11.1.2：三角形的高 同步提高课时练习（含解析）

11.1.2：三角形的高
1．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
2．如果一个三角形的三边长分别为false，那么它的斜边上的高为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点， 且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0．5 cm2 D．0．25 cm2
4．如图：一块三角形的草坪，现要从点A修一条小路AD，使小路AD两边的草坪的面积一样多，则AD为△ABC的（ ）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定
5．如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ）
A．46．下列说法错误的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
7．如图，已知正方形网格中每个小方格的边长均为1，A，B两点在小方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是( )
A． B．
C． D．
9．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（ ）
①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等
②三角形的三条内角平分线交于一点
③三角形的内角平分线位于三角形的内部
④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法正确的是( )
A．三角形的三条高至少有一条在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的角平分线其实就是角的平分线
D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
11．如图，已知false中，false是false边上的中线，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的周长－△ACD的周长=AB－AC；③BC=2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
13．如图，在false中，点false将线段false分成false的两个部分，点false将线段false分成false的两个部分，若false的面积是false，则false的面积是（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为false和false,则下列说法不正确的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
15．如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（?????? ）．
（1）AD是三角形ABE的角平分线．（2）BE是三角形ABD边AD上的中线．（3）CH为三角形ACD边AD上的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
16．如图，用三角板作false的边false上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．C． D．
17．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4
18．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A．9＜AB＜19 B．5＜AB＜19 C．4＜AB＜12 D．2＜AB＜12
19．如图，D、E分别是false边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设false的面积为falsefalse 的面积为false，若false，则false的值为____________.
20．如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC=_____.
21．在false中，若false，false.则中线false的长的取值范围是__________．
22．已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数是_______．
23．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
24．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2
25．如图，在△ABC中，AB＝2019，AC＝2010，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为________．
26．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交 BA 的延长线于点 E，若∠E=20°，∠B=30°，则∠BAC=_____．
27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC＝________°.
28．如图，在false中，false的平分线交false于点false，false，过点false作false交false于点false，若false的周长为false，则边false的长为__________.
29．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是_____．
30．如图，false，false平分false，false平分false，则false______°.
31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点Ｄ，DE⊥AB于点E，若AB＝5 cm，则△BDE的周长为________．
32．如图，点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是_____________
33．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，若∠A=40°，则∠BOC=_____度．
34．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M. 若MN⊥BC于N，∠A＝60°，则∠1－∠2=________度.
35．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
36．如图BO、CO分别平分false和false，DE过点D且false，false，false，求false的周长．
37．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
38．如图，在△ABC中，false，false，false，CD是△ABC的角平分线，false于点E，false．
（1）用两种方法计算△ABC的面积；
（2）探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．
39．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．
40．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是????????????? ；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是???????????? ；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是??????????????? ；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.
41．如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD于点C，BD平分∠ADC交AC于点E，∠1=∠2．
（1） 请完成下面的说理过程．
∵BD平分∠ADC（已知）
∴ （角平分线的定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴
∴AD∥BC（ ）
（2）若∠BCE=20°，求∠1的度数．
42．如图：
(1)在△ABC中，BC边上的高是______；
(2)在△AEC中，AE边上的高是______；
(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
参考答案
1．C
【解答】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
2．A
【解析】在一个直角三角形中，斜边最长，即斜边是5，设斜边上的高是h，根据面积公式即可求得高的长．
【解答】∵false
∴斜边是5，
设斜边上的高是h，根据直角三角形的面积可得：
false，
解得：false．
故选：A．
【点评】本题主要是灵活利用三角形的面积公式解决问题．根据直角三角形的面积的几种表示方法，就可以构建方程求解．
3．B
【解析】依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出false从而求得△BEF的面积．
【解答】解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，
false
false
∵△ABC的面积是4，
∴S△BEF=1．
故选：B
【点评】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S= false×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．
4．C
【解析】设false边上的高为false，由小路AD两边的草坪的面积一样多可列false，得false，可选.
