(共19张PPT)
习题课——充分条件与必要条件的综合问题
课标阐释
思维脉络
1.掌握探求一个命题成立的充分条件、必要条件、充要条件的方法与步骤;
2.掌握利用充分条件、必要条件求参数取值范围的一般方法;
3.掌握解决充分条件、必要条件综合问题的基本方法.
1.充分条件、必要条件的两种不同叙述方式的对比
叙述方式
条件
结论
推出关系
A是B的充分不必要条件
A
B
A?B,但B
A
A是B的必要不充分条件
B?A,但A
B
A是B的充要条件
A?B,且B?A
A的充分不必要条件是B
B
A
B?A,但A
B
A的必要不充分条件是B
A?B,但B
A
A的充要条件是B
A?B,且B?A
2.用集合之间的关系判断充分条件与必要条件的方法
若p,q中所涉及的问题与变量有关,p,q中相应变量的取值集合分别记为A,B,那么有以下结论:
集合关系
结 论
A?B
p是q的充分不必要条件
A?B
p是q的充分条件
A?B
p是q的必要不充分条件
A?B
p是q的必要条件
A=B
p是q的充要条件
A?B,B?A
p是q的既不充分也不必要条件
【做一做1】
设m∈R,则“m<4”的一个充分不必要条件是( )
A.m>4
B.m<2
C.m<6
D.m≤4
解析:由m<2可推得m<4,反之不成立,故m<4的一个充分不必要条件是m<2.
答案:B
【做一做2】
已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5
D.x=0
解析:因为a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,所以a·b=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2=2x=0,即x=0.
当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),a·b=-2+2=0,
所以a⊥b,故a⊥b的充要条件是x=0.
答案:D
【做一做3】
设a∈R,则“a>1”是“|a|>1”的 条件.?
解析:由绝对值不等式“|a|>1”,得a>1,或a<-1,
又“a>1”是“a>1或a<-1”的充分不必要条件,
即“a>1”是“|a|>1”的充分不必要条件.
答案:充分不必要条件
【做一做4】
“x2<1”的充要条件是 .?
解析:解不等式x2<1可得-1
答案:-1探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
充分条件、必要条件和充要条件的探求
例1(1)一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a<1
(2)一次函数
的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A.m>1,n<-1
B.mn<0
C.m>0,n<0
D.m<0,n<0
(3)函数f(x)=x2+2x+4a没有零点的充要条件是 .?
分析(1)先寻找使结论成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围,即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找使结论成立的充要条件,然后将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件;(3)根据函数零点与方程根的关系直接探求充要条件.
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
反思感悟充分条件、必要条件和充要条件探求的解题策略
(1)探求一个结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
(2)如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
延伸探究
本例(3)中,若函数f(x)有两个负零点的充要条件是什么?
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2已知“x>k+1”是“
≥1”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是( )
A.{k|k<0}
B.{k|k>2}
C.{k|k<-1或k>2}
D.{k|k≤-2}
分析可将不等式
≥1的解求出来,根据必要不充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数k的不等式,从而求得实数k的取值范围.
答案:D
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
反思感悟根据充分条件与必要条件求解参数取值范围的步骤
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系;
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
变式训练(1)已知p:-4A.(-1,6)
B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞)
D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
(2)若(x+2)(x-a)<0是0A.(-2,5]
B.[-2,5]
C.[5,+∞)
D.(5,+∞)
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解析:(1)设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
因为q是p的充分条件,则有A?B,即
所以-1≤a≤6.故选B.
(2)(x+2)(x-a)<0是0-2时,解(x+2)(x-a)<0得-2答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
一题多解——充要条件的证明
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
方法点睛
充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件,既要证明命题“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(2)证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
1.直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要不充分条件是( )
A.k<0
B.k<-1
C.k<1
D.k>-2
解析:直线y=kx+1的倾斜角为钝角的充要条件是斜率k<0,因此其必要不充分条件可以是k<1.
答案:C
2.“a+b>2c”的一个充分不必要条件是( )
A.a>c或b>c
B.a>c或bC.a>c且bD.a>c且b>c
解析:由a>c且b>c可推出a+b>2c,但当a+b>2c时,推不出a>c且b>c,故选D.
答案:D
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
3.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
4.若“x2-x<0”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
解析:由x2-x<0可得0a”的充分不必要条件,所以a≤0.
答案:(-∞,0]
答案:A
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
5.已知不等式|2x+3|<1的解集为集合A,不等式x2-(2a+2)x+a2+2a≤0
的解集为集合B,
(1)当a=-2时,求集合B;
(2)设条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解:(1)由x2-(2a+2)x+a2+2a≤0,得a≤x≤a+2,故B={x|a≤x≤a+2}.
所以当a=-2时,B={x|-2≤x≤0}.
(2)由(1)得B={x|a≤x≤a+2},
解不等式|2x+3|<1,得-2因为q是p的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件.
