13.4：课题学习 最短路径问题 同步提高课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.4：课题学习 最短路径问题 同步提高课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-10 18:05:24 | ||
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文档简介
13.4：课题学习 最短路径问题
一、单选题
1．如图，在false中，false，false，false，false是false中点，false垂直平分false，交false于点false，交false于点false，在false上确定一点false，使false最小，则这个最小值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
2．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（ ）
A．7 B．14 C．10 D．不确定
3．如图，在等边△ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，AD＝false，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是（ ）
A．false B．2 C．1 D．3
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（ ）
A．145° B．152° C．158° D．160°
6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（ ）度.
A．90 B．95 C．100 D．105
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
8．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
13．如图，false是等边三角形，false，false是false边上的高，false是false的中点，false是false上的一个动点，则false的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．false D．false
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝4false，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．50° D．60°
17．如图，在false中，false，false，false，false平分false，点false分别为false上的动点，则false的最小值是（ ）
A．1.2 B．2 C．2.4 D．5
18．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，false m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（ ）
A．6 B．false C．false D．5
二、填空题
19．如图，在等边false中，false是false的中点，false是false的中点，false是false上任意一点．如果false，false，那么false的最小值是 ．
20．如图，在false中，false，false，false的垂直平分线交false于点false，交false于点false，在直线false上存在一点false，使false、false、false三点构成的false的周长最小，则false的周长最小值为______．
21．如图，等腰三角形false的底边false长为6，面积是36，腰false的垂直平分线false分别交false，false边于false，false点，若点false为false边的中点，点false为线段false上一动点，则false周长的最小值____．
22．如图，false是false内一定点，点false，false分别在边false，false上运动，若false，false，则false的周长的最小值为___________.
23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．
25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．
26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．
27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.
28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线false，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，false的最小值是______．
29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是_____
30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.
32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．
33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。已知B村在A村的北偏东60°方向，距离A村2.4km，C村在A村的正东方向，距离A村1.8km,要使此工程费用最省，管道PA+PB+PC之和需最短，则最短长度为______________km.
34．如图，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____．
三、解答题
35．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出一点P，使得|PA﹣PC|的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在直线l上找出一点Q，使得QA+QC1的值最小；（保留作图痕迹并标上字母Q）
（4）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
36．如图，在平面直角坐标系中
（1）做出△ABC关于y轴对称的false,并求出false三个顶点的坐标；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
37．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
38．如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；
39．圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为________cm.
40．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
41．如图，一个动点P自A（3,1）出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达y轴上某点(设为点F)，最后运动到点M（1,4）。在图上作出使点P运动的总路径最短的点E、点F的位置。
42．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
43．如图1，已知直线false的同侧有两个点false、false，在直线false上找一点false，使false点到false、false两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线false的对称点，对称点与另一点的连线与直线false的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点false的坐标为false，点false的坐标为false，动点false在false轴上，求false的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形false中，false，false，false的角平分线交false于点false，false、false分别是false和false上的动点，则false的最小值为______.
（3）如图4，false，false，false，点false，false分别是射线false，false上的动点，则false的最小值为__________.
44．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积＝ ．A1C1边上的高＝ ；
（3）在x轴上有一点P，使PA+PB最小，此时PA+PB的最小值＝ ．
45．在平面直角坐标系中，B(2，2false)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
参考答案
1．C
【解析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【解答】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，
∴S△ABC=false=60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．B
【解析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．
【解答】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，
周长为2（3+4）=14
故选B．
【点评】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．
3．A
【解析】
【解析】连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，可得出BM＝CM，由BM+MN＝CM+MN＝CN，可得出CN的长为最小值，利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可．
【解答】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，
由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴CM＝BM，
∴BM+MN＝CM+MN＝CN，即最小值为CN的长，
∵△ABC为等边三角形，且AB＝2，AN＝1，
∴CN为AB边上的中线，
∴CN⊥AB，
在Rt△ACN中，AC＝AB＝2，AN＝1，
根据勾股定理得：CN＝false＝false.
故选A．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路线问题，以及等边三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．C
【解析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
△AQP和△AQP′中，
false，∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=falseAB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
5．B
【解答】试题分析：根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=104°，再求∠AEA′的度数即可．
解：∵∠B=50°，∠A=26°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=104°，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，
∵将△ABC沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠DEA′=∠AED=104°，
∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
6．B
【解析】先根据折叠的性质得到∠1=∠C=80°，∠2=∠3，再根据三角形外角性质计算出∠4=∠1﹣∠B=10°，接着利用平角定义得到∠2+∠3+∠4=180°，则可求出∠2=85°，然后利用∠MNB=∠2+∠4进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，
∴∠1=∠C=80°，∠2=∠3，
∵∠1=∠B+∠4，
∴∠4=∠1﹣∠B=80°﹣70°=10°，
而∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2=180°﹣10°=170°，
∴∠2=85°，
∴∠MNB=∠2+∠4=85°+10°=95°．
故选B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．C
【解析】根据点false与点false关于false对称，即可得出false，当点false与点false重合时，false，此时false的周长最小，根据false与false的长即可得到false周长的最小值．
【解答】解：false是以false为底边的等腰三角形，false平分false，
false垂直平分false，
false点false与点false关于false对称，
false，
如图所示，当点false与点false重合时，false，
此时false的周长最小，
false，false，false的周长为30，
false，
false周长的最小值为false，
故选：false．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．C
【解析】
分析：本题考查的是最短路径的求法，一次函数解析式.
