12.3：角的平分线的性质 同步提高课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.3：角的平分线的性质 同步提高课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-10 18:00:26 | ||
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文档简介
12.3：角的平分线的性质
一、单选题
1．如图，false是false的角平分线，false，垂足为false，false，false，false，则false的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在false中，false，以顶点false为圆心，适当长为半径画弧，分别交false于点false，再分别以点false为圆心，大于false的长为半径面弧，两弧交于点false，作射线false交边false于点false，若false，则false的面积是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．如图，在false中，false平分false于点false给出下列结论．false;false ③false， false平分false，false其中正确的有（ ）个
A．false B．false C．false D．false
4．如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝5cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．不能确定
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
6．如图，在false中，false，以顶点false为圆心，适当长为半径画弧，分别交false，false于点false，false，再分别以点false，false为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧交于点false，作射线false交边false于点false，若false，false，则false的面积是 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
7．如图，false点false在false上，false于点false于点false若false则false的长为 （ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝86°，则∠BDE的度数为( )
A．26° B．30° C．34° D．52°
9．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（ ）
A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm
10．如图，AD是false的角平分线，false，垂足为F，false，false和false的面积分别为60和35，则false的面积为false false
A．25
B．false
C．false
D．false
11．如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④点C在AB的中垂线上．以上结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，false是false中false的平分线，false交false于点false，false交false于点false，若false，false，false，则false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
14．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，false于点E，false于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
15．如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于falseCD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是
A．射线OE是∠AOB的平分线 B．△COD是等腰三角形
C．C、D两点关于OE所在直线对称 D．O、E两点关于CD所在直线对称
17．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
19．如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长是__________
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若CB＝6，那么DE+DB=_________．
21．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．
23．如图，在false中，false，false将false分成三个相等的角，false，false将false分成三个相等的角.若false，则false等于_________度
24．如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到AD的距离_______．
25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°， PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝______．
26．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是_____．
27．如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于falseDE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于falseFG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．
29．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为____．
30．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
31．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．
32．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为9，△ABC的周长是14，则BC=__________．
33．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+false∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则false．
其中正确的结论是____．（填序号）
34．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50false，∠CAP＝______．
三、解答题
35．如图，在四边形false中，false，点E为AB上一点，且DE平分false平分false求证：false．
36．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
37．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.
38．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G．
（1）求证：AD∥EG；
（2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数．
39．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
40．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD,求证：点D在∠BAC的平分线上.
41．已知：如图（1）所示，在△ABC中，BD平分∠ABC ， CD平分∠ACB，过D点作EF∥BC，与AB交于点E，与AC交于点F
（1）若BE=3，CF=2，求EF的长；
（2）如图（2）所示，若∠ABC的平分线BD与△ABC的外角∠ACG的平分线CD相交于点D，其它条件不变，请写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
42．如图，false是false的外角，false的平分线所在的直线分别与falsefalse的平分线false交于点false．
false若false求false的度数；
false若false求false；
false连接false若false则false_
43．如图，false中，false
false尺规作图:作false的角平分线BD (不写作法，保留作图痕迹)；
false若false的面积是false求false的长．
44．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF，求证：CF=EB．
45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.
参考答案
1．D
【解析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，false
∴DF=DE=2，
∵false，false，
∴S△ABC=S△ABD+S△CBD=false
故选：D
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．B
【解析】
【解析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝false×14×4＝28，
故选B．
【点评】本题考查了作图?作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质．
3．B
【解析】由在false中，false，false平分false，false于点可得false，继而由全等三角形可得false、false，进一步可证false平分false、false，根据等角的余角相等可得false，根据直角三角形的面积求法可得false，即可判断结论正确的个数．
【解答】解：∵在false中，false，false平分false，false于点false
∴false
故①正确；
∵在false中，false，false平分false，false于点false
∴false
∴false，false
∴false平分false
故④正确；
∵false，false
∴false
故②正确；
∵false
∴false
故③正确；
∵false
∴false
故⑤错误．
故选：B
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直的定义、直角三角形的性质、余角的性质以及线段的和差，难度不大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．B
【解析】由于OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线的性质可以得到OM=ON，而ON=5cm，即可求出OM长．
【解答】∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∴OM=ON，
而ON=5cm，
∴OM=5cm．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质；此题比较简单，主要利用了角平分线的性质即可求出OM长．
5．A
【解析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解.