所以A?B,故
解得-3≤a≤-2,故实数a的取值范围是[-3,-2].(共37张PPT)
第1课时 常用逻辑用语
知识网络
要点梳理
思考辨析
答案:①逆命题;
②逆否命题;
③充要;
④p∧q;
⑤p∨q;
⑥全称命题;
⑦特称命题
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.命题的概念
可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价;互逆或互否的两个命题真假性没有关系.
知识网络
要点梳理
思考辨析
3.充分条件、必要条件与充要条件
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假性判断(真值表):
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
知识网络
要点梳理
思考辨析
5.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,可用符号简记为“?x∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
知识网络
要点梳理
思考辨析
6.存在量词与存在性命题
(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”的命题,可用符号简记为?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)全称命题与特称命题的否定
命 题
命题的否定
?x∈M,p(x)
?x0∈M,?p(x0)
?x0∈M,p(x0)
?x∈M,?p(x)
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)“sin
45°=1”是真命题.( )
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则?q”.( )
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( )
知识网络
要点梳理
思考辨析
(7)命题p和?p不可能都是真命题.( )
(8)若p∧q为真,则p为真或q为真.( )
(9)p∧q为假的充要条件是p,q至少有一个为假.( )
(10)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( )
(11)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,?p(x)的真假性相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
(7)√ (8)× (9)√ (10)√ (11)√
专题归纳
高考体验
专题一 四种命题及其真假判定
例1已知下面四个命题:
①对于?x,若x-3=0,则x-3≤0;
②命题“已知非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分而不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(?p)∧(?q)”为真命题.
其中所有真命题的序号是 .?
分析对于②③注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
专题归纳
高考体验
解析:①∵x-3=0?x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”,为真命题.
④由p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.
∴?p,?q为真命题,一定有(?p)∧(?q)为真,故④为真命题.
综上可知,命题①②④为真命题.
答案:①②④
专题归纳
高考体验
反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤
(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的形式;
(2)然后对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.
专题归纳
高考体验
变式训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题.
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题.
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题.
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.
专题归纳
高考体验
专题二 充分、必要条件的判断及应用
例2(1)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=-
B.x=-1
C.x=5
D.x=0
(3)“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
专题归纳
高考体验
解析:(1)若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件,故选A.
(2)由a⊥b知a·b=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0;
而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有a⊥b,所以a⊥b的充要条件是x=0.
(3)要使不等式x2-2ax+a>0的解集为R,应有Δ=(-2a)2-4a<0,即4a2-4a<0,所以00的解集为R”的充要条件,因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案:(1)A (2)D (3)C
专题归纳
高考体验
反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断:即若p?q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断:p?q的等价命题是?q??p,即若?q??p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.
专题归纳
高考体验
变式训练2已知p:x2-x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分而不必要条件,则正实数a的取值范围是 .?
解析:设A={x|x2-x-20>0}={x|x<-4或x>5},B={x|x2-2x+1-a2>0}={x|x<1-a或x>1+a}.由于p是q的充分而不必要条件,可知A?B,
故所求正实数a的取值范围为(0,4].
答案:(0,4]
专题归纳
高考体验
专题三 全称命题与特称命题
例3判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
分析首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理.
解:(1)特称命题,否定:?α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:?直线l,l没有斜率,真命题.
专题归纳
高考体验
反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.
专题归纳
高考体验
变式训练3下列命题中的假命题是( )
A.?x0∈R,lg
x0=0
B.?x0∈R,tan
x0=1
C.?x∈R,x3>3
D.?x∈R,2x>0
解析:∵当x=1时,lg
1=0,∴A是真命题;
∵当x<0时,x3<0,∴C是假命题;
由指数函数的性质可知,对?x∈R,2x>0成立,∴D是真命题.
答案:C
专题归纳
高考体验
专题四 转化与化归思想
分析由于“p或q”为真,“p且q”为假,可以得到p与q一真一假,再转化为集合间的关系求解即可.
专题归纳
高考体验
∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q一真一假.
若p真q假,则a>2且a<1,∴a值不存在.
若p假q真,则a≤2且a≥1,∴1≤a≤2.
故a的取值范围为[1,2].
专题归纳
高考体验
反思感悟所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
专题归纳
高考体验
变式训练4已知命题r(x):对?x∈R,sin
x+cos
x>m,s(x):对?x∈R,x2+mx+1>0,如果r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.
专题归纳
高考体验
考点一:四种命题及其关系
1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
答案:D
专题归纳
高考体验
2.原命题为“若
A.真,真,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
专题归纳
高考体验
答案:A
专题归纳
高考体验
考点二:充分条件、必要条件的判断
3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析:由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
4.(2020浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
专题归纳
高考体验
解析:由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线互相平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,
三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,
所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
答案:C
专题归纳
高考体验
考点三:逻辑联结词及其应用
6.已知命题p:?x0∈R,
-x0+1≥0;命题q:若a2A.p∧q
B.p∧(?q)
C.(?p)∧q
D.(?p)∧(?q)
解析:当x0=0时,
-x0+1=1≥0,故命题p为真命题.