解析：连接BC，交直线x=1与点D，此时三角形ACD的周长最小，设BC的解析式为false 把B(3，0)，C(0，－1)分别代入得，false 把x=1，代入得false ,∴△ABD的面积为false.
故选C.
点睛：本题的关键是利用最短路径的作图方法找到点D的位置，动点D(1，m)，得出点D在直线x=1上，求出三角形面积即可.
9．C
【解答】试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=false∠ACB=30°，
故选C．
10．A
【解析】
分析：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
详解：如图?,?作点?P?关于直线?AD?的对称点?P′,?连接?QP′?，
在?△AQP?和?△AQP′?中，
false，
∴△AQP?≌?△AQP′?，
∴PQ=QP′
∴?欲求?PQ+BQ?的最小值?,?只要求出?BQ+QP′?的最小值，
∴?当?BP′⊥AC?时?,BQ+QP′?的值最小?,?此时?Q?与?D?重合?,P′?与?C?重合，最小值为?BC?的长．
在?Rt△ABC?中?,∵∠C=90°,AB=8,∠BAC=30°?，
∴BC=falseAB=4?，
∴PQ+BQ?的最小值是?4?，
故选A.
点睛：本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键.
11．C
【解析】
如图所示,先作点N关于AC的对称点N’,由两点之间线段最短可知BN’即为BM+MN的最小值,根据对称性可知N’C=NC=5, ∠ACB=∠CAN’=45°,即∠BCN’=90°,
在Rt△BCN’中,BN’=false故答案为:false
12．B
【解析】
第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是false=false；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是false=false；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是false=false；
三种情况比较而言，第二种情况最短.
故选：B.
点睛：本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.
13．C
【解析】找到E点关于AD成轴对称的对称点F，然后连接CF交AD于点P，此时PE+PC最短，PE+PC=PF+PC=FC，即求出FC的长即可.
【解答】找到E点关于AD的成轴对称的对称点F，连接CF，交AD于点P，由此可知PE=PF,此时PE+PC最短,PE+PC=PF+PC=CF
∵E为边AC的中点
∴F点为AB中点，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC=2
CF垂直平分AB,
∴BF=1
在RT△BCF中，
false
故答案是C
【点评】本题考查最短路径问题，等边三角形的性质，三线合一性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握最短路径模型，能够根据实际情况作出辅助线.
14．B
【解答】如图,在AC上截取AE=AN,连接BE,
因为∠BAC的平分线交BC于点D,
所以∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,false,
所以△AME=△AMN,
所以ME=MN,
所以BM+MN=BM+ME≥BE,
因为BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,又AB=false, ∠BAC=45°,此时, △ABE为等腰直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值为4,所以BM+MN的最小值是4,故选B.
15．A
【解析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
16．B
【解析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．
【解答】解：由题意知：
∠ACM=∠NCM；
又∵AN=AC，
∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；
∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，
∴CM=AM，
∴∠A=∠ACM；
由三角形的内角和定理知：
∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°，
故选B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
17．C
【解析】取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形或成轴对称的性质可推出MN=ME，从而得到CM+ MN=CM+ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM+MN有最小值，最后利用等面积法求得CE的值即得．
【解答】解：取点N关于AD的对称点E，如下图：
∵AD平分∠BAC
∴点E在AB上
∵点N与点E关于AD对称
∴AD是N点与E点所连线段的垂直平分线
∴MN=ME
∴CM+ MN=CM+ME
当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值
∵在false中，false，false，false
∴false
∵在false中，CE⊥AB
∴false
∴false
∴CM+MN最小值为：false．
故选：C．
【点评】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题．
18．C
【解析】
如图所示,因为点C的坐标为（m,false?m）（m为非负数）,
所以点C的坐标所在直线为false,点A关于直线false的对称点的坐标为A’,则AA’所在直线为false,把点A(2,0)代入得false,解得false,故AA’所在直线为false,联立C的坐标所在直线和AA’所在直线可得false,解得false,
所以点C的坐标所在直线AA’所在直线的交点M的坐标为(false,false),
所以点A关于直线false的对称点的坐标为(－1,false),根据两点之间距离公式可求得:
A’B=false,即CA+CB的最小值,故选C.
19．false
【解析】从题型可知为”将军饮马”的题型,连接CE,CE即为所求最小值．
【解答】
∵△ABC是等边三角形,
∴B点关于AD的对称点就是C点,
连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小．
∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,
∴CE=AD=false．
故答案为: false．
【点评】本题考查三角形中动点最值问题,关键在于寻找对称点即可求出最值．
20．18
【解析】连接PA．因为△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，推出PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小．由题意PA=PB，推出PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PA．
∵△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，
∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，
∴PB+PC的最小值为10cm，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
故答案为18cm.