【解答】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选A．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
6．B
【解析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝falseAB×DE＝false×15×4＝30，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．A
【解析】此题由两角相等可以确定OC是角的平分线，又知道点P是角平分线上一点，且有点P到角两边的距离，所以PE的长跟PD相等，而PD的长可利用勾股定理求得,?那么此题即可得解．
【解答】∵∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
在Rt△ODP中，OD=12，OP=13，
∴PD=5，
∴PE=5．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．A
【解析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠ABD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝26°，
又∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝26°．
故选A．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，内错角相等的性质，准确识图是解题的关键．
9．A
【解析】
【解析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：作PD⊥OB于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD＝PC＝6cm，
则PD的最小值是6cm，
故选A．
【点评】考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
10．D
【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可.
【解答】如图，过点D作false于H，
false是false的角平分线，false，
false，
在false和false中，false，
false≌false，
false，
在false和false中，false
false≌false，
false，
false和false的面积分别为60和35，
false，
false=12.5，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．C
【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=∠CED=∠DFB=90°．
在△ABE和△ACF中，
false ，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF．
∵AC=AB，
∴CE=BF．
在△CDE和△BDF中，
false，
∴△CDE≌△BDF（AAS）
∴DE=DF．
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB，
∴点D在∠BAC的平分线上．
根据已知条件无法证明AF=FB.
综上可知，①②③正确，④错误，
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．
12．A
【解析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7=false×4×2+false×AC×2，
∴AC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质；解题的关键是掌握利用三角形的面积求线段的大小．
13．A
【解析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得false×2×AC+false×2×4＝7，于是可求出AC的值．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴false×2×AC+false×2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查三角形角平分线的性质,关键在于合理利用辅助线找到线段关系.
14．A
【解析】根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴false；
故答案为：A．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．A
【解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】
作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2.
故答案选：A.
【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
16．D
【解析】
试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．
D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．
故选D．
17．D
【解答】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
18．A
【解答】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，false，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．
19．false
【解析】首先过点D作DF⊥AC，利用三角形面积公式得出△ABC的面积，然后根据角平分线的性质得出DE=DF，最后由面积等量转换得出DE.
【解答】过点D作DF⊥AC，交AC于F，如图所示
∵在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,
∴false
又∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
∴false
∴DE=false
【点评】此题主要考查角平分线的性质以及三角形面积公式的运用，熟练掌握，即可解题.
20．6
【解析】据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得false，然后求出false．
【解答】解：false，false是false的平分线，false，
false，
false，
false，
false．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
21．42
【解答】解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即false
考点:角平分线的性质.
22．18
【解答】作DE⊥AB于E.
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠BAC，CD=3，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=3.
∴△ABD的面积为：false×AB×DE=false×12×3=18.
故答案为18.
23．false
【解析】根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．
【解答】∵线段BD、BE把∠ABC三等分，
∴false，
又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，
∴false，
∴false
∴false
∵false
∴false．
故答案为：false．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的运用是解题的关键．
24．4
【解析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BM=ME，CM=EM，然后求出BM=CM，再求解即可．
【解答】如图，过点M作ME⊥AD于E，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴false，
∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
25．2
【解析】
【解析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=falsePC=false×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
26．20．
【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到false的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【解答】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵false的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴false
false
false
＝20，
故答案为：20
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键.
27．125°
【解析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解.
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝false∠ABC+false∠ACB＝false（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为125°．
【点评】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
28．3
【解析】
【解析】根据角平分线的作法可知，AD是∠BAC的平分线，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解.
【解答】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查的知识点是基本作图，解题关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理．
29．9
【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中false，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中false
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF=64﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF=9
故答案为：9．
【点评】本题考查全等三角形的判定及角平分线的性质．
30．SSS
【解析】根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．
【解答】解：在△OPC与△OPD中，
∵false，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点评】此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.
31．2
【解答】解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，则点D到BC的距离为2cm
故答案为：2．
【点评】本题考查角平分线的性质．
32．5
【解析】
试题解析：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ADE的周长为29，
∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∴BC=5．
33．①②③
【解析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+false∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,则△AEF的面积=false，④错误.