取a=1,b=-2,则a2b,故命题q为假命题,所以p∧(?q)为真命题.
答案:B
专题归纳
高考体验
7.(2020全国Ⅱ高考)设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l?平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .?
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③(?p2)∨p3 ④(?p3)∨(?p4)
解析:∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,
∴?p2,?p3为真命题,
∴p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,(?p2)∨p3为真命题,(?p3)∨(?p4)为真命题.故填①③④.
答案:①③④
专题归纳
高考体验
考点四:全称命题与特称命题
8.(2021全国乙高考)已知命题p:?x∈R,sin
x<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q
B.?p∧q
C.p∧?q
D.?(p∨q)
解析:因为当x≠2kπ+
(k∈Z)时,sin
x<1,所以命题p为真命题;
因为|x|≥0,而y=ex为R上的增函数,所以e|x|≥e0=1,故命题q为真命题.
所以p∧q为真命题;?p∧q为假命题;p∧?q为假命题;?(p∨q)为假命题.
答案:A
专题归纳
高考体验
9.记不等式组
表示的平面区域为D.命题p:
?(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:?(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②(?p)∨q ③p∧(?q) ④(?p)∧(?q)
这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
专题归纳
高考体验
解析:如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.
作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,?p假,?q真,故①③真,②④假.故选A.
答案:A(共35张PPT)
1.4 全称量词与存在量词
课标阐释
思维脉络
1.理解全称量词与存在量词的意义,理解全称命题与特称命题的概念,能够用符号表示全称命题与特称命题;
2.掌握判断全称命题与特称命题真假的方法;
3.理解全称命题与特称命题的关系,掌握对全称命题或特称命题进行否定的方法.
【思考1】观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m≤8;
Q:对所有的m∈R,m≤8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨
1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
【思考2】观察下面的两个语句,思考下列问题:
P:m>8;
Q:存在一个m0∈Z,m0>8.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可.
名师点拨
1.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等.
2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
特别提醒
通过举例验证的方式说明全称命题为真是容易出现的错误,注意规避.
【做一做1】
(1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”).?
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“特称”).?
答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称
【做一做2】
下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan
θ=tan(90°-θ)
B.存在实数x0,使sin
x0=
C.对一切θ,使sin
θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sin
x|≤1,所以sin
x0=
不成立,故B中命题为假命题.
又因为当θ=45°时,tan
θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案:A
3.全称命题与特称命题的否定
名师点拨
1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
命题类型
全称命题
特称命题
形式
?x∈M,p(x)
?x0∈M,p(x0)
否定
?x0∈M,?p(x0)
?x∈M,?p(x)
结论
全称命题的否定是特称命题
特称命题的否定是全称命题
【做一做3】
(1)“至多有三个”的否定为 .?
(2)已知命题p:?x∈R,sin
x≤1,则?p是 .?
(3)命题“?x0∈Q,
=5”的否定是 ,这是
命题(填“真”或“假”).?
答案:(1)最少有四个
(2)?x0∈R,sin
x>1
(3)?x∈Q,x2≠5 真
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
全称命题与特称命题的判断
例1判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(5)质数都是奇数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.
(3)全称命题有时会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
答案:①②③ ④
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
全称命题与特称命题的真假判断
例2判断下列命题的真假:
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin
θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)?x∈R,sin
x+cos
x≥-1;
(5)?x0∈R,
-2x0+3<0.
分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)这是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为假命题.
(2)这是特称命题,由于sin(π-θ)=sin
θ=-sin
θ,因此sin
θ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π-θ)=-sin
θ,故该命题是真命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟全称命题与特称命题真假的判断技巧
(1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)特称命题:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练2给出下列命题:①有一个实数x,使tan
x无意义;②?x∈R,
3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径;④?x0∈R,
sin
x0-cos
x0=
.其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
全称命题与特称命题的否定
例3写出下列各个命题的否定:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些实数的绝对值是正数;
(5)直线l⊥平面α,则对任意直线m?α,有l⊥m;
分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)命题的否定:有些分数不是有理数;
(2)命题的否定:任意实数的绝对值都不是正数;
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟全称命题与特称命题的否定的方法
(1)一般地,对含有一个量词的命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?x∈R,x2-x+
;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:?x0∈R,
+3x0+7≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例4已知命题p:?x0∈R,-a=0,若命题p是真命题,求实数a的取值范围.
解:设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),
则9x-3x-a=0?a=(3x)2-3x?a=t2-t,t∈(0,+∞),
设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解;也可以根据函数等数学知识来解决.
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
延伸探究若将本例条件“?x0∈R”,改为“?x0∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.
解:设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].即a=t2-t,
∴a=t2-t在[1,3]内单调递增.∴t2-t∈[0,6].即a的取值范围是[0,6].
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
特称命题、全称命题的综合应用
典例已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4,+∞).
方法点睛
一般地,对任意的实数x,a>f(x)恒成立,只要a>f(x)max;若存在一个实数x0,使a>f(x0)成立,只需a>f(x)min.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练已知f(x)=3ax2+6x-1(a∈R).