【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．15
【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=falseBC?AD=false×6×AD=36，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+falseBC=12+false×6=12+3=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
22．3
【解析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【解答】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
23．5．
【解析】如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．得到△PCE是等边三角形，根据勾股定理得到PA=false =5，如图2中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．得到△PAF是等边三角形，PM=NF，于是得到结论．
【解答】如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．
则△PCE是等边三角形，∠AEC＝∠BPC＝150°，∠PEC＝60°，
∴∠AEP＝90°，
∵AE＝BP＝3，PC＝PE＝4，
∴PA＝false＝5，
如图2中，如图1中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．
则△PAF是等边三角形，PM＝NF，
∴PF＝AP＝5，
∵PM+PN＝NF+NP≥PF，
∴PM+PN≥5，
∴PM+PN的最小值为5，
故答案为：5．
【点评】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
24．2false
【解析】作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值．
【解答】解：作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值，连接CC′交AB于点H，则CC′⊥AB，C′H＝HC′，
∵∠C′MH＝∠AMN，∠A＝30°，
∴∠C′＝∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴HC＝falseAC，
∴CC′＝4，
∴C′N＝CC′?cosC′＝2false．
故答案为2false．
【点评】本题考查轴对称?最短问题，直角三角形30度角性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．100°
【解析】
作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH,
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A''=2(∠AA′M+∠A'')=2×60°=120°．
故答案为120°.
26．3
【解析】由于点G关于直线EF的对称点是A，所以当B、P、A三点在同一直线上时，BP+PG的值最小,此时△BPG的周长的最小．
【解答】解：由题意得AG⊥BC，点G与点A关于直线EF对称，
连接PA，则BP＋PG＝BP＋PA，
所以当点A，B，P在一条直线上时，BP＋PA的值最小，最小值为2．
由题可得BG＝1，
因为△BPG的周长为BG＋PG＋BP，
所以当BP＋PA的值最小时，△BPG的周长最小，最小值是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
27．5
【解析】
作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P?N?M?Q长度的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，
∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，
∴∠P′OQ′=90°，
∴在Rt△P′OQ′中，
P′Q′=false=5.
故答案为5.
点睛：本题考查了轴对称—最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.
28．4
【解析】
【解析】连接CE，由题意可得false，将false转化为false，当点C，点E，点F三点共线，且false时，false值最小，即false的值最小，此时CF的长度为false的最小值．
【解答】如图：连接CE，
false是等边三角形，AD是中线，
false垂直平分BC，
false，
false，
false当点C，点E，点F三点共线，且false时，false值最小，即false的值最小．
此时：false是等边三角形，false，false，
false，
即false的最小值是4，
故答案为4.
【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键false解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
29．12
【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【解答】设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=12，
即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．
故答案为12
【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
30．false
【解析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝falseBC?AD＝falseAC?BQ，
∴BQ＝false＝false，
即PC+PQ的最小值是false．
故答案为false．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
31．2false．
【解析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=falseAB=2，AC=2false，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=false，
∴AG=false =false=2false，
∴AF+CF的最小值是2false．
【点评】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
32．（3，false）
【解析】
【解析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，由作图得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．
【解答】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM＋PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（6，0），
∴ON＝6，
∵点M是ON的中点，
∴OM＝3，
∴PM＝false，
∴P（3，false）．
故答案为：（3，false）
【点评】本题考查了轴对称?最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．
33．3
【解析】先证明△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．然后根据这个原理找到点P，把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，证得△ABE是直角三角形，用勾股定理求出BE，即可得出PA+PB+PC之和的最短值。
【解答】解：先证明结论：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
如图1， P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，
证明：如图2，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．
∴PA+PB+PC的值最小．
解决问题：
如图3，将三个村连接为△ABC，由上可知，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，AP+BP+PC的值最小.
把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，
∴∠PAD=60°，AE=AC=2.4 km
由上可知B、P、D、E共线，且AP+BP+PC=BE，∠PAB=∠DAE，
∵B村在A村的北偏东60°方向， C村在A村的正东方向，
∴∠BAC=30°，
∴∠PAB+∠PAC=∠DAE+∠PAB=30°，
∴∠BAE=∠DAE+∠PAB+∠PAD=90°，
在Rt△ABE中，
false
∴PA+PB+PC=3km
故答案为：3
【点评】本题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换及全等三角形的性质转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．
34．4
【解析】利用角平分线定理确定当BF⊥AC时，PB+PE的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.
【解答】
如图，∵AB = AC = 8，AD平分false
∴false
∴当BF⊥AC时，PB+PE的值最小=BF
false
∴BF=4
∴PB+PE的最小值为4.
【点评】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB最小值的情况并画出图形，是解题的关键.
