14.2.1：平方差公式 同步提高课时练习（含解析）

14.2.1：平方差公式
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ )
A．false B．false
C．false D．false
3．下列各题中，不能用平方差公式计算是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．若false，则false（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．计算(x-1)(x+1)(x2+1)-(x4+1)的结果是(　　)
A．-2x2 B．0 C．-2 D．-1
6．已知：false，false，false，false，false，false，设false，则A的个位数是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
7．下列运算正确的等式是（ ）
A．(5-m)(5+m)=mfalse-25 B．(1-3m)(1+3m)=1-3mfalse
C．(-4-3n)(-4+3n)= -9nfalse+16 D．(2ab-n)(2ab+n)=4abfalse-nfalse
8．下列计算能用平方差公式的是( )
A．false B．false
C．false D．(false)(false)
9．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
10．下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 B．﹣3x2y?2xy2＝﹣6x2y2
C．（﹣t﹣1）2＝t2﹣2t+1 D．（﹣10）10÷109＝10
11．下列各式，能够表示图中阴影部分的面积的是（　　）
①ac+（b﹣c）c；②ac+bc﹣c2；③ab﹣（a﹣c）（b﹣c）；④（a﹣c）c+（b﹣c）c+c2
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①
12．如图，在边长为false的正方形中央剪去一个边长为false的小正方形false，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．如图false，将边长为false的大正方形剪去一个边长为false的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图false所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．false B．falseC．false D．false
14．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　）
A．false B．false C．falsem D．false
15．false的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
16．计算false的值为（ ）
A．5048 B．50 C．4950 D．5050
17．化简false的结果是(　　)
A．false B．false C．false D．false
18．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
19．若false，则false______________．
20．计算false的结果等于_________．
21．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．
22．false__________．
23．定义false，例如false，则false的结果是_______．
24．化简false的结果是_____．
25．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是_____________
26．如果false，那么m＝_____．
27．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____________________．
28．计算：false___________.
29．已知false，且false，则false__________．
30．两个正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2 ， 则这两个正方形的边长差为________ cm
31．设false则false_______.
32．在边长为false的正方形中剪掉一个边长为false的小正方形false，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．
33．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．
34．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．
三、解答题
35．运用乘法公式进行计算
（1）false
（2）false
36．观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
（1）根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）
（2）你能否由此归纳出一般规律（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+false32+3+1的值
37．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab＋b2＝（a﹣b）2
C．a2＋ab＝a（a＋b）
（2）若x2﹣y2＝16，x＋y＝8，求x﹣y的值；
（3）计算：（1﹣false）（1﹣false）（1﹣false）…（1﹣false）（1﹣false）．
38．（3mn+1）(3mn－1) －8m2n2
39．已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
40．阅读下列材料，并解答问题．
面积与代数恒等式
通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式false，人们经常称作用面积解释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如可用图2表示false．
请根据阅读材料，解答下列问题:
（1）请写出图3所表示的代数恒等式： ；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：false；
（3）请仿照上述方法另写一个含有false，false的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
41．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．
42．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
（应用）请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
43．根据以下10个乘积，回答问题：
false；false；false；false；false；
false；false；false；false；false；
（1）试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式，并写出其中一个的思考过程
（2）将以上10个乘积按照从小到大排列起来
（3）若用false，false，false，....false，表示n个乘积，其中false为正数，试由（1）（2）猜测一个一般性的结论。（不要求写证明）
44．从边长为false的正方形中剪掉一个边长为false的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、false B、false C、false
(2)若false，求false的值；
(3)计算：false．
45．如图，在边长为false的正方形中，剪去一个边长为false的小正方形（false），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：
（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．
