13.1.2：线段的垂直平分线的性质 同步提高课时练习（含解析）

13.1.2：线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且false，我们知道按如图所作的直线false为线段false的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A．false是线段false的垂直平分线 B．false是线段false的垂直平分线
C．false是线段false的垂直平分线 D．false是false的垂直平分线
2．如图，在false中，false，false边上的垂直平分线false分别交false、false于点false、false，若false的周长是11，则false（ ）
A．28 B．18 C．10 D．7
3．如图，在false中，false，false．按下列步骤作图：①分别以点false和点false为圆心，大于false一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点false和点false；②作直线false，与边false相交于点false，连结false．下列说法不一定正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）．
A．三条中线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，在false中，false平分false，false是false的中点，过点false作false的垂线交false于点false，连结false．若false，false°，则false的度数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．3
8．如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（ ）
A．21 B．18 C．13 D．9
9．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A=60°，∠ACE=24°，则∠ABE的度数为（ ）
A．24° B．30° C．32° D．48°
11．通过如下尺规作图，能确定点false是false边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC?AH D．AB=AD
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E，连接AE，若△AEC的周长是10，AC的长度是4，那么BC的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
14．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于falseAB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．如图，在false中，false为边false上一点，false，分别以点false为圆心，以大于false的长为半径画弧，两弧交于点false，过点false作直线，分别交false于点false．若false，那么false的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．如图，false中，false的垂直平分线false与false的角平分线相交于点false，垂足为点false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．不能确定
17．如图，false中，false，false的平分线false与边false的垂直平分线false相交于点false，false交false的延长线于点false，false于点false，现有下列结论：①false；②false；③false平分false；④false，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
18．如图所示，OP平分false，false，false，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）．
A．false B．PO平分false
C．false D．AB垂直平分OP
二、填空题
19．如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=___________cm．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝10 ，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为24，则CD的长为____．
21．如图，在false中，分别以点A和点C为圆心，大于false长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若false，false的周长为13cm，则false的周长为________.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，BC＝5，AC＝10，则AE的值是_____．
23．如图，在false中，false，分别以点false为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧相交于点false作直线false，交false边于点false，连接false，则false的周长为________．
24．如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝___________．
25．如图，false是直角三角形，false是斜边，false，false，false的垂直平分线分别交false，false于false，false，则false的长为__________．

26．如图，在false中，点D在false边上，false垂直平分false边，垂足为E，若false，且false，则false的度数为_________．
27．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE⊥AC，DE垂直平分AB于D，若DE=2，则EC=_____.
28．如图，在false中，false，分别以点A、B为圆心，以大于false的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线false交false点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交false、false于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线false，此时射线false恰好经过点D，则false_____度．
29．如图，已知在false中，false边的垂直平分线交false的延长线于点false，在false上取一点false，使false，则false________．
30．如图，false与false关于false成轴对称，分别以点false、false为圆心，大于false长为半径画圆弧，两弧相交于点false和点false，作直线false交false于点false，连结false．若false，则false的大小为__________度．
31．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC =___．
32．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE垂直平分AB，∠C＝90°，∠BAC＝15°．若BC＝3cm，则AE的长度为_____．
33．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为_______cm．
34．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．
三、解答题
35．如图，在三角形纸片false中，false的平分线false交false于点D，将false沿false折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：false．
（2）若false，求false的度数．
36．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．
37．某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在false两处参加劳动，另外两个班级在道路false两处劳动（如图），现要在道路false的交叉区域内设置一个茶水供应点P，使P到false的距离相等，且使false，请找出点P的位置（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹）
38．如图，在△ABC中，AB=AC，现要在AB边上确定点D，使点D到点A和点C的距离相等．
（1）请你利用尺规作图，作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若等腰三角形ABC的周长为25，底边BC=7，请求出△BCD的周长．
39．如图，在false中，false，false．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作false的垂直平分线交false于点false，交false于点false．
（2）连接false，判断false与false的位置关系，并说明理由．
40．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：false．
求作：false，使得false．
作法：如图，
①在射线false上任取一点false；
②作线段false的垂直平分线，交false于点false，交false于点false；
③连接false；
所以false即为所求作的角．
根据小华设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)．
证明：∵false是线段false的垂直平分线，
∴false______(______)
∴false．
∵false(______)
∴false．
41．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
42．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
43．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，按要求画图：
（1）请画出△ABC的高CD；
（2）请画出△ABC的中线BE；
（3）△ABC的面积是　 　．（直接写出结果）
44．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．
45．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是　 　
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
参考答案
1．A
【解析】根据垂直平分线的定义判断即可．
【解答】