(1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有f(x)≤0;
(2)如果对任意x∈R,不等式f(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明:当a=-3时,f(x)=-9x2+6x-1,
∵Δ=36-4×(-9)×(-1)=0,
∴对任意x∈R,都有f(x)≤0.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解析:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“?x0∈R,
≤log2x0+
”的否定是?x∈R,ex>log2x+x2.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
2.(多选)下列命题是真命题的是( )
A.?x∈R,2x2-3x+4>0
B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0
D.?x0∈N
,使x0为29的约数
解析:因为y=2x2-3x+4,开口向上,Δ=9-32<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,所以A是真命题;因为x=-1时,2x+1=-1<0,所以?x∈{1,-1,0},2x+1>0,不成立,所以B是假命题;?x0∈N,使
,当x0=0或x0=1时成立,所以C是真命题;
?x0∈N
,使x0为29的约数,例如x0=29,所以D是真命题.故选ACD.
答案:ACD
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
3.若命题p:?x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,因此4-4m<0,解得m>1.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin
x|;
(3)?x0∈R,
+1<0.
解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题.
命题(2)是特称命题,因为存在T0=π,使|sin(x+T0)|=|sin
x|,故该命题为真命题.
命题(3)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有x2+1>0,故该命题为假命题.(共27张PPT)
1.3 简单的逻辑联结词
课标阐释
思维脉络
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义;
2.掌握用逻辑联结词改写命题的方法;
3.掌握判断含逻辑联结词的命题真假的方法;
4.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法.
【思考】(1)观察三个命题:①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?从集合的角度如何理解“且”的含义.
(2)观察三个命题:①3>2;②3=2;③3≥2,它们之间有什么关系?从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.
提示:(1)命题③是将命题①,②用“且”联结得到的新命题,“且”与集合运算中交集的定义A∩B={x|x∈A,且x∈B}中“且”的意义相同,表示“并且”“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……,又……”相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用“和”“与”代替.
(2)命题③是命题①,②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”与集合中并集定义A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”意义相同,是逻辑联结词,与日常用语中的“或”意义有所不同,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思:要么只是p,要么只是q,要么是p和q,即两者中至少要有一个.
1.用逻辑联结词构成新命题
使用的逻辑联结词
命题形式
读法
且
p∧q
p且q
或
p∨q
p或q
非
?p
非p
名师点拨
1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此就有“p∨q”“
p∧q”“
?p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题.
特别提醒
一个命题的否定与命题的否命题不同,以下从三个角度分析二者的区别:
(1)概念:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定.
(2)构成:原命题“若a,则b”的否定是“若a,则?b”;而其否命题为“若?a,则?b”.
(3)真假:命题p与其否定?p的真假性相反;而命题p与其否命题的真假性没有直接联系.
【做一做1】
指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词:
(1)函数f(x)=sin
x+3不是周期函数;
(2)a2+b2≥2ab;
(3)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
答案:(1)非 (2)或 (3)且
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
名师点拨
注意以上真值表的逆用:当p∧q为真时,p和q都必须是真命题;当p∨q为真时,p和q中至少有一个是真命题;当p∨q为假时,p和q都必须是假命题;当p∧q为假时,p和q中至少有一个是假命题.
p
q
p∨q
p∧q
?p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
【做一做2】
已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.(?p)∧(?q)
C.(?p)∧q
D.p∧(?q)
解析:因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q,?p为假命题,?q为真命题,(?p)∧(?q),(?p)∧q为假命题,p∧(?q)为真命题,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
用逻辑联结词构造新命题
例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的复合命题:
(1)p:π是无理数,q:e不是无理数;
(2)p:周长相等的两个三角形全等,q:面积相等的两个三角形全等;
(3)p:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根,q:方程x2+4x+3=0有两个负实数根.
分析先确定两个简单命题p,q,再根据逻辑联结词的含义写出新命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)p∨q:π是无理数或e不是无理数;
p∧q:π是无理数且e不是无理数;
?p:π不是无理数.
(2)p∨q:周长相等的两个三角形全等,或面积相等的两个三角形全等;
p∧q:周长相等的两个三角形全等,面积相等的两个三角形也全等;
?p:周长相等的两个三角形不全等.
(3)p∨q:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根或有两个负实数根;
p∧q:方程x2+4x+3=0有两个相等的负实数根;
?p:方程x2+4x+3=0没有两个相等的实数根.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤:
(1)确定两个简单命题p,q;
(2)分别用逻辑联结词“且”“或”“非”将p和q联结起来,即得新命题.
2.用逻辑联结词“且”“或”“非”联结两个命题,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
3.辨别复合命题的构成形式时,应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,或语句的意义确定复合命题的形式,准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是…也是…”,“兼”,“不但…而且…”,“既…又…”等.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题:
(1)1是质数或合数;
(2)他是运动员兼教练;
(3)不等式|x-2|≤0没有实数解;
(4)这部作品不仅艺术上有缺点,政治上也有错误.