35．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）4
【解析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；
（3）直线AC与直线l的交点Q即为所求；
（4）作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，
由对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，顺次连结A1B1，A1 C1，B1C1，
得到△A1B1C1与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）∵C与C1关于直线l对称，
∴PC=PC1，
∴|PA﹣PC|=|PA﹣PC1|，当P、A、C1三点共线时，|PA﹣PC1|取得最大值，即|PA﹣PC|的值最大，
∴连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；
（3）∵C与C1关于直线l对称，
∴QC=QC1，
∴QA+QC1=QA+QC，当A、Q、C三点共线时，QA+QC取得最小值，即QA+QC1的值最小；
∴直线AC与直线l的交点Q即为所求；
（4）∵构成以BC为底边的等腰三角形，
则等腰三角形的顶点在线段BC的垂直平分线上，
∴作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求，共4个格点；
故答案为4．
【点评】本题考查画轴对称图形、轴对称最短路径问题、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．（1）false；（2）2.5；（3）见解析
【解析】（1）根据y轴对称的性质，纵坐标不变，横坐标变相反数，描出对称点，然后连接各个点即可；
（2）利用格点把三角形补成矩形，在用矩形面积减去外面的三角形面积即可算出；
（3）先作A点的对称点false，根据对称，PA=false，PA+PC=false+PC，连接Cfalse，根据两点间线段最短，PA+PC的最小值就是Cfalse的长度，C和false的连线与x轴的交点即是P点．
【解答】解：（1）如图所示：false
（2）如图，将false补成矩形false，则
false，false，false，false，false，false，false，false，
false
false
false
false
false
（3）如图所示
【点评】本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
37．（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②false．
【解析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.
【解答】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示，
（2）延长DE交AB的延长线于F，
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DGfalse，
∵KH∥DG，
∴false，
∴false，
∴KHfalse，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为false．
【点评】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
38．见解析
【解析】
试题分析：利用轴对称，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点.
试题解析：所求点如下图所示：
∵两点之间线段最短，
∴需要能将AM、BM两边转化到一条直线上，
∴用轴对称可以办到，
求点M的位置的具体步骤如下：
①作作点A关于直线BC的轴对称点A’，
②连结A’B交BC于点M，
③连结AM，
则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短.
39．15
【解析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】
圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为falsecm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×false=4cm；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm；
∴AC+CD+DB=15cm.
40．∠AMN＋∠ANM＝120°.
【解析】
试题分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
试题解析：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
点睛：本题考查的是轴对称?最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
41．图形见解析
【解析】
试题分析：由于false的位置一定，因此找出点false关于false轴的对称点false，点false关于false轴的对称点false，连接false交false轴于点false
根据轴对称的性质可知false 则线段false的长即为运动的最短距离
试题解析：如图所示：
42．见解析
【解析】
试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.
试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
【点睛】本题考查了最短径问题，主要就是要掌握轴对称在生活中的实际应用，解此类题的关键就是要作出对称点，然后根据两点之间线段最短进行连接，从而得到满足条件的点.
43．（1）5；（2）false；（3）13.
【解析】
（1）作点A 关于x轴的对称点false，连接false，false的最小值即为false的长，并构造以false为斜边的直角三角形利用勾股定理求出false长即可；
（2）作false于点H，交AD与点false，过点false作false于点false，则false的最小值为false，由角平分线的性质可得false，则false，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；
（3）作点C关于OB的对称点false，作点D关于OA的对称点false， 连接false分别交OA、OB于点false，连接false，则false的最小值为false的长，由对称的性质可得false长，根据勾股定理求出false长即可.
【解答】
解：（1）作点A 关于x轴的对称点false，连接false，false的最小值即为false的长，构造以false为斜边的直角三角形
false
false
false
在false中，由勾股定理得false
即false
所以false的最小值为5.
（2）作false于点H，交AD与点false，过点false作false于点false，则false的最小值为false，
false平分false，false，false
false
false
在false中，
false
false
false
由勾股定理得false
false
false
所以false的最小值为false.
（3）作点C关于OB的对称点false，作点D关于OA的对称点false， 连接false分别交OA、OB于点false，连接false，则false的最小值为false的长.
由对称可得OA垂直平分false，OB垂直平分false，
false
false
在false中由勾股定理得false
false
所以false的最小值为13.
【点评】
本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键.
44．（1）详见解析；（2）7，false；（3）2false
【解析】（1）依据轴对称的性质，即可作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法即可得到△A1B1C1的面积，进而得出A1C1边上的高；
（3）连接AB1，交x轴于点P，则BP＝B1P，PA+PB的最小值等于AB1的长，运用勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝4×5﹣false×2×2﹣false×3×4﹣false×2×5＝20﹣2﹣6﹣5＝7．
∵A1C1＝false＝5，
∴A1C1边上的高＝false＝false；
故答案为：7，false；
（3）如图所示，连接AB1，交x轴于点P，则BP＝B1P，
∴PA+PB的最小值等于AB1的长，
∵AB1＝false＝2false，
∴PA+PB的最小值等于2false，
故答案为：2false．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
45．（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2false
【解析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；
②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；
（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2false即可．
【解答】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，
在△ABD和△AOC中，false，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2false），
∴OM＝2，BM＝2false，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2false），
∴OM＝2，BM＝2false，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，
∴AN'＝falseAB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，
∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，
∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝false＝false＝2false，
∴OM+MN＝2false；
即OM+NM的最小值为2false．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
一、单选题
1．如图，在false中，false，false，false，false是false中点，false垂直平分false，交false于点false，交false于点false，在false上确定一点false，使false最小，则这个最小值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
2．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（ ）
A．7 B．14 C．10 D．不确定
3．如图，在等边△ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，AD＝false，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是（ ）
A．false B．2 C．1 D．3
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（ ）
A．145° B．152° C．158° D．160°
6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（ ）度.
