13.3.1：等腰三角形 同步提高课时练习（含解析）

13.3.1：等腰三角形
一、单选题
1．下列命题真命题是（ ）
A．同位角相等 B．底边相等的两个等腰三角形全等
C．对顶角相等 D．两个锐角的和一定是钝角
2．等腰三角形的两边长分别为3cm，6cm，则该三角形的周长为（ ）
A．12cm B．15cm C．12cm或15cm D．以上都不对
3．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
4．等腰三角形的一个角是false，则它的顶角的度数是（ ）
A．false B．false或false C．false或false D．false
5．一个等腰三角形的边长分别是3cm和8cm，则它的周长是（　　）cm．
A．14 B．19 C．14或19 D．15或19
6．如图，false，false，false，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（　　）
A．AB和AD，点A B．AB和AC，点B
C．AC和BC, 点C D．AD和BC，点D
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
9．如图，等腰三角形false中，false，false，false于false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm? C．6cm? D．8cm?
11．如图false是一角度为false的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：false、false、false…，且false…，在false、false足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．7根 B．8根
C．9根 D．无数根
12．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
14．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，则∠CDE的度数为（　　）
A．50° B．40° C．60° D．80°
15．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，点E是等腰三角形△ABD底边上的中点，点C是AE延长线上任一点，连接BC、DC，则下列结论中：①BC=AD；②AC平分∠BCD；③AC=AB；④∠ABC=∠ADC．一定成立的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②
17．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
18．如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
19．如图，在false中，false与false的平分线相交于点O，过点O作false，分别交AB、AC于点M、false若false的周长为15，false，则false的周长为______．
20．等腰三角形的一个内角是false，则它的顶角度数是_______________．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40?，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数为_____．
22．如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是_____．
23．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰false中，false，则它的特征值false__________．
24．等腰三角形的顶角为false，底边上的高为2，则它的周长为_____．
25．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值false称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰false中，false，则它的特征值false__________．
26．等腰三角形的两边长分别为2和4，则其周长为_____．
27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D为AC边上任意一点(不与点A．C重合)，当△BCD为等腰三角形时，∠ABD的度数是___．
28．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝______．
29．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长为6，则AC=_________________．
30．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是____．
31．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．
32．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________
33．在false中，false，false为直线false上一点，false为直线false上一点，false，设false，false．
（1）如图1，若点false在线段false上，点false在线段false上，则false，false之间关系式为__________．
（2）如图2，若点false在线段false上，点false在false延长线上，则false，false之间关系式为__________．
34．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
三、解答题
35．如图，已知：AB∥EF，AE=AC，∠E=65°，求∠CAB的度数．
36．如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
37．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB=FE．
38．如图，在false和false中，false，false，AC与BD相交于点O.
（1）求证：false；
（2）false是何种三角形？
39．如图，在△ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AE∥BC
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．
40．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
41．如图，在false中，false边的垂直平分线false交false于点false，false边的垂直平分线false交false于点false，false与false相交于点false，联结false、false，若false的周长为false，false的周长为false．
（1）求线段false的长；
（2）联结false，求线段false的长；
（3）若false，求false的度数．
42．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
求证：△ABC是等腰三角形．
43．如图，△ABC中，DE⊥BC于点E，交∠BAC的平分线AD于点D，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，且BM=CN．求证：点E是BC的中点．
44．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）C（4，0）
（1）求△ABC的面积；
（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD为等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．

45．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．
参考答案
1．C
【解答】解：A．错误：两直线平行，同位角相等；
Ｂ错误：两个等腰三角形全等则底相等；
C正确：对顶角相等；
Ｄ错误：如两个30°角相加的和仍然是锐角．
故选：C
【点评】本题考查命题与证明，本题难度中等，主要考查学生对命题和证明知识点的掌握．
2．B
【解析】分两种情况：底边为3cm，底边为6cm时，结合三角形三边的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】底边为3cm，腰长为6cm，这个三角形的周长是3+6+6=15cm，
底边为6cm，腰长为3cm，3+3=6，不能以6cm为底构成三角形；
故答案为：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
3．B
【解答】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
4．B
【解析】分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；当80°角为底角时；容易得出结论．
【解答】解：分两种情况讨论：①当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
②当80°角为底角时，顶角=180°-2×80°=20°．
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
5．B
【解析】
【解析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以3为底边和腰两种情况考虑：若3为腰，则另外一腰也为3，底边就为8，根据3+3＜8，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若3为底边，腰长为8，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
【解答】解：若3为腰，8为底边，此时3+3＜8，不能构成三角形，故3不能为腰；
若3为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为3，8，8，周长为3+8+8＝19，
综上三角形的周长为19．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
6．D
【解析】首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定.