【解答】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=false∠ABC，∠OCB=false∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-false∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+false∠A正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF，
即①EF=BE+CF正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；
∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=falseAE·OM+falseAF·OD=falseOD·（AE+AF）=falsemn，故④错误；
故选①②③
【点评】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
34．40°
【解析】过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【解答】解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：
设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=false，
∴false,
∴false，
∴false，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴false；
故答案为：40°；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出false是关键．
35．见解析
【解析】延长CE交DA的延长线于点F，证明false即可．
【解答】证明：延长CE交DA的延长线于点F，
∵CE平分false，
false，
false
false，
false，
false，
false，
false平分false，
false，
false，
∴false，
false．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定方法是解题关键．
36．解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC．∴AF∥BC．
∵E是AC的中点，∴AE=CE．
∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）．∴AF=BC．
【解析】
试题分析：（1）根据题意画出图形即可．
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
37．（1）证明见解析；（2）4
【解析】
（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．
【解答】
（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE，
∵ BD=DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB；
（2）由（1）知CF=EB=1，
∴AC=AF+FC=3，
又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3，
∴AB=AE+EB=3+1=4．
【点评】
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
38．（1）见解析；（2）false．
【解析】
（1）先根据角平分线的性质得false，又因为false，从而可得false，即可证AD∥EG；
（2）由题意可知，false，进而可列方程false，即可求出∠B.
【解答】
解：（1）false平分false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
解得：false
false
【点评】
本题主要考查了角平分线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质以及根据内错角相等判定直线平行.
39．（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【解析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,
false
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
false
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
40．证明见解析.
【解析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF，BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上．
41．（1）EF=5；（2）EF=BE-CF，见解析
【解析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质得到DE=BE，DF=CF，由此得到EF的长度；
（2）根据平行线的性质及角平分线的性质证得BE=DE，CF=DF，即可得到BE=EF+CF.
【解答】(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC,
∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴DE=BE=3，
同理：DF=CF=2，
∴EF=DE+DF=5；
(2)EF=BE-CF理由如下：
∵ED∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠EDC=∠DCG，
∵BD平分∠ABC ， CD平分∠ACG，
∴∠EBD=∠DBC，∠ACD=∠DCG，
∴∠EDB=∠EBD，∠ACD=∠EDC，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵DE=EF+DF，
∴BE=EF+CF，
∴EF=BE-CF.
【点评】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记性质定理并熟练运用解题是关键.
42．（1）∠D＝35°；（2）∠E＝90°?falseα；（3）false
【解析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG＝false∠ACG，∠DBC＝false∠ABC，然后根据三角形外角的性质求出2∠DCG＝∠A＋2∠DBC，2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，等量代换即可得出答案；
（2）由（1）知∠D＝false∠A＝falseα，求出∠DBE＝90°，即可求得∠E；
（3）如图，连接AD，过点D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延长线于M，过点D作DQ⊥AC于Q，根据角平分线的判定和性质证得AD是∠MAC的角平分线，然后利用三角形外角的性质求出∠MAD=false∠MAC=false，∠MAD=∠ABD+∠ADB=false+∠ADB，等量代换即可求出答案.
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG＝false∠ACG，∠DBC＝false∠ABC，
∵∠ACG＝∠A＋∠ABC，
∴2∠DCG＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠DBC，
∵∠DCG＝∠D＋∠DBC，
∴2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，
∴∠A＋2∠DBC＝2∠D＋2∠DBC，
∴∠D＝false∠A＝35°；
（2）由（1）知∠D＝false∠A＝falseα，
∵∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝false∠ABC+false∠CBF＝false（∠ABC+∠CBF）＝false×180°＝90°，
∴∠E＝90°－∠D＝90°?falseα；
（3）如图，连接AD，过点D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延长线于M，过点D作DQ⊥AC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACG的平分线，
∴DM=DN，DQ=DN，
∴DM=DQ，
∵DM⊥AM，DQ⊥AC，
∴AD是∠MAC的角平分线，
∵∠MAC=∠ACB+∠ABC=β+∠ABC，
∴∠MAD=false∠MAC=false，
又∵∠MAD=∠ABD+∠ADB=false+∠ADB，
∴false，
∴false.
【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及角平分线的判定和性质，准确识别图形，作出合适的辅助线是解题的关键.
43．（1）见解析；（2）CD＝2cm.
【解析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得CD=DE，然后利用三角形面积公式计算即可.
【解答】解：（1）如图所示：线段BD即为所求；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，false
∴CD=DE，
∴false，
即false，
∴CD＝2cm.
【点评】本题考查了尺规作图、角平分线的性质及三角形面积计算，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
44．见解析
【解析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
false，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
45．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.
【解析】
【解析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．
【解答】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE=AD，
故答案为：CD=AD
（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=DE=AD.