（2）如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）根据前面两问，可以得到公式 ．
（4）运用你所得到的公式计算：false ．
参考答案
1．D
【解析】根据整式的混合运算法则即可求解．
【解答】A.false不能计算，故错误；
B.false ，故错误；
C.false ，故错误；
D.false，正确，
故选D．
【点评】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
2．D
【解析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．
【解答】解：如图所示，
左边阴影部分面积为：false，
右边阴影部分面积为：false，
由阴影部分面积相等可得：false，
故选D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．
3．B
【解析】根据平方差公式的结构对每一项进行判断即可．
【解答】A、false符合平方差公式的结构，故本项不符合题意；
B、false=false，不符合平方差公式的结构，故本项符合题意；
C、false=false，符合平方差公式的结构，故本项不符合题意；
D、false=false，符合平方差公式的结构，故本项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题关键．
4．B
【解析】利用平方差公式变形即可求解．
【解答】原等式false变形得：
false
false
false
false．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
5．C
【解析】
【解析】原式利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=（x2-1）（x2+1）-(x4+1)=x4-1-(x4+1)=-2，
故选C．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．B
【解析】先分别计算找出规律，计算即可得出结论．
【解答】解：false，false，false，false，false，false，
false个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
false
false
false
false
false
false，
false的个位上数字为：4．
故选：false．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．C
【解析】
解：A．（5-m）（5+m）= 25-m2，所以此选项是错误的；
B．（1-3m）（1+3m）=1-9m2，所以此选项是错误的；
C．（-4-3n）（-4+3n）= -9n2+16，此选项是正确；
D．（2ab-n）（2ab+n）=4a2b2-n2，所以此选项是错误的；
故选C．
8．C
【解析】根据平方差公式的定义分别判断各选项即可解答.
【解答】解：A、false不是平方差公式，故A选项错误；
B、false不是平方差公式，故B选项错误；
C、false是平方差公式，故C选项正确；
D、(false)(false)不是平方差公式，故D选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，熟练掌握是解题的关键.
9．C
【解析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】根据平方差公式为（a+b）（a-b）=a2-b2，即可得出（m+n）（m-n）可以用平方差公式计算．
故选：C．
【点评】此题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
10．D
【解析】根据同类项.合并同类项.平方差公式.同底数幂的除法.积的乘方分别求出每个式子的值，再进行判断即可.
【解答】解：A、（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，故本选项错误；
B、﹣3x2y?2xy2＝﹣6x3y3，故本选项错误；
C、（﹣t﹣1）2＝t2+2t+1，故本选项错误；
D、（﹣10）10÷109＝1010÷109＝10，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查同类项.合并同类项.平方差公式.同底数幂的除法.积的乘方，解题关键在于熟练掌握计算法则.
11．A
【解析】根据题意可以画出相应的图形，从而求出阴影部分的面积，从而判断题目中的结论正确与否．
【解答】（1）L的面积=右边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积=ac+（b-c）c；
（2）L的面积=上边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积=（a-c）c+bc= ac+bc﹣c2；
（3）L的面积=大矩形的面积-由辅助线构成的小矩形的面积=ab-（a-c）（b-c）
（4）L的面积=竖着的大矩形的面积+横着的大矩形的面积-重叠部分的正方形的面积=（a﹣c）c+（b﹣c）c+c2
因此①②③④是正确的．
【点评】本题考查的知识点是对图形的面积的求法，解题关键是注意不同的辅助线作法对应的面积的求法不同，但结果应该一致．
12．C
【解析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：（2a）2-（a+2）2
=4a2-a2-4a-4
=3a2-4a-4，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
13．B
【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
14．C
【解析】根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【解答】根据题意，得：（2m+3）2-（m+3）2=[（2m+3）+（m+3）][（2m+3）-（m+3）]=（3m+6）m=3m2+6m.
故选C．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何背景，解决此题的关键是利用两正方形的面积表示出长方形的面积．
15．D
【解析】先将2变形为false，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【解答】解：false
false
false
false
false，false，false，false，false，false，false，false，false
falsefalse的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
falsefalse，故false与false的个位数字相同即为1，
∴false的个位数字为0，
∴false的个位数字是0．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
16．D
【解析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．
【解答】解：1002-992+982-972+…+22-12
=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）
=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）
=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1
=101×（99-97+95-…+3-1）
=101×（2+2+…+2）
=101×25×2
=5050．
故答案为D.
【点评】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．
17．A
【解析】将3转换成false的形式，再利用平方差公式求解即可．
【解答】false
false
false
false
false
false
false
故答案为：A．
【点评】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
18．A
【解析】
【解析】先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.