解:(1)这个命题是“p∨q”形式,其中p:1是质数,q:1是合数;
(2)这个命题是“p∧q”形式,其中p:他是运动员,q:他是教练;
(3)这个命题是“?p”形式,其中p:不等式|x-2|≤0有实数解;
(4)这个命题是“p∧q”形式,其中p:这部作品艺术上有缺点,q:这部作品政治上有错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
含逻辑联结词的命题的真假判断
例2分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“
?p”形式的命题的真假:
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
(2)p:函数f(x)=3x-3-x是偶函数,q:函数f(x)=3x-3-x是单调递增函数;
(3)p:点(1,2)在直线2x+y-4=0上,q:点(1,2)不在圆x2+(y-3)2=2上;
(4)p:不等式x2-x+2<0没有实数解,q:函数y=x2-x+2的图象与x轴没有交点.
分析分析判断出每个简单命题的真假,然后结合真值表得到每个复合命题的真假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)由于p是假命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,?p是真命题;
(2)由于p是假命题,q是真命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是真命题;
(3)由于p是真命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是假命题;
(4)由于p是真命题,q是真命题,
所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
反思感悟判断“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题真假的步骤:
第一步,确定复合命题的构成形式;
第二步,判断简单命题p,q的真假;
第三步,根据真值表作出判断.
其中特别要注意:一真“或”为真,一假“且”即假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题的真假:
(1)p:梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等;
(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根;
(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集为?.
解:(1)由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是假命题;
(2)由于p和q均是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,?p是假命题;
(3)由于p和q均是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,?p是真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
已知复合命题的真假求参数的取值范围
例3已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出p,q均为真时参数的取值范围;
(2)根据命题p∧q,p∨q的真假判断命题p,q的真假;
(3)根据p,q的真假求出参数的取值范围.
延伸探究
本例题条件不变,试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围.
解:由例题知,当p为真时,m>2,当q为真时,11},当p∧q为真命题时,{m|2探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
命题的否定的真假应用
典例已知命题p:方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,命题q:关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,若“p∨q”与“?q”同时为真命题,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛
由真值表可判断p∨q,p∧q,?p命题的真假,反之,由p∨q,p∧q,?p命题的真假也可判断p,q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围,应先求p真成立的参数的范围,再求其补集.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.有下列命题:
①2021年10月1日是国庆节,又是国际音乐日;
②6的倍数一定是3的倍数;
③3不是质数;
④方程x2=1的解是x=±1.
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①中使用了逻辑联结词“且”;②中没有使用逻辑联结词;③中使用了逻辑联结词“非”;④中使用但省略了逻辑联结词“或”.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.p∧q
B.(?p)∧(?q)
C.(?p)∧q
D.p∧(?q)
解析:对于命题p,f(x)=
的减区间是(0,+∞)和(-∞,0),不能写成并集,故命题p为假命题.
对于命题q,g(x)=-sin
x为奇函数,故命题q为真命题.所以(?p)∧q为真命题,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.命题“若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1”的否定是( )
A.若x2-2x-3≠0,则x≠3或x≠-1
B.若x2-2x-3≠0,则x≠3且x≠-1
C.若x2-2x-3=0,则x≠3或x≠-1
D.若x2-2x-3=0,则x≠3且x≠-1
解析:因为结论为“x=3或x=-1”,其否定为“x≠3且x≠-1”,所以原命题的否定是“若x2-2x-3=0,则x≠3且x≠-1”.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知命题p:不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q:不等式
≤0的解集为{x|1答案:p∨q,?p
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析:①是真命题,则m≥0,②是真命题,则0答案:{m|m=0或m≥1}(共29张PPT)
1.2 充分条件与必要条件
课标阐释
思维脉络
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法;
2.掌握证明充要条件的一般方法.
【思考1】用恰当的语言表述下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满,那么就必然落后;
②只有同心协力,才能把事情办好.
提示:①如果不骄傲自满,那就可能不落后,也可能落后,骄傲自满是落后的充分条件.
②同心协力是办好事情的必要条件.
1.充分条件与必要条件
前提
“若p,则q”形式的命题是真命题
符号表示
p?q
结论
p是q的充分条件,q是p的必要条件
名师点拨
1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.
2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
3.以下几种说法是等价的:①p?q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
【做一做1】
用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的 .?
(2)“tan
θ=1”是“θ=
”的 .?
(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 .?
答案:(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件
【思考2】在△ABC中,角A,B,C为它的三个内角,则“A,B,C成等差数列”是“B=60°”的什么条件?
提示:因为A,B,C成等差数列,故2B=A+C,又因为A+B+C=180°,故B=60°,反之,亦成立,故“A,B,C成等差数列”是“B=60°”的充要条件.
2.充要条件
定义
如果既有p?q,又有q?p,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件
符号表示
p?q
等价性
如果“p是q的充分必要条件”,也说“p等价于q”,q当且仅当p
互为充要条件
如果p?q,那么p和q互为充要条件
名师点拨
1.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
2.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件,否则,就不能说p是q的充要条件.
