊥BC时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP＝false，
∴当0＜t＜false时，△ABP是钝角三角形；
②过A作P'A⊥AB时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP'＝6，
∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，
故答案为：0＜t＜false或t＞6．
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
26．3 120°
【解析】根据等腰三角形和30度角所对直角边等于斜边的一半，得到BC的长，进而得到BE的长，根据三角形外角性质求出∠E=∠CDE=30°，进而得出∠BDE的度数．
【解答】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC．
∵BD为高线，∴∠BDC=90°，∠DBCfalse∠ABC=30°，
∴BC=2DC=2，∴BE=BC+CE=2+1=3．
∵CD=CE，∴∠E=∠CDE．
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120°．
故答案为：3，120°．
【点评】本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出BD的长．
27．240
【解析】根据等边三角形的性质可得false，再让四边形false的内角和false减去false即可求得答案．
【解答】∵false是等边三角形
∴false
∴false
∴false
故答案是：false
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和、外角和定理以及四边形的内角和是false．因为涉及到的知识点较多，所以解题方法也较多，需注意解题过程要规范、解题思路要清晰．
28．①②③⑤
【解析】根据已知条件可得false，false，false，false是含false角的false，而false是一个等腰三角形，进而利用等腰三进行的判定、垂直平分线的判定以及含false角的直角三角形的性质可以得出false、点false在线段false的垂直平分线上、false、false、false，即可判断．
【解答】∵false，false
∴false，false
∵false平分false交false于false
∴false
∴false
∴false，故①正确；
点false在线段false的垂直平分线上，故②正确；
∵false
∴false，故③正确；
∴在false中，false，故④错误；
在false中，false
在false中，false
∴false，故⑤正确．
故答案是：①②③⑤．
【点评】本题图形较为复杂，涉及到知识点较多，主要考查了等腰三进行的判定、垂直平分线的判定以及含false角的直角三角形的性质，属中等题，解题时要保持思路清晰．
29．6
【解析】先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数=180°﹣90°﹣30°=60°，然后利用角平分线的性质，求出∠CAD的度数false∠BAC=30°．在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AD的长，进而得出BD．
【解答】在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°．
∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CADfalse∠BAC=30°．在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，CD=3，∴AD=6．
∵∠B=∠BAD=30°，∴BD=AD=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
30．9
【解析】在false，易求false，于是可求false，进而可求false，而false，那么有false.
【解答】∵false，
∴false，
又∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false是等边三角形，
∴false，false，
又∵false，
∴false，
∴false，
故答案为：9.
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，含有false角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键.
31．2
【解析】根据含30°角的直角三角形的性质可求出AC的长，由锐角互余的关系可得∠ACD=∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AD的长即可.
【解答】∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8cm，
∴AC=falseAB=4，
∵∠B+∠A=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴AD=falseAC=2.
故答案为2
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
32．（1）见解析；（2）AP＝2；（3）DE的长不变，定值为3．
【解析】（1）过P作PF∥QC交AB于F，则false是等边三角形，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）想办法证明BD＝DF＝AF即可解决问题；
（3）想办法证明false即可解决问题．
【解答】（1）证明：过P作PF∥QC交AB于F，则false是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
在false和false中，
false，
∴false，
∴DQ＝DP；
（2）解：∵false，
∴BD＝DF，
∵false，false
∴false，
∴false，
∴AP＝2；
（3）解：由（2）知BD＝DF，
∵false是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE＝EF，
∴DE＝DF+EF
false
false
＝3，为定值，即DE的长不变．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，以及三角形中的动点问题，熟练掌握相关几何综合的解法是解决本题的关键.
33．110°、125°、140°
【解析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【解答】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠DAO=50°，
分三种情况讨论：
①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，
∴190°﹣α=50°，
∴α=140°；
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，
故答案为：110°、125°、140°.