（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF和△DEG中，，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．
一、单选题
1．如图，false是false的角平分线，false，垂足为false，false，false，false，则false的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在false中，false，以顶点false为圆心，适当长为半径画弧，分别交false于点false，再分别以点false为圆心，大于false的长为半径面弧，两弧交于点false，作射线false交边false于点false，若false，则false的面积是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．如图，在false中，false平分false于点false给出下列结论．false;false ③false， false平分false，false其中正确的有（ ）个
A．false B．false C．false D．false
4．如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝5cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．不能确定
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
6．如图，在false中，false，以顶点false为圆心，适当长为半径画弧，分别交false，false于点false，false，再分别以点false，false为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧交于点false，作射线false交边false于点false，若false，false，则false的面积是 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
7．如图，false点false在false上，false于点false于点false若false则false的长为 （ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝86°，则∠BDE的度数为( )
A．26° B．30° C．34° D．52°
9．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（ ）
A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm
10．如图，AD是false的角平分线，false，垂足为F，false，false和false的面积分别为60和35，则false的面积为false false
A．25
B．false
C．false
D．false
11．如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④点C在AB的中垂线上．以上结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，false是false中false的平分线，false交false于点false，false交false于点false，若false，false，false，则false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
14．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，false于点E，false于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
15．如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于falseCD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是
A．射线OE是∠AOB的平分线 B．△COD是等腰三角形
C．C、D两点关于OE所在直线对称 D．O、E两点关于CD所在直线对称
17．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
19．如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长是__________
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若CB＝6，那么DE+DB=_________．
21．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．
23．如图，在false中，false，false将false分成三个相等的角，false，false将false分成三个相等的角.若false，则false等于_________度
24．如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到AD的距离_______．
25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°， PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝______．
26．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是_____．
27．如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于falseDE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于falseFG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．
29．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为____．
30．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
31．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．
32．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若△ADE的周长为9，△ABC的周长是14，则BC=__________．
33．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+false∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则false．
其中正确的结论是____．（填序号）
34．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50false，∠CAP＝______．
三、解答题
35．如图，在四边形false中，false，点E为AB上一点，且DE平分false平分false求证：false．
36．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
37．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
（1）求证：CF=EB．
（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.
38．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G．
（1）求证：AD∥EG；
（2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数．
39．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
40．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD,求证：点D在∠BAC的平分线上.
41．已知：如图（1）所示，在△ABC中，BD平分∠ABC ， CD平分∠ACB，过D点作EF∥BC，与AB交于点E，与AC交于点F
（1）若BE=3，CF=2，求EF的长；
（2）如图（2）所示，若∠ABC的平分线BD与△ABC的外角∠ACG的平分线CD相交于点D，其它条件不变，请写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
42．如图，false是false的外角，false的平分线所在的直线分别与falsefalse的平分线false交于点false．
false若false求false的度数；
false若false求false；
false连接false若false则false_
43．如图，false中，false
false尺规作图:作false的角平分线BD (不写作法，保留作图痕迹)；
false若false的面积是false求false的长．
44．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF，求证：CF=EB．
45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.
参考答案
1．D
【解析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，false
∴DF=DE=2，
∵false，false，
∴S△ABC=S△ABD+S△CBD=false
故选：D
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．B
【解析】
【解析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．
【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝false×14×4＝28，
故选B．
【点评】本题考查了作图?作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质．
3．B
【解析】由在false中，false，false平分false，false于点可得false，继而由全等三角形可得false、false，进一步可证false平分false、false，根据等角的余角相等可得false，根据直角三角形的面积求法可得false，即可判断结论正确的个数．
【解答】解：∵在false中，false，false平分false，false于点false
∴false
故①正确；
∵在false中，false，false平分false，false于点false
∴false
∴false，false
∴false平分false
故④正确；
∵false，false
∴false
故②正确；
∵false
∴false
故③正确；
∵false
∴false
故⑤错误．
故选：B
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直的定义、直角三角形的性质、余角的性质以及线段的和差，难度不大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．B
【解析】由于OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线的性质可以得到OM=ON，而ON=5cm，即可求出OM长．
【解答】∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∴OM=ON，
而ON=5cm，
∴OM=5cm．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质；此题比较简单，主要利用了角平分线的性质即可求出OM长．
5．A
【解析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解.