3.对充分条件和必要条件的进一步划分:
条件p与结论q的关系
结 论
p?q,且q
p
p是q的充分不必要条件
q?p,且p
q
p是q的必要不充分条件
p?q,且q?p,即p?q
p是q的充要条件
p
q,且q
p
p是q的既不充分也不必要条件
【做一做2】
下列各项中,p是q的充要条件的是( )
解析:A项中,p是q的充分不必要条件;C项中,p是q的充分不必要条件;D项中,p是q的必要不充分条件,B项符合.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1指出下列各题中,p是q的什么条件.(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
分析分析判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件、充要条件的定义得出结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟充分条件、必要条件的两种基本判断方法:
(1)定义法
①确定条件和结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就不是充分条件;
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1用“充分不必要”、“
必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空:
(1)“x2=4”是“x=-2”的 条件;?
(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的 条件;?
(4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的 条件.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:(1)当x=-2时一定有x2=4,但当x2=4时不一定有x=-2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件;(2)若函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数,则有θ=kπ(k∈Z),当θ=kπ(k∈Z)时,函数f(x)=cos(2x+θ)一定是偶函数,所以“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的充要条件;
答案:(1)必要不充分 (2)充要 (3)既不充分也不必要 (4)充分不必要
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
充要条件的证明
例2设a,b,c分别为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
分析第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“A=90°”,结论是“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”;第二步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”,先证充分性:“条件?结论”;再证必要性:“结论?条件”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)证明充分性:
因为A=90°,所以a2=b2+c2,方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a+c)(x+a-c)=0,所以两根分别为x1=-a-c,x2=-a+c.
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx-a2+c2=0,
即(x+a+c)(x+c-a)=0,
所以两根分别为x3=-a-c,x4=a-c.
故两个方程有公共根-a-c.
(2)证明必要性:
设两个方程有公共根α,则α2+2aα+b2=0,α2+2cα-b2=0,显然α≠0.
两式相加得α2+2α(a+c)=0.所以α=-(a+c).
代入x2+2ax+b2=0可得a2=b2+c2,所以A=90°.
综上所述:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟充要条件的证明策略
(1)要证明p为q的充要条件(q的充要条件为p),需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,但证明过程中需注意不要混淆条件和结论.
(2)也可以用集合的思想来证明,即证明p与q的解集是相同的,但证明前必须辨别清楚充分性和必要性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2求证:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.(这里a,b,c是△ABC的三条边)
证明:充分性:
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,两边都乘2,得2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.充分性成立.
必要性:
∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,
∴ab+ac+bc=a2+b2+c2.必要性成立.
综上,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .?
解析:由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件,所以p?q且q
p.
则{x|-2≤x≤10}?{x|1-m≤x≤1+m,m>0},
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.
答案:{m|m≥9}(或[9,+∞))
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的方法
(1)化简p,q;
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系;
(3)利用集合间的关系建立不等关系;
(4)求解参数的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究
本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求实数m的取值范围.
解:由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得
1-m≤x≤1+m(m>0),
因为p是q的必要不充分条件,所以q?p,且p
q.
则{x|1-m≤x≤1+m,m>0}?{x|-2≤x≤10}.
即实数m的取值范围是(0,3].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
考虑不周致误
典例“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
易错分析本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中的相关数学知识“截距”、“斜率”等概念理解不深,考虑不全面导致判断结果出错,这是主要错误所在.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,其斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
纠错心得本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直线在坐标轴上的截距的概念,同时又要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判断时,一定考虑周全,避免出错.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练“sin
x=0”是“cos
x=1”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
解析:因为sin
x=0,根据三角函数的基本关系式,可得cos
x=±1,
反之,若cos
x=1,根据三角函数的基本关系式,可得sin
x=0,
所以“sin
x=0”是“cos
x=1”的必要不充分条件.
故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.设α:x>1且y>2,β:x+y>3,则α是β的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若“x>1且y>2”,则“x+y>3”成立;
当x=5,y=1时,满足x+y>3,但x>1且y>2不成立.
故“x>1且y>2”是“x+y>3”的充分不必要条件.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.“α≠
”是“sin
α≠1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.若a∈R,则“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的 条件.?
解析:“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”等价于a(a+1)+1×(2a)=0,即a=0,或a=-3,
又易知“a=-3”是“a=0或a=-3”的充分不必要条件,
即“a=-3”是“直线l1:ax+y-1=0与l2:(a+1)x+2ay+4=0垂直”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.已知集合A={x|a-1≤x≤a},B={x|x2-4x+3≤0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解:由题意知,A={x|a-1≤x≤a}不为空集,
B={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}.
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以A?B,
解得2≤a≤3,
所以实数a的取值范围是[2,3].(共30张PPT)
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
课标阐释
思维脉络
1.了解命题的四种形式,能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题;
2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系;
3.能够利用命题的等价性解决有关问题.