【解答】解：由false在边false上，设false边上的高为false，
根据题意得：false，
false，
false是false中点，
false为false中线，
故选：C.
【点评】本题考查三角形中线、高、角平分线的性质，认识到三角形中线分割的两小三角形由于等高等底而面积相等是关键.
5．B
【解析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，由于∠ADC=∠BDE，AD=DE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得4＜AE＜10，从而易求2＜AD＜5．
【解答】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示：
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE=AC=3，
在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
即7-3＜2AD＜7+3，
∴2＜AD＜5，
故选：B．
【点评】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．D
【解析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、钝锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记概念是解题的关键．
7．D
【解析】怎样选取分类的标准, 才能做到点C的个数不遗不漏, 按照点C所在的直线分为两种情况:当点C与点A在同一条直线上时,AC边上的高为1,AC=2,符合条件的点C有4个; 当点C与点B在同一条直线上时,BC边上的高为1,BC=2,符合条件的点C有2个.
【解答】解:C点所有的情况如图所示:
故选D.
【点评】本题主要考查三角形的面积.此类题应选取分类的标准, 才能做到不遗不漏.
8．D
【解析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线,
纵观各图形，A.B. C. 都不符合高线的定义，D符合高线的定义.
故选D
【点评】本题考查了三角形的高线，熟知三角形高线的画法是解题的关键.
9．B
【解析】画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．
【解答】∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分线上，
即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；
∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；
∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；
故选B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线性质和三角形的中位线性质，主要考查学生的推理能力和辨析能力，熟练运用所学知识是解题的关键．
10．A
【解析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；
B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；
C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；
D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
11．C
【解析】根据三角形的中线的性质进行解答即可.
【解答】解：∵false中，false是false边上的中线
∴false
∴A、B、D不符合题意，C符合题意.
故选:C
【点评】本题考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键.
12．C
【解析】根据三角形中线的定义即可判断①和③；根据三角形的周长公式即可判断②；根据三角形的面积公式即可判断④．
【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，但AD不一定平分∠BAC，故①错误；
∵△ABD的周长=AB＋BD＋AD，△ACD的周长=AC＋CD＋AD
∴△ABD的周长－△ACD的周长=（AB＋BD＋AD）－（AC＋CD＋AD）
= AB－AC，故②正确；
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD，但BD不一定等于AD，
∴BC不一定等于2AD，故③错误；
设点A到BC的距离为h，
∴S△ABD=falseBD·h，S△ABC=falseBC·h=false×2BD·h= BD·h
∴△ABD的面积是△ABC面积的一半，故④正确．
故正确的结论有②④．
故选C．
【点评】此题考查的是三角形的中线、三角形的周长和三角形的面积，掌握三角形中线的定义是解决此题的关键．
13．B
【解析】将线段的比的关系转化为三角形的面积比的关系，结合图形即可求解
【解答】解： 设S△ABC=m,
∵AD:BD=2:1
∴S△ADC=false, S△DBC=false,
∵BE:CE=1:3
∴S△AEC=false, S△ABE=false,
∴S△ADE=falseS△ABE=false×false=false,
∴S△AEC：S△ADE=9：2,
∴false,
∴S△ACF：S△ADF=9：2,
而S△ADF=4
∴S△ACF=false×4=18，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积关系：等高的三角形的面积比为其对应底的比，等底的三角形面积比为其对应高的比，将三角形边的比逐步转化为对应三角形的面积比是解题的关键.
14．D
【解析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等，即可得到false，即false，同理可得△ABC和△BCD的面积相等，即false.
【解答】∵△ABD和△ACD同底等高，
false,
false，
即false
△ABC和△DBC同底等高，
∴false
∴false
故A,B,C正确，D错误.
故选D.
【点评】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.