【点评】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
34．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析．
【解析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=false∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，
∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
（2）△ABE是等边三角形；理由如下：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识．解题的关键是掌握角平分线的性质以及等边三角形的性质，此题难度不大．
35．（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得：∠B=∠ACB=60°，BC=CA，然后利用“边角边”证明：△ACE和△CBF全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得：∠EAC=∠BCF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理得到∠CHE=∠BAC；
（3）如图2，先说明△CHG是等边三角形，再证明△DCH≌△ACG，可得DH=AG=AH+HG=AH+CH．
【解答】
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=CA，
即∠B=∠ACE=60°，
在△ACE和△CBF中，false
∴△ACE≌△CBF（SAS）；
（2）解：由（1）知：△ACE≌△CBF，
∴∠EAC=∠BCF，
∴∠CHE=∠EAC+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=60°；
（3）如图2，由（2）知：∠CHE=60°，
∵HG=CH，
∴△CHG是等边三角形，
∴CG=CH=HG，∠G=60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∵△ACE≌△CBF，
∴∠AEC=∠BFC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF=60°+∠ACF，
∠AEC=∠G+∠BCG=60°+∠BCG，
∴∠ACF=∠BCG，
∴∠ACF+∠ACD=∠BCG+∠ACB，
即∠DCH=∠ACG，
∴△DCH≌△ACG，
∴DH=AG=AH+HG=AH+CH．
【点评】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记等边三角形的性质，并以此创造三角形全等的条件是解题的关键．
36．（1）证明见解析；（2）48.
【解析】（1）根据△ABC是等边三角形，BD是中线，可知∠DBC=30°，由CE=CD，∠ACD=60°可求得∠DCE=30°，即∠DBC=∠DCE，则DB=DE；
（2）根据Rt△DCF中∠FCD=30°知CD=2CF=4，即可知AC=8，则可求出△ABC的周长.
【解答】（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= false∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）；
（2）解： ∵∠CDE=∠CED= false∠BCD=30°，DF⊥BE.
∴∠CDF=30°，
∵CF=4，
∴DC=8，
∵AD=CD，
∴AC=16，
∴△ABC的周长=3AC=48.
【点评】此题主要考察等边三角形的计算，抓住角度的特点是解题的关键.
37．【观察猜想】：①AE＝BD．②∠APD＝60°．理由见解析；【数学思考】：结论仍然成立，证明见解析；【拓展应用】：50.
【解析】观察猜想：证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°；
数学思考：结论成立，证明方法类似；
拓展应用：证明AC⊥BD，可得S四边形ABCD＝false?AC?DP+false?AC?PB＝false?AC?（DP+PB）＝false?AC?BD．
【解答】观察猜想：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．
理由：设AE交CD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
即∠APD＝60°．
故答案为AE＝BD，60°．
数学思考：结论仍然成立．
理由：设AC交BD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
即∠APD＝60°．
拓展应用：
设AC交BE于点O．
∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，
∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，
∵∠BOP＝∠EOC，
∴∠BPO＝∠CEO＝90°，
∴AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝false?AC?DP+false?AC?PB＝false?AC?（DP+PB）＝false?AC?BD＝50．
故答案为50．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
38．（1）见解析；（2）120°．
【解析】
试题分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD；
（2）根据△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根据三角形的外角性质求出∠AFB即可．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC（等边三角形三边都相等），
∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
（2）∵△ABE≌△BCD（已证），
∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠AFB=180°﹣60°=120°．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
39．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）根据等边三角形的性质可知false，false，从而可得false，再利用三角形的内角和可求得false，最后根据垂直定义可证得false
（2）通过添加辅助线false构造出false，再利用等边三角形的相关性质证得false，从而得出false，最后根据false角所对的直角边等于斜边的一半知false，即false．
【解答】（1）∵false为等边三角形
∴false，false，false
∵false是边false的中点∴false
∵false
∴false，
∴false
∵false，false
∴false
∴false
∴false；
（2）连接false
∵false为等边三角形
∴false，false，
∵false是边false的中点
∴false
∵false
∴false
∴false
∵在false中，false
∴false，
∴false，即：false
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，含false的直角三角形的性质．第一问再利用三角形的内角和、垂直定义等知识点即可得证；第二问解题关键在于辅助线的添加，构造出含false的直角三角形，再利用等边三角形的性质以及等要三角形的判定进一步转化得证最后结论．
40．BP，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，PA＝QA，等边，QAC，C，QAC，30°．
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得PA＝BP，QC＝QA，再根据等量关系可得PQ＝PA＝QA，可得△APQ是 等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AQP＝60°，再根据三角形三角形外角的性质和等腰的性质可求∠C的度数．
【解答】解：证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，
∴PA＝BP，QC＝QA．（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）
∵BP＝PQ＝QC，
∴在△APQ中，PQ＝PA＝QA（等量代换）
∴△APQ是等边三角形．
∴∠AQP＝60°，
∵在△AQC中，QC＝QA，
∴∠C＝∠QAC．
又∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP＝∠C+∠QAC＝60°．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C＝30°．
故答案为：BP，（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），PA＝QA，等边，QAC，C，QAC，30°．
【点评】考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质和等腰三角形的性质，关键是得到△APQ是等边三角形．
41．（1）证明见解析；（2）120°．
【解析】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）根据∠AFB=180°-（∠ABE+∠BAD），∠ABE=∠CAD，可知∠AFB=180°-（∠CAD+∠BAD）=180°-60°=120°．
【解答】（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
false，∴△ABE△CAD（SAS）．
（2）∵在△ABC中，∠AFB=180°-（∠ABE+∠BAD），
又∵△ABE△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠AFB=180°-（∠ABE+∠BAD）=180°-（∠CAD+∠BAD）=180°-60°=120°．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质定义.