【思考1】初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题?
提示:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题.
1.四种命题
(1)原命题与逆命题
(2)原命题与否命题
(3)原命题与逆否命题
名师点拨
1.四种命题中原命题具有相对性,任何一个都可以作为原命题,原命题确定后,其逆命题、否命题和逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.
2.“互为逆否命题”与“逆否命题”是不同的,互为逆否命题指的是两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具有单向性.
【思考2】原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系?
提示:原命题与其逆命题是互逆关系;原命题与其否命题是互否关系;原命题与其逆否命题是互为逆否关系.
2.四种命题间的关系
名师点拨
四种命题之间共有互逆、互否、互为逆否三种关系.
(1)互逆关系:原命题与逆命题,否命题与逆否命题;
(2)互否关系:原命题与否命题,逆命题与逆否命题;
(3)互为逆否关系(等价关系):原命题与逆否命题,逆命题与否命题.
【做一做2】
给出以下命题:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形的对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形的对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有 ;互为否命题的有 ;互为逆否命题的有
.?
答案:③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
3.四种命题间的真假关系
(1)四种命题的真假性,有以下四种情况:
(2)四种命题的真假性之间的关系如下:
①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
名师点拨
由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化为证明其逆否命题.
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
【做一做3】
(1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是 (填“真”或“假”)命题.?
(2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”)?
(3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为 ,该逆否命题为 (填“真命题”或“假命题”).?
答案:(1)假 (2)真 (3)若a2≤b2,则a≤b 假命题
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
写出原命题的其他三种命题
例1写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数;
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(4)当1(5)若ab=0,则a=0或b=0.
分析注意分清命题的条件和结论,然后按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
(2)逆命题:若a,b都是偶数,则a+b是偶数.
否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
逆否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1否命题:若x≤1或x≥2,则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
否命题:若ab≠0,则a≠0,且b≠0.
逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
反思感悟写出原命题的其他三种命题的方法及注意点
(1)给出一个命题,写出该命题的其他三种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,则应先改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论.
(2)写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误.
(3)要特别注意一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
变式训练1(1)若命题r的否命题为“若?p,则q”,那么原命题r为 .?
答案:若p,则?q
(2)写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,则集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?”的逆命题、否命题和逆否命题.
解:逆命题:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下.
否命题:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,则集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}=?.
逆否命题:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0)}=?,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
四种命题的真假判断
例2判断下列各个命题的真假:
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
分析可以直接根据要求写出每个命题,然后判断真假,也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价性关系进行判断.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
解:(1)法一:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题.
法二:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
(3)法一:“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
法二:由于命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,所以“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是真命题.
(4)法一:取a=4,b=-6,满足a≥0或b≥0,但这时a+b≥0不成立,故原命题是假命题.
法二:命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
反思感悟判断一个命题的真假的常用方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接对该命题的真假进行判断;
(2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常都是通过判断其逆否命题的真假来判断.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
变式训练2判断下列命题的真假:
(1)“在△ABC中,若AC(2)“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2>0”的逆否命题.
解:(1)“在△ABC中,若AC(2)若a≠0且b≠0,因为a,b∈R,所以a2>0,b2>0,则a2+b2>0;
因此,命题“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2>0”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
等价性命题与“正难则反”思想的应用
典例若实数m,n满足m+n>3,求证:m2+n2≠4.
分析将要证明的问题看作一个命题,只需证明这个命题为真命题即可,而当证明这个命题本身的真假比较困难时,可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题.
解:构造命题:若m+n>3,则m2+n2≠4.
该命题的逆否命题是:若m2+n2=4,则m+n≤3,以下证明该逆否命题为真命题.
故逆否命题是真命题,从而原命题也是真命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
方法点睛
“正难则反”思想的处理原则
在直接证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
变式训练求证:当a2+b2=c2时,a,b,c不可能都是奇数.
证明:构造命题:若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数.
该命题的逆否命题是:若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题.
由于a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,于是a2+b2必为偶数,而c2为奇数,所以a2+b2≠c2,故逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题.
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
1.命题“若x2≤1,则-1≤x≤1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≤-1或x≥1
B.若-1C.若x≤-1或x≥1,则x2≥1
D.若x<-1或x>1,则x2>1
解析:命题“若x2≤1,则-1≤x≤1”的逆否命题是“若x<-1或x>1,则x2>1”.
答案:D
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
2.已知命题s的逆命题是:“若?p,则q”,则命题s的否命题是( )
A.若q,则p
B.若?q,则p
C.若?q,则?p
D.若p,则?q
解析:由已知得原命题s是“若q,则?p”,则s的否命题是“若?q,则p”.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
3.在命题“若a=5,则a2=25”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,是假命题的是( )
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题
D.逆命题、否命题
解析:因为原命题为真命题,逆命题为假命题,所以其逆否命题为真命题,否命题为假命题.
答案:D
4.下列命题中,真命题的个数是( )
①“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的否命题;②“全等三角形是相似三角形”的逆命题;③“圆内接四边形的对角互补”的逆否命题.