15．A
【解析】根据三角形的角平分线，中线、高的概念进行判断．
【解答】根据三角形角平分线的概念，AG为三角形ABE的角平分线，（1）错误；
根据三角形中线的概念，BG是三角形ABD边AD的中线，（2）错误；
根据三角形高的概念，CH为三角形ACD边AD上的高，（3）正确．
故答案选：A．
【点评】本题考查三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握相关的定义是解题关键．
16．B
【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
17．C
【解析】首先根据三角形的面积计算出各边上的高的比．
【解答】因为边长之比满足3：5：7，
设三边分别为3x、5x、7x，
设三边上的高为a，b，c，
由题意得：false
故这个三角形三边上的高之比为：false．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积的公式计算．
18．A
【解析】如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】如图：延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△ACD和△EBD中，false，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=5，
∵AD=7，
∴AE=14，
由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故选：A．
【点评】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19．1；
【解析】S△ADF?S△CEF＝S△ABE?S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝falseBC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝falseS△ABC＝false×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝falseS△ABC＝false×6＝2，
∵S△ABE?S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）?（S2＋S四边形BEFD）＝S1?S2＝3-2=1，
故答案为1
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
20．10cm
【解析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC?AB＝2cm，即AC?8cm＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为10cm.
【点评】本题考查了三角形中线的有关计算，分析得到两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
21．false
【解析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
【解答】延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，如图所示：
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，CE=5，
设AD=false，则AE=2false，
∴2＜2false＜8，
∴1＜false＜4，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
22．90?或50?.
【解析】画出图形可知有两种情况：∠BAC=∠BAD+∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD．
【解答】如图：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
或∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．
故本题答案为：90°或50°．
23．1.9
【解析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
false（cm2）．
故答案为1.9．
【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
24．1
【解析】由点false为false的中点，可得false的面积是false面积的一半；同理可得false和false的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点false是false的中点，
false的底是false，false的底是false，即false，而高相等，
false，
false是false的中点，
false，false，
false，
false，且false，
false，
即阴影部分的面积为false．
故答案为1．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
25．9
【解析】根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB-AC．
【解答】∵AD为中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，
∵AB=2019，AC=2010，
∴△ABD与△ACD的周长之差=2019-2010=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
26．70°
【解析】
分析：根据三角形外角性质求出∠ECD，即可求出∠ACE，根据三角形外角性质求出∠BAC即可．
详解：∵∠B=30°,∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，
∴∠BAC=∠ACE+∠E=50°+20°=70°.
故答案为：70°.
点睛：本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
27．85　
【解析】根据角平分线性质求出∠DAC=25°,再利用BE是高得∠C=70°,利用三角形内角和即可求解.
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°,
∴∠DAC=25°,
∵BE是高,∠EBC＝20°，
∴∠C=70°,
在△ADC中,∠ADC=180°-70°-25°=85°.
【点评】本题考查了角平分线性质、三角形内角和,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
28．10
【解析】根据已知条件能够得出∠EBD=∠EDB,进而得到BE=ED,所以false的周长可以用BE替换DE,进而得到AE+BE的长度，即AB的长度.
【解答】∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC,
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=ED
∵false的周长为false,
∴AE+ED+DA=16,
∴AE+BE+6=16,
∴AE+BE=10,
即AB=10,
故答案为：10.
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的角平分线，从图形中找出相等的边进行周长的转换是解题的关键.
29．25°
【解析】根据题意可得∠ABC+∠ACB＝160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn＝160×（false）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【解答】∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝falseABC，∠ACD1＝false∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1
∴∠ABD2＝false∠ABD1＝false∠ABC，∠ACD2＝false∠ACD1＝false∠ACB，
同理可得∠ABD5＝false∠ABC，∠ACD5＝false∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5＝160×false＝5°，
∴∠BCD5+∠CBD5＝155°，
∴∠BD5C＝180﹣∠BCD5﹣∠CBD5＝25°
故答案为25°
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
30．90
【解析】先根据平行线性质得出false，再根据角平分线定义进行求解即可.
【解答】∵false
∴false
∵false平分false，false平分false
∴false
∴false
故填：90.
【点评】本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键.
31．5 cm
【解答】∵AD平分∠BAC,∠C=90?，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=5cm，
∴△BDE的周长=5cm.
故答案为5cm.
