15.3：分式方程 同步提高课时练习（含解析）

15.3：分式方程
一、单选题
1．关于x的方程false的解是非负数，则a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false且false D．false且false
2．若关于false的一元一次不等式组false的解集是false，且使关于false的分式方程false有非负整数解，则符合条件的所有整数false的和为（ ）
A．8 B．9 C．2 D．3
3．面对疫情，武汉疫情急需建造一座用于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院——火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设．若该工程由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成，若由乙队单独施工，则要超过规定时间3天才能完成；现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成．设工程规定的天数为x天，则下列方程正确的是（　　）
A．false B．false
C．false D．false
4．有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%，?结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．某工厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．关于x的方程false无解，则k的值是（ ）
A．1或6 B．false C．1或false D．false或6或1
7．某种罐装凉茶一箱的价格为84元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜0.5元．设每箱凉茶有false罐，则下列方程正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．若数a使关于x的分式方程false的解为正数,且使关于y的不等式组false的解集为false,则符合条件的所有整数a的和为(????)
A．10 B．12 C．14 D．16
9．若数a使关于x的不等式组false无解，且使关于x的分式方程false有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（ ）
A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
10．若数a使关于x的不等式组false，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程false=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
11．已知实数false，false，false满足方程组false，则false的值是（ ）.
A．false B．false C．6 D．false
12．若关于false的方程false有解，则必须满足条件（ ）.
A．false B．false
C．false D．false，false
二、填空题
13．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树_____棵．
14．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为________________元；
15．已知方程组false，false，false恰有一组解：false，false，false，则false__________．
16．若关于x的分式方程false+false = 2m无解，则m的值为___________
17．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要____分钟可以注满全池．
18．要使分式false没有意义，则false的值为__________．
19．已知关于false的方程false的解是正数，则false的取值范围是______.
20．当m= __________ 时，关于x的分式方程false没有实数解.
三、解答题
21．解分式方程：
（1）false；
（2）false．
22．解方程：false．
佳佳的解题过程如下：
解：去分母，得false．①
合并同类项，得false．②
系数化为1，得false．③
检验：当false时，false，false原分式方程的解为false．
请问佳佳的解题过程从哪一步开始出错？并将正确的解题过程写出来．
23．某书商去图书批发市场购买某本书，第一次用12000元购书若干本，并把该书按定价7元/本出售，很快售完，由于该书畅销，书商又去批发市场采购该书，第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本.
（1）求第一次购书的进价是多少元一本？第二次购进多少本书？
（2）若第二次购进书后，仍按原定价7元/本售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利100m元（n、m为正整数），求相应的n、m的值.
24．若分式false与false的和为false，则x的值为多少？
25．甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次乙车提速30千米/小时，结果比甲车早到20分钟， 求第一次甲、乙两车的速度各是多少？
26．已知一个长方形的面积为6，它的一边为x，它的另一边长为y，周长为p．
（1）填空：（用含x的代数式表示）
① y=__________；② p=__________；
（2）当x值从2增大到a+2时，y的值减少了2，求增量a的值；
（3）当x=m时，p的值为false；当false时，p的值为false，求false的值，并化成最简分式．
27．若关于x的方程false有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
28．观察下列等式:false，false，false，将以上三个等式两边分别相加得：false．
（1）直接写出下列各式的计算结果：
false ．
（2）猜想并写出：false＝ ．
（3）探究并解方程：false
参考答案
1．D
【解析】首先解此分式方程，可得false，由关于false的方程的解是非负数，即可得false且false，解不等式组即可求得答案．
【解答】解方程false，得false．
关于x的方程false的解是非负数，
false且false，
解得false且false，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法．注意不要漏掉分式方程无解的情况．
2．C
【解析】先解关于x的一元一次不等式组false，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可．
【解答】解：由不等式组false
得：false
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程false得a-3+2=2y-2，
∴y=false，
∵有非负整数解，
∴false≥0，
∴-1≤a＜5，
a=1（舍，此时分式方程有增根），a=-1， a=3，（a=0，2，4时，y不是整数），
它们的和为2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．A
【解析】根据题意列出方程即可．
【解答】解：根据题意列方程得，false；
故选：A．
【点评】本题考查了方程方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，正确列出方程．
4．C
【解析】用x表示出计划和实际完成的时间，再结合实际比计划提前3天完成任务作为等量关系列方程即可．
【解答】实际每天整改false米，则实际完成时间false天，计划完成时间false天，
∵实际比计划提前3天完成任务
∴得方程false．
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，找出等量关系，因此需围绕题中关键词进行分析．
5．A
【解析】设原计划每周生产x万个口罩，根据结果比原计划提前一周完成任务列方程即可．
【解答】解：设原计划每周生产x万个口罩，由题意得
false．
故选A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【解答】方程两边乘false，得false，
当false时，方程化简为false，无解，符合题意；
由分式方程无解，得到false，即false，
把false代入整式方程，得false，解得false；
把false代入整式方程，得false，解得false．
故k的值为false或6或1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键．
7．B
【解析】关键描述语是：“结果比用原价多买了4罐；等量关系为： 实际买每罐价格-促销每罐价格=0.5．
【解答】解：原价每罐false元，经过促销，每罐false元，方程可表示为：，false
故答案为：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意促销前后商品的单价的变化．
8．A
【解析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：分式方程false的解为x=false且x≠1，
∵关于x的分式方程false的解为正数，
∴false＞0且false≠1，即a<6且a≠2
false
解不等式①得：y＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组false的解集为false,
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．
故符合条件的所有整数a的和是10．
故选A.