【解答】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选A．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
6．B
【解析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝falseAB×DE＝false×15×4＝30，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．A
【解析】此题由两角相等可以确定OC是角的平分线，又知道点P是角平分线上一点，且有点P到角两边的距离，所以PE的长跟PD相等，而PD的长可利用勾股定理求得,?那么此题即可得解．
【解答】∵∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
在Rt△ODP中，OD=12，OP=13，
∴PD=5，
∴PE=5．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．A
【解析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠ABD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝26°，
又∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝26°．
故选A．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，内错角相等的性质，准确识图是解题的关键．
9．A
【解析】
【解析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：作PD⊥OB于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD＝PC＝6cm，
则PD的最小值是6cm，
故选A．
【点评】考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
10．D
【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可.
【解答】如图，过点D作false于H，
false是false的角平分线，false，
false，
在false和false中，false，
false≌false，
false，
在false和false中，false
false≌false，
false，
false和false的面积分别为60和35，
false，
false=12.5，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．C
【解答】解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=∠CED=∠DFB=90°．
在△ABE和△ACF中，
false ，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF．
∵AC=AB，
∴CE=BF．
在△CDE和△BDF中，
false，
∴△CDE≌△BDF（AAS）
∴DE=DF．
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB，
∴点D在∠BAC的平分线上．
根据已知条件无法证明AF=FB.
综上可知，①②③正确，④错误，
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．
12．A
【解析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7=false×4×2+false×AC×2，
∴AC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质；解题的关键是掌握利用三角形的面积求线段的大小．
13．A
【解析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得false×2×AC+false×2×4＝7，于是可求出AC的值．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴false×2×AC+false×2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查三角形角平分线的性质,关键在于合理利用辅助线找到线段关系.
14．A
【解析】根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴false；
故答案为：A．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．A
【解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】
作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2.
故答案选：A.
【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
16．D
【解析】
试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．
D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．
故选D．
17．D
【解答】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
18．A
【解答】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，false，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．
19．false
【解析】首先过点D作DF⊥AC，利用三角形面积公式得出△ABC的面积，然后根据角平分线的性质得出DE=DF，最后由面积等量转换得出DE.
【解答】过点D作DF⊥AC，交AC于F，如图所示
∵在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,
∴false
又∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
∴false
∴DE=false
【点评】此题主要考查角平分线的性质以及三角形面积公式的运用，熟练掌握，即可解题.
20．6
【解析】据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得false，然后求出false．
【解答】解：false，false是false的平分线，false，
false，
false，
false，
false．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
21．42
【解答】解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即false
考点:角平分线的性质.
22．18
【解答】作DE⊥AB于E.
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠BAC，CD=3，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=3.
∴△ABD的面积为：false×AB×DE=false×12×3=18.
故答案为18.
23．false
【解析】根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．
【解答】∵线段BD、BE把∠ABC三等分，
∴false，
又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，
∴false，
∴false
∴false
∵false
∴false．
故答案为：false．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的运用是解题的关键．
24．4
【解析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BM=ME，CM=EM，然后求出BM=CM，再求解即可．
【解答】如图，过点M作ME⊥AD于E，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴false，
∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
25．2
【解析】
【解析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=falsePC=false×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
26．20．
【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到false的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【解答】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵false的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴false
false
false
＝20，
故答案为：20
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键.
27．125°
【解析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解.
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝false∠ABC+false∠ACB＝false（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为125°．
【点评】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
28．3
【解析】
【解析】根据角平分线的作法可知，AD是∠BAC的平分线，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解.
【解答】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查的知识点是基本作图，解题关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理．
29．9
【解析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中false，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中false
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF=64﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF=9
故答案为：9．
【点评】本题考查全等三角形的判定及角平分线的性质．
30．SSS
【解析】根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．
【解答】解：在△OPC与△OPD中，
∵false，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点评】此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.
31．2
【解答】解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，则点D到BC的距离为2cm
故答案为：2．
【点评】本题考查角平分线的性质．
32．5
【解析】
试题解析：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ADE的周长为29，
∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∴BC=5．
33．①②③
【解析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+false∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,则△AEF的面积=false，④错误.
