15.1.1：从分数到分式 同步提高课时练习（含解析）

15.1.1：从分数到分式
一、单选题
1．在代数式false、false、false、false中，分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式false有意义，则false的取值范围是（）
A．false B．false C．false D．false
3．如果分式false的值为零，那么false等于( )
A．false B．false C．false D．false
4．如果分式false有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
5．若代数式false有意义，则实数false的取值范围是（　　）
A．false B．false C．false D．false
6．下列代数式属于分式的是( )
A．false B．3y C．false D．false+y
7．若分式false有意义，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．下列分式中，与false相等的是（　　）
A．false B．false C．false D．false
9．若分式false的值为0，则x的值是（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
10．对于任意的实数false，总有意义的分式是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．在式子false中，属于分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若分式false的值为0，则false的值是（ ）
A．1 B．0 C．5 D．2
13．使分式false的值为零的x的值是（　　）
A．x=2 B．x=±2 C．x=﹣2 D．x=﹣2或x=﹣1
14．若代数式false有意义，则false的取值范围是（ ）
A．false且false B．false且false
C．false且false D．false且false且false
15．下列各式：false，false，false，false，false（x+y）中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．有游客m人，若果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
17．已知：false，false，false，false，……，若false（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
A．109 B．218 C．326 D．436
18．若false是整数，则使分式false的值为整数的false值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
19．若分式false的值为0，则x的值为_____
20．要使分式false有意义，则x应满足条件____．
21．若false，则false的值为____________
22．若分式false的值为0，则x的值为_______.
23．若代数式false在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为____．
24．若分式false的值为0，则x的值是___________．
25．已知分式false的值为零，那么false的值是______。
26．如果x+false＝3，则false的值等于_____
27．使分式false的值为整数的所有整数false的和是________．
28．若分式false的值为零，则x的值为______．
29．已知false为整数，且分式false的值为整数，则false可取的值为________．
30．当分式false的值为整数时，整数m的值为_____．
31．观察下列等式：
false，false，false
将以上三个等式两边分别相加得：falsefalsefalse=false+false+false=false=false
猜想并得出：false=false
根据以上推理，求出分式方程false的解是______．
32．若false满足false和false，则分式false的值为_______．
33．若false,则x的取值范围是____________．
34．已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式false的值是_____．
三、解答题
35． 若式子false无意义，求代数式（y+x）（y-x）+x2的值．
36．已知：a2+a-1=0，求分式false的值．
37．已知false与false互为相反数，求false的值．
38．观察下列等式：
false，false，false，……
（1）请写出第四个等式： ；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
39．当x取什么值时，分式false值为0？
40．已知当y＝7时，分式false的值为0，求m的值.
41．若分式false不论x取何实数总有意义．求m的取值范围．
42．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）
怎样理解false？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以false的false占原长方形的false，即false.
（尝试推广）
（1）①类比分数运算，猜想false的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且false，false）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：false____________；
②若a、b均为正整数且false，猜想false的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
43．当x取何整数时，分式false的值是整数？
44．已知分式false
（1）当x取什么值时，分式有意义？
（2）当x取什么值时，分式为零？
（3）当x取什么值时，分式的值为负数？
45．一个容器装有1 L水，按照下列要求把水倒出：第一次倒出false L水，第2次倒出的水量是false L的false，第3次倒出的水量是falseL的false，第4次倒出的水量是false L的false……，第n次倒出的水量是false L的false……按照这种倒水的方法，这1 L水经多少次可以倒完？请你用学过的数学知识给出解释.
参考答案
1．A
【解析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】false是分式，false、false、false都是整式
则分式的个数有1个
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为零，即false，解得x的取值范围．
【解答】解：∵false
∴false
故选：B．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，即当分母不为零时，分式有意义；掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3．A
【解析】根据分式值为零的条件（分母不等于零，分子等于零）计算即可.
【解答】解：false
false
false
false
false
故选A
【点评】本题考查了分式值为0的条件，当分式满足分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，分母不等于0这一条件是保证分式有意义的前提在计算时经常被忽视.
4．D
【解析】
【解析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【解答】由题意得：x+3≠0，
解得：x≠3，
故选D．
5．D
【解析】分式有意义的条件是分母不为false．
【解答】false代数式false有意义，
falsefalse，
falsefalse
故选D．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为false是分式有意义的条件．
6．C
【解析】
【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A. false不是分式，故本选项错误，
B. 3y不是分式，故本选项错误，
C. false是分式，故本选项正确，
D. false+y不是分式，故本选项错误，
故选：C.
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
7．B
【解析】分式false有意义，则false，求出x的取值范围即可.
【解答】∵分式false有意义，
∴false，
解得：false，
故选B.
【点评】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键.