A．90 B．95 C．100 D．105
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
8．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
13．如图，false是等边三角形，false，false是false边上的高，false是false的中点，false是false上的一个动点，则false的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．false D．false
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝4false，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．50° D．60°
17．如图，在false中，false，false，false，false平分false，点false分别为false上的动点，则false的最小值是（ ）
A．1.2 B．2 C．2.4 D．5
18．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，false m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（ ）
A．6 B．false C．false D．5
二、填空题
19．如图，在等边false中，false是false的中点，false是false的中点，false是false上任意一点．如果false，false，那么false的最小值是 ．
20．如图，在false中，false，false，false的垂直平分线交false于点false，交false于点false，在直线false上存在一点false，使false、false、false三点构成的false的周长最小，则false的周长最小值为______．
21．如图，等腰三角形false的底边false长为6，面积是36，腰false的垂直平分线false分别交false，false边于false，false点，若点false为false边的中点，点false为线段false上一动点，则false周长的最小值____．
22．如图，false是false内一定点，点false，false分别在边false，false上运动，若false，false，则false的周长的最小值为___________.
23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．
25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．
26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．
27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.
28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线false，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，false的最小值是______．
29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是_____
30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.
32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．
33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。已知B村在A村的北偏东60°方向，距离A村2.4km，C村在A村的正东方向，距离A村1.8km,要使此工程费用最省，管道PA+PB+PC之和需最短，则最短长度为______________km.
34．如图，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____．
三、解答题
35．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出一点P，使得|PA﹣PC|的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在直线l上找出一点Q，使得QA+QC1的值最小；（保留作图痕迹并标上字母Q）
（4）在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
36．如图，在平面直角坐标系中
（1）做出△ABC关于y轴对称的false,并求出false三个顶点的坐标；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
37．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
38．如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；
39．圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为________cm.
40．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
41．如图，一个动点P自A（3,1）出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达y轴上某点(设为点F)，最后运动到点M（1,4）。在图上作出使点P运动的总路径最短的点E、点F的位置。
42．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
43．如图1，已知直线false的同侧有两个点false、false，在直线false上找一点false，使false点到false、false两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线false的对称点，对称点与另一点的连线与直线false的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点false的坐标为false，点false的坐标为false，动点false在false轴上，求false的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形false中，false，false，false的角平分线交false于点false，false、false分别是false和false上的动点，则false的最小值为______.
（3）如图4，false，false，false，点false，false分别是射线false，false上的动点，则false的最小值为__________.
44．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积＝ ．A1C1边上的高＝ ；
（3）在x轴上有一点P，使PA+PB最小，此时PA+PB的最小值＝ ．
45．在平面直角坐标系中，B(2，2false)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
参考答案
1．C
【解析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【解答】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，
∴S△ABC=false=60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．B
【解析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．
【解答】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，
周长为2（3+4）=14
故选B．
【点评】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．
3．A
【解析】
【解析】连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，可得出BM＝CM，由BM+MN＝CM+MN＝CN，可得出CN的长为最小值，利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可．
【解答】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，
由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴CM＝BM，
∴BM+MN＝CM+MN＝CN，即最小值为CN的长，
∵△ABC为等边三角形，且AB＝2，AN＝1，
∴CN为AB边上的中线，
∴CN⊥AB，
在Rt△ACN中，AC＝AB＝2，AN＝1，
根据勾股定理得：CN＝false＝false.
故选A．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路线问题，以及等边三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．C
【解析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
△AQP和△AQP′中，
false，∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=falseAB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
5．B
【解答】试题分析：根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=104°，再求∠AEA′的度数即可．
解：∵∠B=50°，∠A=26°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=104°，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，
∵将△ABC沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠DEA′=∠AED=104°，
∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
6．B
【解析】先根据折叠的性质得到∠1=∠C=80°，∠2=∠3，再根据三角形外角性质计算出∠4=∠1﹣∠B=10°，接着利用平角定义得到∠2+∠3+∠4=180°，则可求出∠2=85°，然后利用∠MNB=∠2+∠4进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，
∴∠1=∠C=80°，∠2=∠3，
∵∠1=∠B+∠4，
∴∠4=∠1﹣∠B=80°﹣70°=10°，
而∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2=180°﹣10°=170°，
∴∠2=85°，
∴∠MNB=∠2+∠4=85°+10°=95°．
故选B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．C
【解析】根据点false与点false关于false对称，即可得出false，当点false与点false重合时，false，此时false的周长最小，根据false与false的长即可得到false周长的最小值．
【解答】解：false是以false为底边的等腰三角形，false平分false，
false垂直平分false，
false点false与点false关于false对称，
false，
如图所示，当点false与点false重合时，false，
此时false的周长最小，
false，false，false的周长为30，
false，
false周长的最小值为false，
故选：false．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．C
【解析】
分析：本题考查的是最短路径的求法，一次函数解析式.