【解答】∵false，false
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵false
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故选：D.
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
7．D
【解析】根据全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=90°．
【解答】解：根据题意知，∵在△ABD与△ACD中，
false ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用．巧妙地借助两个三角形全等，寻找角与角间是数量关系．
8．A
【解析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【解答】∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°?∠A）÷2=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．
9．D
【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数．
【解答】∵∠A=46°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=false=67°．
∵∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-67°=23°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，注意掌握数形结合思想的应用．
10．C
【解析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【解答】∵S△ABC=12cm2，等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，
∴阴影部分面积=12÷2=6cm2．
故选：C．
【点评】考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．
11．B
【解析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故选择：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
12．B
【解答】解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB=false，
同理可得，AC=BD=AC=false，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：
故选B．
考点：1.等腰三角形的判定.2.勾股定理.
13．C
【解析】对于①，作∠B或∠C的平分线即可，②不能，③作斜边上的高，④在BC上取点D，使BD=BA即可.
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①图，作∠ABC的平分线交AC于点D，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求；
②图不能被一条直线分成两个小等腰三角形；
③图，作等腰直角三角形斜边上的高AD，则可把它分为两个小等腰直角三角形，符合要求；
④图，在BC上取点D，使BD=BA，作直线AD，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理，在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原等腰三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能.
14．C
【解析】根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝20°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝40°，
∴∠A＝∠CDA＝40°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝40°，
∴∠B＝20°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED＝false（180°﹣20°）＝80°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角.
15．B
【解析】过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP=PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴三角形PBC的面积=false三角形ABC的面积=falsecm2，
选项中只有B的长方形面积为falsecm2，
故选B．
16．A
【解析】
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出结论进而判断即可．
【解答】∵点E是等腰三角形△ABD底边上的中点，∴BE＝DE，∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠BEC＝∠DEC＝90°．
在△BEC与△DEC中，∵false，∴△BEC≌△DEC（SAS）
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC，∴④∠ABC＝∠ADC；②AC平分∠BCD正确．
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△BEC≌△DEC．
17．B
【解答】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．
②若3是底，则腰是6，6．
3+6＞6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
18．C
【解析】依据SAS可证明ABE≌false，由全等三角形的性质可得到false，则false，然后依据四边形的内角和为false可求得false的度数，然后再证明false，最后，依据等腰三角形的性质可得到AC与DE的关系．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=∠DAE，AE=AD，
∴ABE≌△ACD，故①正确．
∵ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ADC=180°，
∴∠BFD=180°-∠EAD=180°-70°=110°，故③正确．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=35°．
又∵∠DAE=70°，
∴AC平分∠EAD．
又∵AE=AD，
∴AC⊥EF，AC平分EF．
∴AC是EF的垂直平分线，故④正确．
由已知条件无法证明BE=EF，故②错误．
故选C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．9．
【解析】先根据角平分线的性质和平行线的性质推出OM=BM，ON=CN，即可得到三角形的周长就等于AB与AC的长度之和．
【解答】解：如图，∵ OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴ false ，
又∵ false ，false ，
false ，
false ，
又false ，
false ，
false 的周长=9.