【解答】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=false∠ABC，∠OCB=false∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-false∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+false∠A正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF，
即①EF=BE+CF正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；
∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=falseAE·OM+falseAF·OD=falseOD·（AE+AF）=falsemn，故④错误；
故选①②③
【点评】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
34．40°
【解析】过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【解答】解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：
设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=false，
∴false,
∴false，
∴false，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴false；
故答案为：40°；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出false是关键．
35．见解析
【解析】延长CE交DA的延长线于点F，证明false即可．
【解答】证明：延长CE交DA的延长线于点F，
∵CE平分false，
false，
false
false，
false，
false，
false，
false平分false，
false，
false，
∴false，
false．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定方法是解题关键．
36．解：（1）作图如下：
（2）AF∥BC且AF=BC理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC．∴AF∥BC．
∵E是AC的中点，∴AE=CE．
∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）．∴AF=BC．
【解析】
试题分析：（1）根据题意画出图形即可．
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
37．（1）证明见解析；（2）4
【解析】
（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．
【解答】
（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE，
∵ BD=DF，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB；
（2）由（1）知CF=EB=1，
∴AC=AF+FC=3，
又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3，
∴AB=AE+EB=3+1=4．
【点评】
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
38．（1）见解析；（2）false．
【解析】
（1）先根据角平分线的性质得false，又因为false，从而可得false，即可证AD∥EG；
（2）由题意可知，false，进而可列方程false，即可求出∠B.
【解答】
解：（1）false平分false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
解得：false
false
【点评】
本题主要考查了角平分线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质以及根据内错角相等判定直线平行.
39．（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【解析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,
false
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
false
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
40．证明见解析.
【解析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF，BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上．
41．（1）EF=5；（2）EF=BE-CF，见解析
【解析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质得到DE=BE，DF=CF，由此得到EF的长度；
（2）根据平行线的性质及角平分线的性质证得BE=DE，CF=DF，即可得到BE=EF+CF.
【解答】(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC,
∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴DE=BE=3，
同理：DF=CF=2，
∴EF=DE+DF=5；
(2)EF=BE-CF理由如下：
∵ED∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠EDC=∠DCG，
∵BD平分∠ABC ， CD平分∠ACG，
∴∠EBD=∠DBC，∠ACD=∠DCG，
∴∠EDB=∠EBD，∠ACD=∠EDC，
∴BE=DE，CF=DF，
又∵DE=EF+DF，
∴BE=EF+CF，
∴EF=BE-CF.
【点评】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记性质定理并熟练运用解题是关键.
42．（1）∠D＝35°；（2）∠E＝90°?falseα；（3）false
【解析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG＝false∠ACG，∠DBC＝false∠ABC，然后根据三角形外角的性质求出2∠DCG＝∠A＋2∠DBC，2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，等量代换即可得出答案；
（2）由（1）知∠D＝false∠A＝falseα，求出∠DBE＝90°，即可求得∠E；
（3）如图，连接AD，过点D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延长线于M，过点D作DQ⊥AC于Q，根据角平分线的判定和性质证得AD是∠MAC的角平分线，然后利用三角形外角的性质求出∠MAD=false∠MAC=false，∠MAD=∠ABD+∠ADB=false+∠ADB，等量代换即可求出答案.
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG＝false∠ACG，∠DBC＝false∠ABC，
∵∠ACG＝∠A＋∠ABC，
∴2∠DCG＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠DBC，
∵∠DCG＝∠D＋∠DBC，
∴2∠DCG＝2∠D＋2∠DBC，
∴∠A＋2∠DBC＝2∠D＋2∠DBC，
∴∠D＝false∠A＝35°；
（2）由（1）知∠D＝false∠A＝falseα，
∵∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝false∠ABC+false∠CBF＝false（∠ABC+∠CBF）＝false×180°＝90°，
∴∠E＝90°－∠D＝90°?falseα；
（3）如图，连接AD，过点D作DN⊥BG于N，DM⊥BA交BA的延长线于M，过点D作DQ⊥AC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACG的平分线，
∴DM=DN，DQ=DN，
∴DM=DQ，
∵DM⊥AM，DQ⊥AC，
∴AD是∠MAC的角平分线，
∵∠MAC=∠ACB+∠ABC=β+∠ABC，
∴∠MAD=false∠MAC=false，
又∵∠MAD=∠ABD+∠ADB=false+∠ADB，
∴false，
∴false.
【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及角平分线的判定和性质，准确识别图形，作出合适的辅助线是解题的关键.
43．（1）见解析；（2）CD＝2cm.
【解析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得CD=DE，然后利用三角形面积公式计算即可.
【解答】解：（1）如图所示：线段BD即为所求；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，false
∴CD=DE，
∴false，
即false，
∴CD＝2cm.
【点评】本题考查了尺规作图、角平分线的性质及三角形面积计算，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
44．见解析
【解析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
false，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
45．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.
【解析】
【解析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．
【解答】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE=AD，
故答案为：CD=AD
（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=DE=AD.
（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF和△DEG中，，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．