解析：连接BC，交直线x=1与点D，此时三角形ACD的周长最小，设BC的解析式为false 把B(3，0)，C(0，－1)分别代入得，false 把x=1，代入得false ,∴△ABD的面积为false.
故选C.
点睛：本题的关键是利用最短路径的作图方法找到点D的位置，动点D(1，m)，得出点D在直线x=1上，求出三角形面积即可.
9．C
【解答】试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=false∠ACB=30°，
故选C．
10．A
【解析】
分析：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
详解：如图?,?作点?P?关于直线?AD?的对称点?P′,?连接?QP′?，
在?△AQP?和?△AQP′?中，
false，
∴△AQP?≌?△AQP′?，
∴PQ=QP′
∴?欲求?PQ+BQ?的最小值?,?只要求出?BQ+QP′?的最小值，
∴?当?BP′⊥AC?时?,BQ+QP′?的值最小?,?此时?Q?与?D?重合?,P′?与?C?重合，最小值为?BC?的长．
在?Rt△ABC?中?,∵∠C=90°,AB=8,∠BAC=30°?，
∴BC=falseAB=4?，
∴PQ+BQ?的最小值是?4?，
故选A.
点睛：本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键.
11．C
【解析】
如图所示,先作点N关于AC的对称点N’,由两点之间线段最短可知BN’即为BM+MN的最小值,根据对称性可知N’C=NC=5, ∠ACB=∠CAN’=45°,即∠BCN’=90°,
在Rt△BCN’中,BN’=false故答案为:false
12．B
【解析】
第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是false=false；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是false=false；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是false=false；
三种情况比较而言，第二种情况最短.
故选：B.
点睛：本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.
13．C
【解析】找到E点关于AD成轴对称的对称点F，然后连接CF交AD于点P，此时PE+PC最短，PE+PC=PF+PC=FC，即求出FC的长即可.
【解答】找到E点关于AD的成轴对称的对称点F，连接CF，交AD于点P，由此可知PE=PF,此时PE+PC最短,PE+PC=PF+PC=CF
∵E为边AC的中点
∴F点为AB中点，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC=2
CF垂直平分AB,
∴BF=1
在RT△BCF中，
false
故答案是C
【点评】本题考查最短路径问题，等边三角形的性质，三线合一性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握最短路径模型，能够根据实际情况作出辅助线.
14．B
【解答】如图,在AC上截取AE=AN,连接BE,
因为∠BAC的平分线交BC于点D,
所以∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,false,
所以△AME=△AMN,
所以ME=MN,
所以BM+MN=BM+ME≥BE,
因为BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,又AB=false, ∠BAC=45°,此时, △ABE为等腰直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值为4,所以BM+MN的最小值是4,故选B.
15．A
【解析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
16．B
【解析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．
【解答】解：由题意知：
∠ACM=∠NCM；
又∵AN=AC，
∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；
∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，
∴CM=AM，
∴∠A=∠ACM；
由三角形的内角和定理知：
∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°，
故选B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
17．C
【解析】取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形或成轴对称的性质可推出MN=ME，从而得到CM+ MN=CM+ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM+MN有最小值，最后利用等面积法求得CE的值即得．
【解答】解：取点N关于AD的对称点E，如下图：
∵AD平分∠BAC
∴点E在AB上
∵点N与点E关于AD对称
∴AD是N点与E点所连线段的垂直平分线
∴MN=ME
∴CM+ MN=CM+ME
当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值
∵在false中，false，false，false
∴false
∵在false中，CE⊥AB
∴false
∴false
∴CM+MN最小值为：false．
故选：C．
【点评】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题．
18．C
【解析】
如图所示,因为点C的坐标为（m,false?m）（m为非负数）,
所以点C的坐标所在直线为false,点A关于直线false的对称点的坐标为A’,则AA’所在直线为false,把点A(2,0)代入得false,解得false,故AA’所在直线为false,联立C的坐标所在直线和AA’所在直线可得false,解得false,
所以点C的坐标所在直线AA’所在直线的交点M的坐标为(false,false),
所以点A关于直线false的对称点的坐标为(－1,false),根据两点之间距离公式可求得:
A’B=false,即CA+CB的最小值,故选C.
19．false
【解析】从题型可知为”将军饮马”的题型,连接CE,CE即为所求最小值．
【解答】
∵△ABC是等边三角形,
∴B点关于AD的对称点就是C点,
连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小．
∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,
∴CE=AD=false．
故答案为: false．
【点评】本题考查三角形中动点最值问题,关键在于寻找对称点即可求出最值．
20．18
【解析】连接PA．因为△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，推出PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小．由题意PA=PB，推出PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PA．
∵△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，
∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，
∴PB+PC的最小值为10cm，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
故答案为18cm.