∵false为线段false的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴false是线段false的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵false是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
【点评】本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识．
2．D
【解析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，false，
故AB=11-4=7，
故选：D．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．C
【解析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，false垂直平分线段false，
false，false，
false，false，
false，
false，
false，
false，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查作图false基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．D
【解析】根据角平分线的性质求解即可．
【解答】到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点
故答案为：D．
【点评】本题考查了到三角形三条边距离相等的点，掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．C
【解析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
6．D
【解析】设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF＝CF，推出∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
设∠ABD＝∠CBD＝x°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠CBD＝x°，∠CFD＝2x°，
∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，
∴50°＋40°＋x°＋2x°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠CFD＝2x°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，能求出BF＝CF是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7．C
【解答】解析：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，
∴BQ=BF?cos30°=2×false=false，
∵FQ是BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2false，
在Rt△BEF中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=falseBP=false．
故选C．
8．C
【解析】
试题分析：由已知可得，DE是线段BC的垂直平分线，根据其性质可得BD=CD，根据等量代换，即可得出；
解：∵DE⊥BC，BE=EC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+8=13．
故选C．
考点：线段垂直平分线的性质．
9．C
【解析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
10．C
【解析】先根据BC的垂直平分线交BD于点E证明△BFE≌△CFE（SAS），根据全等三角形的性质和角平分线的性质得到false，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：如图：
∵BC的垂直平分线交BD于点E，
∴BF=CF，∠BFE=∠CFE=90°，
在△BFE和△CFE中，
false
∴△BFE≌△CFE（SAS），
∴false（全等三角形对应角相等），
又∵BD平分∠ABC，
∴false，
又∵false（三角形内角和定理），
∴false，
∴false，
故选C．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，证明false是解题的关键．
11．A
【解析】作线段false的垂直平分线可得线段false的中点．
【解答】作线段false的垂直平分线可得线段false的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
12．A
【解答】解：如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC=false?BC?AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．
13．B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而利用三角形周长解答即可．
【解答】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+BE+EC＝AC+BC＝BC+4＝10，
可得：BC＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线的性质及其应用是解答的关键．
14．C
【解析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于falseAB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
【解答】false由作图可知，EF垂直平分AB，
false，故A选项正确；
false，故B选项正确；
false，故C选项错误；
false，故D选项正确，
故选C．
【点评】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
15．C
【解析】根据作图可知，GH垂直平分线段BD，得到BE=DE，且GH⊥BD，再证明△BOE≌△BOF，即可求解．
【解答】解：由作图方法可知，GH是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE=4，GH⊥BD，
∴∠BOE=∠BOF=90°，
在△BOE和△BOF中，
false，
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴BF=BE=4．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的作图方法，结合三角形全等的判定与性质求线段长度．解答本题的关键为通过作图方法分析出，GH垂直平分线段BD．
16．B
【解析】首先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，false，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180°，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°，
故选：B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
17．C
【解析】①由角平分线的性质可知①正确；
②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=falseAD，DF=falseAD，从而可证明②正确；
③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；
④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正确．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=falseAD．
同理：DF=falseAD．
∴DE+DF=AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
false，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．故④正确．
综上所述，①②④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
18．D
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出false，OA=OB，即可得出答案．
【解答】解：∵OP平分false，false，false
∴false，选项A正确；
在△AOP和△BOP中，
false，
∴false
∴false，OA=OB，选项B，C正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．
19．10
【解析】由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．
【解答】∵false，
∴BD+DC+BC=24cm，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD+DC+BC=24cm，
即AC+BC=24cm，
又∵AC=14cm，
∴BC=24-14=10cm．
故答案为：10
点睛：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．
20．3
【解析】利用线段垂直平分线的性质得出AD+BD+AB=2AD+AB=24，进而得出AD的长，即可得出答案．
【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AB=AC=10，△ADB的周长等于24，
∴AD+BD+AB=2AD+10=24，
∴AD=7，
∴DC=AC-AD=10-7=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出AD的长是解题关键．
21．19cm
【解析】根据尺规作图得到false是线段false的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到false，false，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：由尺规作图可知，false是线段false的垂直平分线，
false，false，
false的周长为13，
false，
则false的周长false，
故答案为：false．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．false
【解析】根据题意直接利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理进而得出答案．
【解答】解：∵ED垂直平分AB于点D，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，
故在Rt△ECB中，EC2+BC2＝EB2，（10﹣x）2+52＝x2，
解得：x＝false．
故答案为：false．
【点评】本题考查三角形相关概念，直接利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理进行分析求值.