32．∠O+∠I=180°
【解析】根据交平分线性质，可推出∠OBI=∠OCI=90°，然后在四边形OBIC中，利用内角和可得出∠O与∠I的数量关系.
【解答】∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=false，
∵BI平分∠CBD，∴∠CBI=false
∴false
即∠OBI=90°
同理可得∠OCI=90°，
在四边形OBIC中，false
∴∠O+∠I=180°
【点评】本题考查角平分线和四边形内角和，熟练掌握内角和是解题的关键.
33．110°；
【解答】∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（false ）=180°-false =180°-false =110°.
故答案为110.
34．30
【解析】构建方程组即可解决问题.
【解答】解:∵∠BMC=180°-false（∠ABC+∠ACB）=180°-false（180°-∠A）=90°+ false∠A=120°，
∴∠1+∠BMN=120°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠BMN=90°②，
①-②得：∠1-∠2=30°．
故答案为:30.
【点评】本题考查了角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
35．∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【解析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得false再根据角平分线的定义，求得false最后根据三角形内角和定理，求得false中false的度数．
【解答】∵AD是高, false
false中, false
false
∴△ABC中, false
∵AE，CF是角平分线，
false
∴△AOC中, false
36．false周长为23cm.
【解析】根据已知可以推出OD=DB,OE=EC,那么△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=23.
【解答】∵BO、CO分别平分false和false，
false，false，
又false．
false，false，
false，false，
false，false，
∴false周长false
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及定理是解题关键.
37．9m
【解析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AB的长度．
【解答】∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．
∴AC-AB=5cm．
又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm．
即AC的长度是9m．
【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．
38．（1）false；（2）false
【解析】（1）作false于点false，根据角平分线的性质得到DE=DF，由此利用底乘以高的一半求三角形的面积，也可利用面积相加求△ABC面积；
（2）由（1）的面积公式即可整理得到.
【解答】（1）作false于点false.
false平分false于点E,
∴DE=DF,
∴S△ABC=false，
false；
（2）由（1），false
【点评】此题考查三角形角平分线的性质定理，三角形面积的证法，题中由CD是角平分线作DF⊥BC是解题的关键.
39．∠BCD＝40°，∠CEB＝65°．
【解析】在Rt△ABC中求得∠ABC=50°，在由CD⊥AB，即∠BDC=90°知∠BCD=40°，根据BE平分∠ABC知∠CBE=false∠ABC=25°，由∠CEB=90°-∠CBE可得答案．
【解答】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝false∠ABC＝25°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝65°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及角平分线的定义．
40．（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．
【解答】试题分析：（1）平行；垂直；垂直；
（2）选① 证明BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=false∠ABC，∠AMF=false∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=false（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF．
选② 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF．
选③ 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠AMF+∠F=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∴BD⊥MF．
考点：1．平行线的判定；2．角平分线的性质
41．（1）∠2=∠3，∠1=∠3，内错角相等，两直线平行；（2）35°
【解析】（1）根据角平分线的定义，及平行线的判定定理即可求证；
（2）根据平行线的性质定理，可得∠ADC+∠BCD=180°，求得∠ADC度数，由（1）得∠1=∠2=∠3，即可求得∠1度数．
【解答】（1）∵BD平分∠ADC（已知）
∴∠2=∠3（角平分线的定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠2=∠3，∠1=∠3，内错角相等，两直线平行
（2）∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
∵∠BCE=20°
∴∠BCD=20°+90°=110°
∵AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
∴∠ADC=180°-110°=70°
∵∠1=∠2=∠3=35°
故答案为：35°
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
42．(1)AB(2)CD(3)3cm
【解析】
【解析】根据三角形的高的定义，可得出三角形的高，然后根据三角形的面积公式可求解.
【解答】(1)AB
(2)CD
(3)∵AE＝3cm，CD＝2cm，
∴S△AEC＝falseAE·CD＝false×3×2＝3(cm2)．
∵S△AEC＝falseCE·AB＝3cm2，AB＝2cm，
∴CE＝3cm.