【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．15
【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=falseBC?AD=false×6×AD=36，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+falseBC=12+false×6=12+3=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
22．3
【解析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【解答】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
23．5．
【解析】如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．得到△PCE是等边三角形，根据勾股定理得到PA=false =5，如图2中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．得到△PAF是等边三角形，PM=NF，于是得到结论．
【解答】如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．
则△PCE是等边三角形，∠AEC＝∠BPC＝150°，∠PEC＝60°，
∴∠AEP＝90°，
∵AE＝BP＝3，PC＝PE＝4，
∴PA＝false＝5，
如图2中，如图1中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．
则△PAF是等边三角形，PM＝NF，
∴PF＝AP＝5，
∵PM+PN＝NF+NP≥PF，
∴PM+PN≥5，
∴PM+PN的最小值为5，
故答案为：5．
【点评】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
24．2false
【解析】作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值．
【解答】解：作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值，连接CC′交AB于点H，则CC′⊥AB，C′H＝HC′，
∵∠C′MH＝∠AMN，∠A＝30°，
∴∠C′＝∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴HC＝falseAC，
∴CC′＝4，
∴C′N＝CC′?cosC′＝2false．
故答案为2false．
【点评】本题考查轴对称?最短问题，直角三角形30度角性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．100°
【解析】
作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH,
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A''=2(∠AA′M+∠A'')=2×60°=120°．
故答案为120°.
26．3
【解析】由于点G关于直线EF的对称点是A，所以当B、P、A三点在同一直线上时，BP+PG的值最小,此时△BPG的周长的最小．
【解答】解：由题意得AG⊥BC，点G与点A关于直线EF对称，
连接PA，则BP＋PG＝BP＋PA，
所以当点A，B，P在一条直线上时，BP＋PA的值最小，最小值为2．
由题可得BG＝1，
因为△BPG的周长为BG＋PG＋BP，
所以当BP＋PA的值最小时，△BPG的周长最小，最小值是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
27．5
【解析】
作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P?N?M?Q长度的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，
∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，
∴∠P′OQ′=90°，
∴在Rt△P′OQ′中，
P′Q′=false=5.
故答案为5.
点睛：本题考查了轴对称—最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.
28．4
【解析】
【解析】连接CE，由题意可得false，将false转化为false，当点C，点E，点F三点共线，且false时，false值最小，即false的值最小，此时CF的长度为false的最小值．
【解答】如图：连接CE，
false是等边三角形，AD是中线，
false垂直平分BC，
false，
false，
false当点C，点E，点F三点共线，且false时，false值最小，即false的值最小．
此时：false是等边三角形，false，false，
false，
即false的最小值是4，
故答案为4.
【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键false解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
29．12
【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【解答】设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=12，
即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．
故答案为12
【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
30．false
【解析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝falseBC?AD＝falseAC?BQ，
∴BQ＝false＝false，
即PC+PQ的最小值是false．
故答案为false．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
31．2false．
【解析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=falseAB=2，AC=2false，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=false，
∴AG=false =false=2false，
∴AF+CF的最小值是2false．
【点评】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
32．（3，false）
【解析】
【解析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，由作图得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．
【解答】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM＋PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（6，0），
∴ON＝6，
∵点M是ON的中点，
∴OM＝3，
∴PM＝false，
∴P（3，false）．
故答案为：（3，false）
【点评】本题考查了轴对称?最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．
33．3
【解析】先证明△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．然后根据这个原理找到点P，把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，证得△ABE是直角三角形，用勾股定理求出BE，即可得出PA+PB+PC之和的最短值。
【解答】解：先证明结论：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
如图1， P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，
证明：如图2，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．
∴PA+PB+PC的值最小．
解决问题：
如图3，将三个村连接为△ABC，由上可知，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，AP+BP+PC的值最小.
把△APC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，
∴∠PAD=60°，AE=AC=2.4 km
由上可知B、P、D、E共线，且AP+BP+PC=BE，∠PAB=∠DAE，
∵B村在A村的北偏东60°方向， C村在A村的正东方向，
∴∠BAC=30°，
∴∠PAB+∠PAC=∠DAE+∠PAB=30°，
∴∠BAE=∠DAE+∠PAB+∠PAD=90°，
在Rt△ABE中，
false
∴PA+PB+PC=3km
故答案为：3
【点评】本题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换及全等三角形的性质转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．
34．4
【解析】利用角平分线定理确定当BF⊥AC时，PB+PE的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.
【解答】
如图，∵AB = AC = 8，AD平分false
∴false
∴当BF⊥AC时，PB+PE的值最小=BF
false
∴BF=4
∴PB+PE的最小值为4.
【点评】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB最小值的情况并画出图形，是解题的关键.