【解答】false
=（2-1）false
=24n-1.
故选A.
【点评】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.
19．10
【解析】直接利用平方差公式即可求解．
【解答】false，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
20．false
【解析】直接运用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：false，
故答案为：false．
【点评】此题考查了平方差公式，熟记公式false是解本题的关键．
21．(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【解析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
【解答】∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．
22．false
【解析】根据平方差公式求解即可.
【解答】解：false
故答案为false.
【点评】解：本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.
23．false
【解析】根据定义的运算，直接代入再根据平方差公式计算即可．
【解答】根据运算定义可知false=false，
故答案为：false．
【点评】本题考查了新定义的运算以及平方差公式，解题的关键理解新定义的应用．
24．4
【解析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
【解答】解：false．
故答案为4．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
25．false
【解析】
【解答】大正方形的面积?小正方形的面积=a2?b2，
矩形的面积=(a+b)(a?b)，
故a2?b2=(a+b)(a?b).
故答案为false.
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用这两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.
26．±3
【解析】根据平方差平公式求解即可．
【解答】∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝（x+my）（x﹣my），
∴m＝±3．
故答案为：±3
【点评】本题主要考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．
27．a2-b2=(a+b)(a-b)
【解答】因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积,即为false,
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得:false,故答案为:false.
28．false.
【解析】先变形为false，再按照平方差公式计算即可.
【解答】解：false=false=false=false.
【点评】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，先根据平方差公式特点进行变形是关键.
29．3.
【解析】由题意可得(x+y)(x-y)=2019,x+y=673,代入后即可求解.
【解答】解：∵false,
∴(x+y)(x-y)=2019,
∵x=673-y，
∴x+y=673,
∴673(x-y)=2019,
∴x-y=3.
故答案是：3.
【点评】本题考查了运用平方差公式进行计算，掌握公式特点进行变形是关键.
30．2
【解析】
∵两个正方形的边长的和为20cm，
∴假设其中一边长为x，另一边为20-x，且x＞20-x，
∵它们的面积的差为40cm2，
∴x2-（20-x）2=40，
（x+20-x）（x-20+x）=40，
∴20（2x-20）=40，
∴2x-20=2，
∴x=11，
∴另一边边长为9cm．
则这两个正方形的边长的差为：11-9=2（cm）．
故答案是：2．
31．false
【解析】根据平方差公式对原式进行变形即可求出S，再求出false的值即可.
【解答】false
=false
=false
=false
=false
=false
=false
故false=false
【点评】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是利用1=2-1找到公式的特点.
32．a2-b2=(a+b)(a-b)
【解析】
【解析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.
【解答】∵第一个图形的面积是a2-b2，
第二个图形的面积是false（b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：
a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为a2-b2=(a+b)(a-b).
【点评】本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
33．2693
【解析】
【解析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，
所以2693是第2018个“智慧数”，
故答案为：2693．
【点评】本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．
34．m n+p+q
【解析】
(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=false，故答案为(1)m，(2)n+p+q.
点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.
35．（1）false（2）false
【解析】（1）把两个式子变形，利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）第一个式子出负号变形，运用平方差公式计算；
【解答】（1）false，
false，
=false，
=false；
（2）false，
=false，
=false，
=false，
=false．
【点评】本题主要考查了平方差公式完全平方公式的应用，在解题过程中准确变形是解题的关键．
36．（1）x7﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）false．
【解析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值．
【解答】（1）根据题中规律得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
（2）总结题中规律得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝false×（3﹣1）×（32018+32017+…+32+3+1）＝false．
【点评】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
37．（1）A；（2）2；（3）false
【解析】（1）由题意直接根据拼接前后的面积相等进行分析计算即可得出答案；
（2）根据题意可知x2﹣y2＝16，即（x＋y）（x﹣y）＝16，又x＋y＝8，可求出x﹣y的值；
（3）根据题意利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案．
【解答】解：（1）图1的剩余面积为a2﹣b2，图2拼接得到的图形面积为（a＋b）（a﹣b）
因此有，a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），
故答案为：A.