23．false
【解析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出false的周长.
【解答】∵在false中，分别以A、B为圆心，大于false的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴false的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
【点评】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.
24．38°
【解析】根据题意确定点O是△ABC的外心，所以连接OB．利用圆周角定理可知∠BOC=2∠A，然后根据等腰△BOC的性质和三角形内角和定理来求∠OCB的度数即可．
【解答】∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，
∴点O是△ABC的外心．
如图，连接OB．
则∠BOC=2∠A=104°．
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠OCB=（180°-∠BOC）÷2=38°，
故答案是：38°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．
25．false
【解析】连接AD，由垂直平分线的性质得到AD=BD，在△ACD中，建立勾股关系方程，可解．
【解答】如图，连接AD
由垂直平分线的性质可知
AD=BD
∵△ABC为直角三角形，AC=3，AB=5
∴BC=4
设AD为m，则CD=4-m
在Rt△ACD中
AD2=CD2+AC2
m2=（4-m）2+32
解得m=false
故答案为false
【点评】本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理的计算，考查比较全面，是很好的基础型问题．
26．75°
【解析】连接AD，可以由DE垂直平分AC得AD=CD，再根据AB+BD=BC=BD+CD可以求出AB=CD，所以进一步得∠ADB的度数，进而得出答案.
【解答】如图连接AD：
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
又∵AB+BD=BC=BD+CD，
∴AB=CD，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=70°，
∴∠C=false∠ADB=35°，
∴∠BAC=180°?∠B?∠C=75°，
故答案为：75°.
【点评】本题主要是考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握方法即可.
27．8
【解析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B=∠C=∠EAB=30°，继而求得AE的长，继而求得答案．
【解答】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴AE=BE=2DE=2×2=4，
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°，
∴CE=2AE=8，
故答案为8．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
28．32
【解析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得false，再根据三角形内角和定理即可得解．
【解答】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，false
∴false
∴false
∵false，且false，
∴false，即false，
∴false．
故答案为：32．
【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
29．35°
【解析】首先根据线段的垂直平分线性质得出EA=EB，然后进一步利用等边对等角得出∠EBA=∠EAB，据此再利用三角形外角性质得出∠EAB=∠C+∠ABC，进而求出∠EBF=∠C=35°.
【解答】∵false边的垂直平分线交false的延长线于点false，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠EAB，
又∵∠EBA=∠EBF+∠FBA，∠EAB=∠C+∠ABC，
∴∠EBF+∠FBA=∠C+∠ABC，
∵false，∠C=35°，
∴∠EBF=∠C=35°，
故答案为：35°.
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线性质以及三角形外角性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
30．78
【解析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，再利用对称的性质得到∠DAC=∠BAC，所以∠BAC=39°，然后根据三角形外角性质计算∠CPB的度数．
【解答】解：由作法得，MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵△ABC与△ADC关于AC成轴对称，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=false∠DAB=false×78°=39°，
∴∠CPB=∠PAB+∠PBA=2∠PAB=2×39°=78°．
故答案为：78°．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和对称的性质．
31．15
【解答】试题分析：因为EF是AB的垂直平分线，所以AF=BF,因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12,
所以AC =AF+FC=12+3=15．
考点：线段垂直平分线的性质
32．6cm
【解析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠A＝15°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝15°，
∴∠BEC＝30°，
∵∠C＝90°，BC＝3cm，
∴BE＝2BC＝6cm，
∴AE＝BE＝6cm，
故答案为6cm．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，线段的垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．28
【解析】
∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵BC=18cm，AB=10cm，
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BC+CD=AB+BC=28cm．
故答案是：28cm．
34．8
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.