8．B
【解析】
【解析】根据分式的基本性质逐一判断即可得．
【解答】解：A、false≠false，此选项不符合题意；
B、false＝false，符合题意；
C、false＝﹣false≠false，不符合题意；
D、false＝false≠false，不符合题意；
故选B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
9．A
【解析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【解答】∵分式false的值为0，
∴x2﹣4=0，
解得：x=2或﹣2．
故选A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
10．B
【解析】根据分式有意义的条件进行判断即可．
【解答】A项当x=±1时，分母为0，分式无意义；
B项分母x2+1恒大于0，故分式总有意义；
C项当x=0时，分母为0，分式无意义；
D项当x=1时，分母为0，分式无意义；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键．
11．C
【解析】
在式子false中，属于分式的有false，共3个，
故选C.
12．C
【解析】根据分式的值为零的条件列出关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【解答】根据题意，得：
x﹣5=0且x﹣1≠0，
解得：x=5．
故选C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．A
【解析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】∵分式false的值为零，
∴false，
解得x=2，
故答案选A.
【点评】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是熟练的掌握分式值为零的条件.
14．D
【解析】由代数式false有意义可知，false且false且false，解得即是.
【解答】解：依题意得，false且false且false，
解得false且false且false.
故选D.
【点评】分式有意义的条件，分母不为0，还需要注意除法运算中除数不为0的特殊情况，在本题中就出现需要注意除数不为0.
15．C
【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】false，false，false分母中含有字母，因此是分式；
false，false的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选C．
【点评】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
16．A
【解析】
【解析】房间数＝住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m?1．
【解答】住进房间的人数为：m?1，
依题意得，客房的间数为false，
故选A．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
17．A
【解析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
【解答】解：由false，false，false，false，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
∴在false中，b＝10，a＝102－1＝99，
∴a＋b＝109，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
18．C
【解析】先将假分式false分离可得出false，根据题意只需false是6的整数约数即可．
【解答】解：false
由题意可知，false是6的整数约数，
∴false
解得： false，
其中x的值为整数有：false共4个．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到false，从而使问题简单．
19．-2
【解析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．
【解答】由题意，得
x+2＝0且x≠0，
解得x＝-2，
故答案为：-2．
【点评】此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分子为零且分母不为零时分式的值为零．
20．x≠1．
【解析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x?1≠0．
【解答】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．
21．false
【解析】利用false，在false中，将b用false表示，约掉false得到结果.
【解答】∵false，∴false代入false得：
false
故答案为：false
【点评】本题考查分式的运算，解题关键是运用已知字母间的关系，将分式中的字母简化，以至可约分求得.
22．-3
【解析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：false，
解得：x=-3．
故答案为：-3.
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
23．x≠1
【解析】
【解析】根据分式有意义的条件解答即可.
【解答】∵false在实数范围内有意义，
∴x-1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1
【点评】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0.
24．1
【解析】要使该分式有意义，且分式的值为0，则要使分母不为0，分子为0，即false，且x≠0，即可求出x的值．
【解答】解：∵要使该分式有意义，且分式的值为0，
∴分母不为0，分子为0，即false，且x≠0，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
25．false
【解析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】由false＝0，
可知false=0，x=±a．且x+a≠0，x≠-a，
∴false．
故答案为：false．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
26．false
【解析】由x+false=3得x2+2+false=9，即x2+false=7，整体代入原式=false=false，计算可得结论．
【解答】解：∵x+false=3，∴（x+false）2=9，即x2+2+false=9，则x2+false=7．
∵x≠0，∴原式=false
=false
=false
=false．
故答案为false．
【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形．
27．6
【解析】由于分式false的值为整数，m也是整数，则可知m-1是4的因数，据此来求解．
【解答】解：∵分式false的值为整数，
∴false是4的因数，
∴false，false，false，
又∵m为整数，false，
∴m=5，3，2，0，-1，-3，
则它们的和为：5+3+2+0+（-1）+（-3）=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式的值，要注意分母不能为0，且m为整数．
28．-1
【解答】试题分析：因为当false时分式false的值为零，解得false且false，所以x=-1．
考点：分式的值为零的条件．
29．false或false或false或false
【解析】先化简得到原式＝false，然后利用整数的整除性得到?3只能被?1，1，3，?3这几个整数整除，从而得到m的值．
【解答】解析：false．
false为整数，且false的值为整数，
false，false．
当false时，false；
当false时，false；
当false时，false；
当false时，false．
故答案为：0或2或?2或?4．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，解答此题的关键是判断出m?1可以取的值有哪些．
30．0或1．
【解析】根据题意可列出关于m的方程，从而可求出m的值．
【解答】解：由题意可知：1﹣3m＝±1或1﹣3m＝±2，
解得：m＝false或0或1或false，
由于m是整数，
∴m＝0或1；
故答案为：0或1
【点评】本题考查分式的值、解一元一次方程，解题关键是列出关于m的方程，本题属于基础题型．
31．x=5
【解析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
【解答】解：根据题意，
∵false，
∴false，
整理得：false，
∴false，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【点评】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．false
【解析】根据题意，把两个方程联合组成方程组，然后两方程相减得到false③，再把③整理，代入到①方程，得到false④，再由false，得到false，然后代入分式进行求解，即可得到答案.