【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式、一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
9．B
【解答】解：不等式组整理得：false，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=false且x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，
故选B．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．B
【解析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】false，
解①得x≥-3，
解②得x≤false，
不等式组的解集是-3≤x≤false．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤false＜0
∴-8≤a＜-3，
false=1，
3y-a-12=y-2．
∴y=false，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y=false有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，
故选B．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
11．B
【解析】把三个式子变形后相加即可求出false的值，从而可以求出a、b、c的值，进而得出结论．
【解答】由已知可得false
由false得false．
false．④
当false时，a=－1，b=false，c=false．经检验：a=－1，b=false，c=false是原方程的解，∴abc=false；
当false时，a=1，b=false，c=false．经检验：a=1，b=false，c=false是原方程的解，∴abc=false；
综上所述：false．
故选B．
【点评】本题考查了解分式方程．整理变形是解答本题的关键．
12．D
【解析】先将方程去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．
【解答】方程两边都乘以d(b?x)，得d(x?a)=c(b?x)，
∴dx?da=cb?cx，即(d+c)x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠?d时，原方程的解为x= false，
同时要满足d≠0，b?x≠0，即x=false，解得 b≠a，
∴c≠?d且b≠a时，原方程有解.
故选：D.
【点评】本题考查解含有字母系数的分式方程的能力以及分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题关键.
13．24．
【解析】要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．
那么根据题意可得出方程： false，
解得：x＝24．
检验得x＝24是方程的解．
因此单独由男生完成，每人应植树24棵．
故答案为：24．
【点评】本题考查了分式方程的应用，为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意即可．
14．40
【解析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量=总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元．
依题意，得：false，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+8=48．
答：甲种商品的每件进价为40元．
故答案为：40．
【点评】本题考查了分式方程的应用的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
15．11
【解析】首先把已知的每一个等式转化成其倒数形式，再进行约分化简，然后解关于false、false、false的方程组，为了使解题简单，使用换元法设false＝A、false＝B、false＝C，最后解一道关于A、B、C的三元一次方程组求出其A、B、C值，从而可求出x、y、z，最后代入false中即可求解．
【解答】原方程组变形为：false
化简为：false，
设false＝A、false＝B、false＝C，则
原方程组变形为：false
解得：false，故false，
∴false，
∴false＝1＋1＋9＝11，
故答案为：11．
【点评】本题是一道多元高次方程组，考查了利用倒数法化简降次，换元法的运用，加减消元法和代入消元法的运用以及求代数值的方法．
16．false或1
【解析】方程无解分两种情况：①方程的根是增根②去分母后的整式方程无解，去分母后分情况讨论即可.
【解答】①去分母得：x-4m=2m（x-4）
若方程的根是增根，则增根为x=4
把x=4代入得：4-4m=0 解得：m=1
②去分母得：x-4m=2m（x-4）
整理得：（2m-1）x=4m
∵方程无解，故2m-1=0 解得：m=false
∴m的值为false或1
故答案为：false或1
【点评】本题考查的是分式方程的无解问题，注意无解的两种情况是解答的关键.
17．10
【解析】设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟；根据题意，结合分式加法运算性质，通过列分式方程并求解，即可得到答案．
【解答】设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟；
根据题意得：false
三式相加得：false
∴false
∴四管齐开，需要10分钟可以注满全池
故答案为：10．
【点评】本题考查分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加法运算和分式方程的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．
18．0或false
【解析】本题是繁分式，根据分式没有意义，分式的分母为0列方程求解即可．
【解答】解：根据题意，分式false没有意义，
则3a=0或false=0，
解得a=0或a=false，
经检验a=false是方程false=0的解，
故答案为：0或false．
【点评】本题主要考查了分式没有意义的条件是分母等于0．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零．
19．false且false
【解析】先对分式方程进行通分，因式分解后得出m与x的关系，由于分式方程的解为正数，且要保证分式方程有意义，故可知x的取值范围，再利用m与x的关系，求出m的取值范围.