A.3
B.2
C.1
D.0
解析:①②是假命题,③是真命题.
答案:C
探究一
探究二
思想方法
当堂检测
5.已知命题p:“若ac≥0,则一元二次不等式ax2+bx+c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假.
解:(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则一元二次不等式ax2+bx+c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下:
因为ac<0,所以-ac>0?Δ=b2-4ac>0?一元二次方程ax2+bx+c=0有实根?ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.(共23张PPT)
1.1.1 命题
课标阐释
思维脉络
1.理解命题的概念,能判断给定的语句是不是命题;
2.掌握判断命题真假的方法,能判断命题的真假;
3.理解命题的结构,会分析命题的条件和结论,能把命题改写成“若p,则q”的形式.
【思考1】在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?
提示:对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
1.命题的概念与分类
名师点拨
1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题需要满足两个条件:一是陈述句,二是能够判断真假.
2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
4.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.
【做一做1】
(1)下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;
④x>2;⑤2021央视牛年春晚真精彩啊!
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.②③⑤
(2)下列命题,是真命题的是( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的解是自然数
解析:(1)①②③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④⑤不是命题.
(2)A中方程在实数范围内无解,故A是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题;x2-5x=0的解为0或5,都是自然数,故D是真命题.所以选D.
答案:(1)A (2)D
【思考2】命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么?
提示:条件是“一个数是实数”,结论是:“它的平方是非负数”.
2.命题的结构形式
命题的一般形式:“若p,则q”,通常,命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
特别提醒
数学上有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但可以将它的表述进行适当改变,写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论.
【做一做2】
(1)命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为 ,结论为 .?
(2)将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为
.?
答案:(1)三角形是等腰三角形 三角形的两个底角相等 (2)若一个四边形的对角线相等,则它是矩形
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
命题概念与分类
例1判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1)
是有理数;
(2)3x≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)x2-2x+7>0;
(5)请勿喧哗!
(6)8≥10.
分析是不是陈述句→能否判定真假→结论
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)“
是有理数”是陈述句,并且能判断它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“
3x≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.
(4)因为“x2-2x+7>0”中Δ=4-28<0,所以“x2-2x+7>0”是真的,所以它是命题.
(5)“请勿喧哗!”是祈使句,所以它不是命题.
(6)“8≥10”是假的,所以它是命题.
反思感悟命题的判断方法
(1)看其是不是陈述句;
(2)看其能否判断真假.
两者同时成立才是命题.
注意不要误认为假命题不是命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1下列语句是命题的有 .(填序号)?
①垂直于同一平面的两个平面相互平行吗?
②作直线a平行于直线b.
③4是集合{1,2,3}中的元素.
④在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=b,则A=B.
⑤这是一棵大树啊!
⑥x-4>1.
⑦
是无理数.
解析:①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③④是命题;⑤是感叹句,不是命题;⑥中x的取值能否使不等式成立无法确定,不是命题;⑦是命题.
答案:③④⑦
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
命题真假的判断
例2给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;
②若a,b是无理数,则a+b是无理数;
其中为真命题的是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:①③④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟命题真假的判断方法
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
命题的结构形式
例3把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)周长相等的两个三角形面积相等;
(2)偶数能被2整除;
(3)奇函数的图象关于原点对称.
分析要分清命题的条件和结论,可将命题改写成“若p,则q”的形式,改写时尽量使句子通顺一些.
解:(1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等,假命题;
(2)若一个数是偶数,则它能被2整除,真命题;
(3)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称,真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2将下列命题改为“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)当a>b时,ac>bc;
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
(3)同弧所对的圆周角不相等.
解:(1)若a>b,则ac>bc.假命题;
(2)若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面互相平行.真命题;
(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
命题真假的应用
典例已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p,q一真一假,求m的取值范围.
解:若p真,则Δ1=m2-4>0,且m>0,即m>2.
若q真,则Δ2=16(m-2)2-16<0,即1若p真q假,则m>2,且m≤1,或m≥3,即m≥3.
若p假q真,则m≤2,且1综上,{m|1方法点睛
分p真q假和p假q真两种情况求并集.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2-5x+6=0.其中是命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①是陈述句,但无法判断真假;②无法判断其真假,所以它不是命题;③是陈述句,可判断真假,是命题;④是陈述句,可判断真假,是命题.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
解析:命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.命题“m>1时,不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的条件是 ,结论是 ? .?
解析:“若p,则q”形式的命题,其中p是条件,q是结论,因此该命题中“m>1”是条件,“不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”是结论.
答案:m>1 不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R
4.已知p(x):x2+2x-m>0,且p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为 .?
解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,
解得m≥3.又因为p(2)是真命题,
所以4+4-m>0,解得m<8.
所以实数m的取值范围是[3,8).
答案:[3,8)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)末位数字是0或5的整数,能被5整除;
(2)方程x2-x+1=0有两个实数根.
解:(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个数能被5整除.真命题.
(2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.假命题.