【解答】解：根据题意，两个方程了联合组成方程组，有：
false，
由false，得：false③，
∴false，
把false代入①，得：false④，
把false得：false；
∴false；
故答案为：false.
【点评】本题考查了三元一次方程组，以及求分式的值，熟练掌握解方程组的方法，正确得到false和false是解题的关键.
33．x＜1
【解析】
根据x-1的绝对值与本身的比为-1，说明绝对值与本身互为相反数，故可知x-1＜0，即x＜1.
故答案为：x＜1.
34．2
【解答】解：根据分式的特点，可变形为false，
然后整体代入可得false.
故答案为2.
35．false
【解析】根据式子false无意义可确定y的值，再化简代数式false，最后代入求值．
【解答】∵式子false无意义，
∴false，
解得：falsefalse，
false
false
false
false
=false．
【点评】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义．
36．-5
【解析】将已知等式变形可得a2+a=1，然后利用整体代入法求值即可．
【解答】解：∵a2+a-1=0
∴a2+a=1
∴false
=false
=false
=false
=1－6
=-5
【点评】此题考查的是根据式子的值，求分式的值，掌握整体代入法求分式的值是解决此题的关键．
37．3
【解析】根据相反数的性质化简得false，再代入原式求解即可．
【解答】解：false与false互为相反数，
false与false互为相反数，即false
化简得false
即false
false原式false
【点评】本题考查了分式的运算问题，掌握相反数的性质是解题的关键．
38．（1）4-false=42×false；（2）第n个等式是false，见解析．
【解析】（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是false、false、false，减数的分子分别是false，false，false，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于false与false的乘积；
（2）根据上述等式的规律，猜想第false个等式为：false，然后把等式的左边化简，根据左边false右边，证明等式的准确性即可．
【解答】解：（1）4-false=42×false
（2）第n个等式是false．
证明：∵左边=false =右边，
∴等式成立．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第false个等式为：false．
39．－2
【解析】
根据分式的值为0，则分子为0且分母不等于0，即可得出答案.
解：∵分式false值为0，
∴false，
解得false
40．m＝-14
【解析】
根据分式的值为0，则分子为0且分母不等于0，即可得出答案.
解：∵分式false的值为0，
∴false，
又∵y＝7，
∴false.
41．m＞1
【解析】
先利用配方法，再根据分母恒大于0则分式有意义这一条件即可求解.
解：∵x2－2x＋m＝x2－2x＋1－1＋m＝(x－1)2＋m－1，
∵(x－1)2≥0.
∴当m－1＞0时，即m＞1时，不论x取何实数，分式false都有意义．
点睛：本题主要考查分式有意义的条件.利用配方法对分母进行恒等变形是解题的关键.
42．（1）①false ②见解析 （2）①false ②见解析
【解析】（1）长方形先被平均分成false份，取其中的false份；再将涂色部分平均分成false份，取其中的false份，这样，可看成原长方形被平均分成false份，取其中false份，所以false的false占原长方形的false，即false；
（2）长方形先被横向平均分成false份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成false份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成false份，涂色部分共取其中false份，所以占原来长方形的false，即false；
【解答】解：（1）①false；
故答案为false；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成false份，取其中false份，所以false的false占原长方形的false，即false.

（2）①false（false）
②长方形先被横向平均分成（false）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成false份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成false份，涂色部分共取其中false份，
所以占原长方形的false，
即false.
【点评】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
43．x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
【解答】当x-1是6的约数时，分式false的值才是整数.
解：∵分式false的值是整数
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
44．（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3
【解析】
【解析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．
（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零。
（3）根据分子和分母异号时值为负数．
【解答】（1）∵分式false有意义，∴x+3false0，∴xfalse-3，∴当xfalse-3时，分式有意义。
（2）∵分式false.的值为零，∴2false-18=0且x+3false0，∴x=3，∴当x=3时，分式为零。
（3）∵false=2（x-3），∵分式false. 的值为负数，∴2（x-3）false0且x+3false0
∴x＜3且x≠－3，∴当x＜3且x≠－3时，分式false. 的值为负数。
【点评】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为正数和负数的条件是解题关键．
45．水倒不完，n次后还余下false升.
【解析】根据题目中第1次倒出false升水，第2次倒出水量是false升的false，第3次倒出水量是false升的false，第4次倒出水量是false升的false，false，第false次倒出水量是false升的false可知按照这种倒水的方法，这1升水经false次后共倒出false升水．
【解答】解：由题意得：
次后共倒水=false,
false,
false,
false．
经过n次后还剩下=false=false.
所以水倒不完.
故答案为：false．
【点评】此题考查有理数的加减法，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．