35．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）4
【解析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；
（3）直线AC与直线l的交点Q即为所求；
（4）作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，
由对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，顺次连结A1B1，A1 C1，B1C1，
得到△A1B1C1与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）∵C与C1关于直线l对称，
∴PC=PC1，
∴|PA﹣PC|=|PA﹣PC1|，当P、A、C1三点共线时，|PA﹣PC1|取得最大值，即|PA﹣PC|的值最大，
∴连接AC1，延长AC1交直线l于点P，点P即为所求；
（3）∵C与C1关于直线l对称，
∴QC=QC1，
∴QA+QC1=QA+QC，当A、Q、C三点共线时，QA+QC取得最小值，即QA+QC1的值最小；
∴直线AC与直线l的交点Q即为所求；
（4）∵构成以BC为底边的等腰三角形，
则等腰三角形的顶点在线段BC的垂直平分线上，
∴作线段BC的垂直平分线，如图D1，D2，D3，D4即为所求，共4个格点；
故答案为4．
【点评】本题考查画轴对称图形、轴对称最短路径问题、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．（1）false；（2）2.5；（3）见解析
【解析】（1）根据y轴对称的性质，纵坐标不变，横坐标变相反数，描出对称点，然后连接各个点即可；
（2）利用格点把三角形补成矩形，在用矩形面积减去外面的三角形面积即可算出；
（3）先作A点的对称点false，根据对称，PA=false，PA+PC=false+PC，连接Cfalse，根据两点间线段最短，PA+PC的最小值就是Cfalse的长度，C和false的连线与x轴的交点即是P点．
【解答】解：（1）如图所示：false
（2）如图，将false补成矩形false，则
false，false，false，false，false，false，false，false，
false
false
false
false
false
（3）如图所示
【点评】本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
37．（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②false．
【解析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.
【解答】（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示，
（2）延长DE交AB的延长线于F，
∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DGfalse，
∵KH∥DG，
∴false，
∴false，
∴KHfalse，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为false．
【点评】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
38．见解析
【解析】
试题分析：利用轴对称，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点.
试题解析：所求点如下图所示：
∵两点之间线段最短，
∴需要能将AM、BM两边转化到一条直线上，
∴用轴对称可以办到，
求点M的位置的具体步骤如下：
①作作点A关于直线BC的轴对称点A’，
②连结A’B交BC于点M，
③连结AM，
则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短.
39．15
【解析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】
圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为falsecm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×false=4cm；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm；
∴AC+CD+DB=15cm.
40．∠AMN＋∠ANM＝120°.
【解析】
试题分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
试题解析：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
点睛：本题考查的是轴对称?最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
41．图形见解析
【解析】
试题分析：由于false的位置一定，因此找出点false关于false轴的对称点false，点false关于false轴的对称点false，连接false交false轴于点false
根据轴对称的性质可知false 则线段false的长即为运动的最短距离
试题解析：如图所示：
42．见解析
【解析】
试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.
试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
【点睛】本题考查了最短径问题，主要就是要掌握轴对称在生活中的实际应用，解此类题的关键就是要作出对称点，然后根据两点之间线段最短进行连接，从而得到满足条件的点.
43．（1）5；（2）false；（3）13.
【解析】
（1）作点A 关于x轴的对称点false，连接false，false的最小值即为false的长，并构造以false为斜边的直角三角形利用勾股定理求出false长即可；
（2）作false于点H，交AD与点false，过点false作false于点false，则false的最小值为false，由角平分线的性质可得false，则false，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；
（3）作点C关于OB的对称点false，作点D关于OA的对称点false， 连接false分别交OA、OB于点false，连接false，则false的最小值为false的长，由对称的性质可得false长，根据勾股定理求出false长即可.
【解答】
解：（1）作点A 关于x轴的对称点false，连接false，false的最小值即为false的长，构造以false为斜边的直角三角形
false
false
false
在false中，由勾股定理得false
即false
所以false的最小值为5.
（2）作false于点H，交AD与点false，过点false作false于点false，则false的最小值为false，
false平分false，false，false
false
false
在false中，
false
false
false
由勾股定理得false
false
false
所以false的最小值为false.
（3）作点C关于OB的对称点false，作点D关于OA的对称点false， 连接false分别交OA、OB于点false，连接false，则false的最小值为false的长.
由对称可得OA垂直平分false，OB垂直平分false，
false
false
在false中由勾股定理得false
false
所以false的最小值为13.
【点评】
本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键.
44．（1）详见解析；（2）7，false；（3）2false
【解析】（1）依据轴对称的性质，即可作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法即可得到△A1B1C1的面积，进而得出A1C1边上的高；
（3）连接AB1，交x轴于点P，则BP＝B1P，PA+PB的最小值等于AB1的长，运用勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝4×5﹣false×2×2﹣false×3×4﹣false×2×5＝20﹣2﹣6﹣5＝7．
∵A1C1＝false＝5，
∴A1C1边上的高＝false＝false；
故答案为：7，false；
（3）如图所示，连接AB1，交x轴于点P，则BP＝B1P，
∴PA+PB的最小值等于AB1的长，
∵AB1＝false＝2false，
∴PA+PB的最小值等于2false，
故答案为：2false．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
45．（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2false
【解析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；
②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；
（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2false即可．
【解答】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，
在△ABD和△AOC中，false，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2false），
∴OM＝2，BM＝2false，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2false），
∴OM＝2，BM＝2false，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，
∴AN'＝falseAB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，
∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，
∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝false＝false＝2false，
∴OM+MN＝2false；
即OM+NM的最小值为2false．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．