故答案为9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质．
20．20度或80度
【解析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°?80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
21．30°．
【解答】试题分析：因为AB=AC，∠A=40°，所以∠ABC=∠C=70°，又BD=BC，所以∠BDC=∠C=70°，又∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°．
考点：1．等腰三角形的性质、2．三角形的外角的性质．
22．①③④．
【解析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质．
23．false或false
【解析】分∠A为顶角和底角两类进行讨论，计算出其他角的度数，根据特征值k的定义计算即可．
【解答】当∠A为顶角时，等腰三角形的两底角为false，∴特征值k=false；
当∠A为底角时，等腰三角形的顶角为false，∴特征值k=false．
故答案为：false或false
【点评】本题考查了等腰三角形的分类，等腰三角形的分类讨论是解题中易错点．一般可以考虑从角或边两类进行讨论．
24．false
【解析】根据等腰三角形的性质可分别求得腰长和底边的长，从而不难求得三角形的周长.
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为2，
∴腰长=4，底边的一半=2false，
∴周长=4+4+2×2false=8+4false．
故答案为8+4false．
【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质的综合运用．
25．false
【解析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答】解：
①当false为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：false
∴特征值false
②当false为底角时，顶角的度数为：false
∴特征值false
综上所述，特征值false为false或false
故答案为false或false
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知false的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
26．10
【解析】根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当2为腰时②当4为腰时；再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可完成.
【解答】①当2为腰时，另两边为2、4， 2+2=4，不能构成三角形，舍去；
②当4为腰时，另两边为2、4， 2+4>4，能构成三角形，此时三角形的周长为4+2+4=10
故答案为10
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键.
27．15°或30°
【解析】根据AB=AC，∠A=40°，得到∠ABC=∠C=70°，然后分当CD=CB时和当BD=BC时两种情况求得∠ABD的度数即可．
【解答】∵AB=AC，∠A=40°
∴∠ABC=∠C=70°
当CD=CB时
∠CBD=∠CDB=55°
此时∠ABD=70°-55°=15°
当BD=BC时
∠BDC=∠BCD=70°
∴∠DBC=40°
∴∠ABD=70°-40°=30°
故答案为：15°或30°
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，有两个边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等．
28．10°
【解析】根据线段的垂直平分线得出AD=BD，AE=CE，推出∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．
【解答】∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠B+∠C=85°，
∴∠BAD+∠CAE=85°，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=180°-85°-85°=10°，
故答案为10°
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
29．false
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
假设false，则false，
∵△BDE的周长为6，
∴false，
false，
∴false，
故答案为：false；
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键．
30．①②③
【解答】
解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．
②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，
∴DF＝DB，EF＝EC，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正确．
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD＝DF，EF＝EC，
△ADE的周长＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正确，
④无法判断BD＝CE，故错误，
故答案为：①②③．
31．40°
【解答】试题解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B=false=80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C=false=40°．
32．11或13
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
33．false false
【解析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】（1）设∠ABC=x，∠AED=y，
∵false,false,
∴∠ACB=∠ABC, ∠AED=∠ADE
∴∠ACB=x，∠ADE=y，
在△DEC中，∵∠ AED=∠ACB+∠EDC,
∴y=β+x，
在△ABD中，∵∠ADC=∠BAD+∠ABC, ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC,
∴α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；
故答案为：α=2β；
（2）当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∵false,false,
∴∠ACB=∠ABC, ∠AED=∠ADE,
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，∵∠ADC=∠BAD+∠ABC, ∠ADC=∠EDC-∠ADE,
∴x+α=β-y，
在△DEC中，∵∠ECD+∠CED+∠EDC=180°,
∴x+y+β=180°，
∴α=2β-180°；
故答案为α=2β-180°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．
34．4
【解析】由A点坐标可得OA=2false，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【解答】（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2false，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=2false，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP=falseOA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（2false，0）.
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2false，
∴OA＝OP＝2false，
∴P的坐标是（﹣2false，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2false，0）或（﹣2false，0）．
故答案为4．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
35．65°
【解析】AE=AC即△ACE是等腰三角形．∠E是底角，根据等腰三角形的两底角相等得到∠E=∠ACE=65°，由平行线的性质得到：∠CAB=65°．
【解答】∵AE=AC
∴∠ACE=∠E=65°?
∵??AB∥EF????????????