【解答】等式左边为：
false
false
false
等式右边：
false
左边等于右边则有：
false
解，得：false，即false
要满足方程得解为正数，即false，且必须保证false分式方程有意义，故false且false，综合解得分式方程的解为false且false，
故false且false，
解得false且false，即为m的取值范围.
【点评】本题考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必须保证分式有意义（即分母不为0），再根据得到的关系式求出m的取值范围.
20．4或-6
【解析】
【解析】先将分式方程化为整式方程，根据方程false没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：方程false变形为false，
方程两边同时乘以false去分母得：x+m+3+x-3=0；
整理得：2x+m=0
∵关于x的分式方程false没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【点评】分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解.
21．（1）无解；（2）无解
【解析】（1）方程两边乘false去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）方程两边乘false去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】（1）方程两边乘false，得false，
解得false，
检验：当false时，false，
因此false不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解；
（2）方程两边乘false，得false，
解得false，
检验：当false时，false，
因此false不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．①，false
【解析】去分母时，一定不要漏乘分母为1的项；解分式方程即可得出答案．
【解答】佳佳的解题过程从第①步开始出错，
正确的解题过程如下：
去分母，得false，
移项、合并同类项，得false，
检验：当false时，false，
false原分式方程的解为false．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程“去分母时，一定不要漏乘分母为1的项”是解题的关键；注意解分式方程一定要验根．
23．（1）第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；（2）当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18.
【解析】（1）设第一次购书的进价为x元/本，根据“第二次购书时，每本书批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购书数量比第一次多了100本”列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n为正整数，且n的范围确定出m与n的值即可．
【解答】（1）设第一次购书的进价为x元/本，
根据题意得：false，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，且符合题意，
∴15000÷（5×1.2）=2500（本），
则第一次购书的进价为5元/本，且第二次买了2500本；
（2）第二次购书的进价为5×1.2=6（元），
根据题意得：2000×（7-6）+（2500-2000）×（false-6）=100m，
整理得：7n=2m+20，即2m=7n-20，
∴m=false，
∵m，n为正整数，且1≤n≤9，
∴当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
24．falsefalse
【解析】根据题意得到，false，若设y=false，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验；
【解答】解：由题可得，false，
设y=false，则原方程可化为：false，
整理得，false，
解得：false，
当false时，
则false，
解得false；
经检验得，false都是方程false的解；
当false时，false，
∴falsefalse，
经检验得，false都是方程false的解；
【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.
25．80千米/小时、60千米/小时.
【解析】设甲车、乙车的速度分别为x、y千米/小时，根据题意列方程组求解即可.
【解答】设甲车速度x千米/小时， 乙车y千米/小时，根据题意可得，
false，
解得x=80千米/小时，y=60千米/小时，
答：第一次甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时.
【点评】本题考查方程的应用，解题的关键是从题中找出等量关系列出方程组．
26．（1）①false；②false；（2）a=4；（3）false
【解析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽得到x、y的关系，根据周长等于长加宽的2倍求出p与x的关系式；
（2）将x=2，x=a=2分别代入求出对应的y值，即可根据y的值减少了2列式计算出a
（3）将x代入分别表示false、false，即可列式计算得到结果.
【解答】（1）①∵长方形的面积为6，它的一边为x，它的另一边长为y，
∴xy=6，
∴y=false；
②周长p=2（x+y）=2（x+false）=false，
故答案为：①false；②false；
（2）依题意，得false，解得false
（3）false，
false，
false.
【点评】此题考查分式方程的运用，能正确理解题意，根据题意列出分式方程解答问题是解题的关键.
27．x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.
【解答】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
28．（1）false；（2）false；（3）x=2.
【解析】
【解析】（1）根据题意得出拆项规律，原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到规律，写出即可．
（3）先将方程左边拆项变形为false，合并后再解方程.
【解答】解：（1）false
(2) false＝false
(3)false
所以原方程可化为false
两边同时乘以2x(x+9)得
x=2.
当x=2时最简公分母不等于0
所以原分式方程的解是x=2.
【点评】此题考查了用裂项相消的方法解含形如false的分式方程的解法，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键．