42．（1）证明过程见解析；（2）3.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出AB=AC=BC、AD=AE、∠BAC=∠DAE，再根据角的等量代换即可证出△BAD≌△CAE，即可得出答案；
（2）根据等边三角形的性质得出CE是△ADE的边AD的垂直平分线，即可得出答案.
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=60°，∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
false
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴CE=BD
又BD=BC+CD=AC+CD
∴CE=AC+CD
（2）解：如图所示
∵△ADE是等边三角形
若CE⊥AD
则CE是△ADE的边AD的垂直平分线
∴CD=CA=AB=6
∴t=6÷2=3(s)
【点评】本题考查的是等边三角形，难度适中，需要熟练掌握等边三角形的性质.
43．(1)30；(2)∠BPD=30°；(3)图形见解析，∠BPD=30°或150°.
【解析】（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠DPB，因为DB是∠PBC的平分线，因此，∠DBP=∠DPB=30°；
（2）本题可通过构建全等三角形来求解．连接CD，BP=BC，BD又是∠PBC的平分线，三角形PBD和三角形CBD中又有一公共边，因此两三角形全等，∠BPD=∠BCD，那么关键是求∠BCD的值，那么我们就要看∠BCD和∠ACB的关系了，可通过证明三角形ACD和BCD全等来得出，这两个三角形中，BD=AD，BC=AC，有一条公共边CD因此∠BCD=∠ACD=30°，那么就求出∠BPD的度数了；
（3）同（2）的证法完全一样，步骤有2个，一是得出∠BCD的度数，二是证明三角形BPD和BCD全等，同（2）完全一样．
（当∠BPD是钝角时，∠BPD=∠BCD=（360-60）÷2=150°，还是用的（2）中的三角形BPD，BCD全等，BCD，ACD全等）
【解答】解：(1)30°
(2)连结CD
∵ D在∠PBC的平分线上
∴∠PBD=∠CBD
∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°
∵BP=BA
∴BP=BC
∵BD=BD
∴△PBD≌△CBD(SAS)
∴∠BPD=∠BCD
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=false∠ACB=30°
∴∠BPD=30°
(3)∠BPD=30°或150°
【点评】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；通过全等三角形得出角相等是解题的关键．
44．（1）A（-3,0），B（1,0），CD=2；（2）见解析；（3）6.
【解析】（1）首先利用绝对值的非负性得出false，即可得出点A、B的坐标；得出AB、BC，然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°，进而得出BD，得出CD；
（2）首先判定△CEP、△ABC为等边三角形，进而判定△CBE≌△CAP，然后利用角和边的关系得出DO=OF，即可判定点D、F关于false轴对称，直线false必过点false关于false轴对称的对称点；
（3）作DI∥AB，判定△CDI为等边三角形，然后判定△MDI≌△NDB，得出NB=MI，进而得出false的值.
【解答】（1）∵false，即false
∴false
∴false
∴A（-3,0），B（1,0），
∴AB=BC=4，
∵∠CBA=60°
∴∠ODB=30°
∴BD=2OB=2
∴CD=BC-BD=4-2=2；
（2）延长EB交false轴于F，连接CE，如图所示：
∵false，false
∴△CEP为等边三角形
∴∠ECP=60°，CE=CP
由（1）中得知，△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°，CA=CB
∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE
∴△CBE≌△CAP（SAS）
∴∠CEB=∠CPA
∴∠EBP=∠ECP=60°
∴∠FBO=∠DBO=60°
∴∠BFO=∠BDO=30°
∴BD=BF
∵BO⊥DF
∴DO=OF
∴点D、F关于false轴对称
∴直线false必过点false关于false轴对称的对称点；
（3）过点D作DI∥AB交AC于I，如图所示：
由（2）中△ABC为等边三角形，则△CDI为等边三角形，
∴DI=CD=DB
∴∠MID=120°=∠DBN
∴△MDI≌△NDB（AAS）
∴NB=MI
∴AN-AM=（AB+NB）-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6
【点评】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握，即可解题.