故答案为8.
点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.
35．（1）证明见解析；（2）false
【解析】（1）由角平分线的定义可得false，由折叠图形的性质可得，DE垂直平分AC，可得false，即可求证；
（2）由（1）可得false，在三角形ABC中，根据内角和等于180度即可求解．
【解答】解：（1）false平分false，
false．
∵将false沿DE对折后，点C落在点A处，
false垂直平分false，
false
false，
false．
（2）由（1）可得，false，false
∴false
false
false．
【点评】本题考查折叠图形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理和垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用各种知识证明和求解，是个较简单的几何题．
36．见解析
【解析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
【解答】证明：连接BD，DC，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
false
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
37．见解析
【解析】根据false可知，点P在DE的垂直平分线上，再根据P到false的距离相等可知，点P在false的角平分线上，所以DE的垂直平分线与false的角平分线的交点即为所求的点P．
【解答】如图
【点评】本题主要考查角平分线和垂直平分线性质的应用，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
38．（1）作图见解析；（2）16
【解析】（1）根据垂直平分线的性质可知，点D在AC边的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的作法即可得；
（2）先根据垂直平分线的性质得出false，再根据false的周长得出false，然后根据线段的和差、三角形的周长公式即可得．
【解答】（1）由垂直平分线的性质可知，点D在AC边的垂直平分线上，根据垂直平分线的作法画图如下：
（2）由垂直平分线的性质得：false
false，false
false，即false
false
即false的周长为16．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题关键．
39．（1）见解析；（2）false，理由见解析
【解析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线EF；
（2）先由PA＝PD得到∠A＝∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，则∠B＝∠EDB，从而得到∠PDA＋∠EDB＝90false，从而可判断PD⊥DE．
【解答】解：（1）如图所示，直线false即为线段false的垂直平分线．
（2）false．
理由如下：∵false，
∴false．
∵false是false的垂直平分线，
∴false．
∴false．
∵false，
∴false，
∴false．
∴false．
∴false．
【点评】本题考查了作图?基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
40．(1)见解析；(2)线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到false，则根据等腰三角形的性质得到false．然后根据三角形外角性质得到false．
【解答】(1)如图，false即为所求作；
(2)证明：∵false是线段false的垂直平分线，
∴false(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)
∴false．
∵false(三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和)
∴false．
故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
41．见解析．
【解析】到M、N距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，故其位置为线段MN的垂直平分线与公路AB的交点处．
【解答】（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，属基本作图题．
42．30°
【解析】先由AB=AC，∠A=40°，求得∠ABC的度数，再根据MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，即可得到∠A=∠ABD=40°，从而得到结果．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°
∵MN是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD=40°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
43．（1）如图CD即为所求；见解析；（2）如图BE即为所求；见解析；（3）6．
【解析】（1）根据网格即可画出△ABC的高CD；
（2）根据网格即可画出△ABC的中线BE；
（3）根据网格即可求出△ABC的面积．
【解答】如图，
（1）CD即为所求；
（2）BE即为所求；
（3）△ABC的面积为：false3×4＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握钝角三角形的高线的画法．
44．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．
（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．
②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．
【解答】（1）补全图形，如图1所示
（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．
②证明：连接DE，DF．如图3所示
∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝false∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
【点评】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．
45．（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析
【解析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出false，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出false，再根据垂直平分线的判定与性质得出false，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；
（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出false，再根据三角形全等的判定定理与性质可得false，false，从而可得false，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得false，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【解答】（1）如图1，延长AD至E，使false，连接BE
∵AD是BC边上的中线
∴false
在false和false中，false
∴false
∴false
在false中，由三角形的三边关系得：false
∴false，即false
∴false，即false
∴false
故答案为：false；
（2）如图2，延长FD至点M，使false，连接BM、EM
同（1）得：false
∴false
∵false，false
∴false是false的垂直平分线
∴false
在false中，由三角形的三边关系得：false
∴false；
（3）false；证明如下：
如图3，延长AB至点N，使false，连接CN
∵false，false
∴false
在false和false中，false
∴false
∴false，false
∵false，false
∴false
∴false
∴false
在false和false中，false
∴false
∴false
∵false
∴false．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．