（2）∵x2﹣y2＝（x＋y）（x﹣y）＝16，
又∵x＋y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2；
（3）（1﹣false）（1﹣false）（1﹣false）…（1﹣false）（1﹣false）
＝（1﹣false）（1＋false）（1﹣false）（1＋false）（1﹣false）（1＋false）……（1﹣false）（1＋false）（1﹣false）（1＋false）
＝false×false×false×false×false×false×……×false×false×false×false
＝false×false
＝false．
【点评】本题考查平方差公式的几何意义及应用，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是解题的关键．
38．m2n2?1.
【解析】原式第一项利用平方差公式计算，合并后即可得到结果．
【解答】解：原式=(3mn)2?1?8m2n2
=9m2n2?1?8m2n2
=m2n2?1.
故答案为：m2n2?1.
【点评】本题考查了利用平方差公式进行多项式的化简.
39．7
【解析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【解答】解：false
=false
=false
∵false
∴false
∴原式=7．
【点评】本题考查整式的化简求值．
40．（1）false；（2）见解析；（3）false，图见解析．
【解析】（1）仔细观察图false，大正方形的边长为false，大正方形里面有九个小图形，分别是一个false、一个false、一个false、两个false、两个false和两个false，即可写出代数恒等式．
（2）根据题意可知，等号左边表示的是一个长方形面积，等号的右边表示的是长方形里面的小图形的面积和，从而顺利解答．
（3）仿照前面的做法，即可解答本题．
【解答】（1）false
（2）答案不唯一，如答图1．

（3）答案不唯一，如等式false．
如答图2．

【点评】本题主要考查了代数公式可以用几何图形中的面积来表示，根据几何图形进行代数恒等式的推导，本题的解答，需注意观察图形和等式的关系．先用不同的形式表示图形面积，再由面积不变列出等式即可．本题十分新颖，充分考查了学生学以致用的能力，同时也加深了对整式乘法的理解．
41．（1）false，false；（2）25；（3）20
【解析】（1）根据题意由图可知：false，false；
（2）根据题意由已知可得false；
（3）根据题意由图可知：false，再由false即可求解．
【解答】解：（1）由图可知：false，false；
（2）false，
∵a+b＝8，ab＝13，
∴false；
（3）由图可知：false，
∵S1+S2＝40，
∴false，
∴false．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
42．探究：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050
【解析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
应用：（1）利用平方差公式得出（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；
拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
应用：（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
【点评】本题考查平方差公式的应用．解题关键是熟练掌握平方差公式．
43．（1）11×29=202-92（2）见解析（3）见解析
【解析】
【解析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．
【解答】（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；
17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；
20×20=202-02
例如，11×29；假设11×29=□2-○2，
因为□2-○2=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．
或11×29=（20-9）（20+9）=202-92
（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20
（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400．
②若a+b=40，则ab≤202=400．
③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤(false)2
④若a+b=m，则ab≤(false)2．
⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为(false)2．
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑧若a+b=m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．
44．（1）A；（2）4；（3）false
【解析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积false，图2中长方形面积false，得到验证平方差公式；
（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解答】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积false，图2中长方形面积false，
false上述操作能验证的等式是false，
故答案为： A；
（2）false，false，
false；
（3）false
false
false
false
false．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键，注意此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
45．（1）false；（2）false；（3）false；（4）2000．
【解析】（1）由大正方形减去小正方形的面积，即可得到答案；
（2）由梯形的定义，以及梯形的面积公式，即可得到答案；
（3）联合（1）（2），即可得到答案；
（4）直接利用平方差公式进行计算，即可得到答案．
【解答】解：（1）大正方形的面积为：false，
小正方形的面积为：false，
∴阴影部分的面积为：false；
故答案为：false；
（2）由梯形的定义可知：
上底是：false，下底是：false，高是：false，
∴梯形的面积为：false；
故答案为：false；
（3）由（1）（2）可知，
false；
故答案为：false；
（4）false
=false
=false
=2000；
【点评】本题考查了平方差公式的几何意义的知识点，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用，注意运用了数形结合的数学思想进行解题．