∴∠CAB=∠ACE=65°
【点评】本题是等腰三角形的性质：等边对等角，与平行线的性质的综合应用，比较简单．
36．（1）证明见解析；
（2）互相垂直，证明见解析
【解析】（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
△ACD和△ABE中，
∵false
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD=AE．
（2）猜想：OA⊥BC．
证明：连接OA、BC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵false
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．
∴∠DAO=∠EAO，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC．
37．（1）∠BAD=54°；（2）见解析
【解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）根据角平分线得到∠ABE＝∠EBC，根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BEF，从而证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°?∠ABC＝90°?36°＝54°．
∴∠BAD=54°；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
38．（1）见解析；（2）△OBC是等腰三角形，理由见解析.
【解析】（1）根据已知条件，用HL直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠ACB＝∠DBC，即可证明△OBC是等腰三角形．
【解答】（1）∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，false，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
39．（1）证明见解析；（2）32．
【解答】试题分析：（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
试题解析：证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，∴△AEF≌△CFG，∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，∴BG=4，∴BC=12，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
40．（1）作图见解析；（2）△ADF是等腰直角三角形.
【解析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于falseGH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=false×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．
【解答】试题分析：
解：（1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=false∠EAC+false∠BAC=false×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，
∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
考点：等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．
41．（1）false；（2）false；（3）false．
【解析】（1）根据AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，可得AD=BD，AE=CE，继而可得BC=△ADE的周长；
（2）连接OA，由AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，可得OA=OB=OC，继而求得答案；
（3）由∠BAC=120°，可求得false，根据false，false，得出false，false，即可求解．
【解答】（1）∵false是边false的垂直平分线，∴false．
∵false是边false的垂直平分线，
∴false．∴false．
（2）如图，
∵false是边false的垂直平分线，∴false．
∵false是边false的垂直平分线，∴false．
∵false，∴false．
（3）∵false，∴false．
∵false，false，∴false，false．
∴false．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
42．证明见解析.
【解析】首先可得∠OBC=∠OCB，证明∠EBO=∠DCO，继而可得∠ABC=∠ACB
试题解析.
【解答】证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
又∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠DCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，掌握判定方法正确推理论证是本题的解题关键．
43．见解析
【解析】连DB、DC，根据角平分线性质得DM=DN；根据“HL”定理证明△BMD≌△CND，推出DB=DC；再由DE⊥BC，即可证得E是BC的中点．
【解答】连接BD，CD
∵DM⊥AB，DN⊥AC，AD平分∠BAC
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°
又∵BM=CN
∴△BMD≌△CND
∴BD=CD
∵DE⊥BC
∴E是BC的中点
【点评】本题考查了角平分线性质和等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线是解答本题的关键.
44．（1）3；（2）存在，点D坐标为（0，false），（0，-1-false），（0，1）.
【解析】（1）根据AO=1，BC=6，求得△ABC的面积；
（2）分AB为底边和腰两种情况进行分类讨论，i)以AB为底边，设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，即a2+22=（a+1）2，进而得出点D坐标；ii)以AB为腰，求出AB的长，在y轴即可确定点D的坐标.
【解答】（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面积=false×6×1=3；
（2）存在一个点D，使得△ABD是等腰三角形．
i)如图所示，以AB为底边，
设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，
∴a2+22=（a+1）2，
解得a=false，
∴D（0，false）;
ii) 如图所示，以AB为腰，
∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）
∴BO=2，AO=1，
∵∠BOA=90゜
∴AB=false,
若AB=AD，则有AD=false
∴D点坐标为（0，-1-false），
若AB=BD，则OD=OA=1，
∴D点坐标为（0，1）.
故存在一个点D，使得△ABD是等腰三角形．D点坐标为（0，false），（0，-1-false），（0，1）.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形性质，解决问题的关键是根据勾股定理列出方程进行求解．
45．（1）∠DBC=30°；（2）BC=8．
【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）根据AE=6，AB=AC，得出CD+AD=12，由△CBD的周长为20，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°
（2）∵AE=6，
∴AC=AB=2AE=12
∵△CBD的周长为20，
∴BC=20-（CD+BD）=20-（CD+AD）=20-12=8，
∴BC=8．
【点评】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．