(共41张PPT)
章末整合
第五章
2021
内容索引
01
02
知识网络
整合构建
专题归纳
思维深化
知识网络
整合构建
一元函数的导数及其应用
一元函数的导数及其应用
专题归纳
思维深化
专题一
导数的几何意义
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线方程.
分析求出函数的导数:(1)可利用切点(2,-6)求出切线斜率,写出切线方程;
(2)设出切点坐标,表示出切线方程,利用切线过原点求解,也可以利用切点与原点连线的斜率等于导函数在切点处函数值列式求解;(3)设出切点坐标,利用两直线互相垂直时,斜率之积为-1,列方程求解.
(方法2)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
规律方法
(1)导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
(2)围绕着切点有三个等量关系:已知切点(x0,y0),则①k=f'(x0);②y0=f(x0);③(x0,y0)满足切线方程.
变式训练
1(1)(2021内蒙古包头高三期末)若直线y=-2x+b为曲线y=x-ex的一条切线,则实数b的值是( )
A.ln
3-3
B.3ln
3+3
C.ln
3+3
D.3ln
3-3
(2)(2021安徽黄山高三一模)已知函数f(x)=x2+2,g(x)=ln
x,若曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线与曲线y=f(x)切于点(x1,y1),则
-ln(2x1)= .?
答案
(1)D (2)3
专题二
利用导数研究函数的单调性问题
②当a>2时,x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法
(1)在解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行.
(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.此外,求得的根要判断是否在定义域中.
(3)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.
变式训练
2函数f(x)=x2-aln
x,讨论函数f(x)的单调性.
专题三
利用导数研究函数的极值、最大(小)值问题
分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论标准后,分类讨论求最小值.
解
(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,
因为a>0,所以x1
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
(2)当0规律方法
(1)求函数y=f(x)的极值点时一般需确定f'(x)=0的根和函数y=f(x)的单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最大(小)值点.
(2)求闭区间上可导函数的最大(小)值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再进行判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得结论.
变式训练
3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](0解
(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.
又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.
所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
(2)由f(x)=x3-3x2+2,
得f'(x)=3x2-6x.
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
①当0②当2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,
所以f(x)max=f(0)=2.
综上,当0x
0
(0,2)
2
(2,t)
t
f'(x)
0
-
0
+
?
f(x)
2
单调递减
-2
单调递增
t3-3t2+2
专题四
生活中的优化问题
例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;
(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.
分析根据题意,求出容器的表面积关于半径r的关系式,结合建筑费用建立y关于r的关系式.
规律方法
解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大(小)值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练
4某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距a
m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x
m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+
)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
专题五
导数的综合应用
角度1 利用导数研究方程的根(函数的零点)
例5已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln
x.若方程f(x)=g(x)在区间[
,e]上有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
分析方程f(x)=g(x)有根即方程ax2=2ln
x有解,因此可以分离参数转化为方程a=
有根,构造函数求解.
规律方法
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最大(小)值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
变式训练
5已知函数f(x)=ex-ax-1,其中a为实数,若方程f(x)=0在(0,2]上有实数根,求a的取值范围.
解
函数的导数f'(x)=ex-a.
①当a≤1时,f'(x)>0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,∴方程f(x)=0在(0,2]上无实数根,不合题意.
②当a≥e2时,f'(x)≤0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上单调递减,∴f(x)③当1a,
∴当x∈(0,ln
a)时,f'(x)<0,当x∈(ln
a,2]时,f'(x)>0.
∴f(x)在(0,ln
a)上单调递减,在(ln
a,2]上单调递增.
∵f(0)=0,∴f(ln
a)<0,
若方程f(x)=0在(0,2]上有实数解,则只需f(2)≥0,
角度2 利用导数研究不等式问题
例6已知f(x)=xln
x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
分析(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;(2)先将不等式进行参数分离,把待求范围的参数a移至不等式的一边,再利用导数求另一边函数的最大值,从而求得参数的取值范围.
x
(0,1)
1
(1,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
∴当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,
∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,故a的取值范围是[-2,+∞).(共57张PPT)
高中同步学案优化设计
GAO
ZHONG
TONG
BU
XUE
AN
YOU
HAU
SHE
JI
第2课时 函数的最大(小)值
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.了解函数的最大值、最小值的含义.(数学抽象)
2.理解导数与函数最大(小)值的关系.(逻辑推理)
3.会利用导数求函数的最大(小)值.(数学运算)
4.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的应用.(数学抽象)
5.掌握利用导数解决最优化问题的方法.(数学建模)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
费马(1601—1665)是17世纪的法国业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪最多产的数学家之一.他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前就提出了有关微积分的主体概念.大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧!
【知识梳理】
一、函数在闭区间上的最大(小)值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
不一定在区间端点处取得
名师点析
(1)给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.
(2)所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最大值和最小值,例如函数
在[-1,1]上只有最大值,没有最小值.
(3)函数的最大(小)值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).
(4)极值只能在函数区间的内部取得,而最大(小)值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最大(小)值,有最大(小)值的不一定有极值,极值有可能是最大(小)值,最大(小)值只要不在端点处则一定是极值.
微思考
在开区间或无穷区间上,最大(小)值与极值的联系有哪些?
提示
当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
微练习
设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:
①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;
②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;
③若f(x)在[a,b]上有最大(小)值,则最大(小)值必在x=a或
x=b处取得.
其中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案
A
解析
由于函数的最大(小)值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最大(小)值在区间端点处取得时,其最大(小)值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.
二、函数在闭区间[a,b]上最大(小)值的求法
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;
2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
名师点析
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最大(小)值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
微练习
函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A.5,15
B.5,-4
C.5,-15
D.5,-16
答案
C
解析
由已知可得函数f(x)的导数为f'(x)=6x2-6x-12,由f'(x)=6(x-2)(x+1)=0得x=2或x=-1(舍去).
当00,f(x)单调递增,所以f(x)最小值=f(x)极小值=f(2)=-15,又f(0)=5,f(3)=-4,所以f(x)最大值=5.故选C.
三、生活中的优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.
名师点析
解决优化问题的一般步骤
(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.
(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.
(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中自变量的取值范围,即函数的定义域.
(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
微思考
在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最大(小)值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示
根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最大(小)值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
微练习
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-
x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件
D.7万件
答案
C
解析
∵y=-
x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得0∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,
∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
课堂篇
探究学习
探究一
求函数的最大(小)值
角度1 求函数在闭区间上的最大(小)值
例1求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值.
解
(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f'(x)
?
+
0
-
?
f(x)
-14
单调递增
极大值-10
单调递减
-12
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
方法技巧求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法
求函数在闭区间上的最大(小)值时,需要对各个极值与端点的函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.
变式训练
1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:
x
-6
(-6,-3)
-3
(-3,-1)
-1
f'(x)
?
-
0
+
?
f(x)
45
单调递减
极小值
单调递增
55
所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,故f(x)的最小值为f(-3)=27,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=55.
角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最大(小)值
例2求下列函数的最大值与最小值:
分析没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最大值与最小值.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值f(-3)=6e-3;
在x=1处取得极小值,极小值f(1)=-2e.
又由f(x)>0,得x>
或x<-
;由f(x)<0得,-
.所以函数的大致图象如图所示.从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数无最大值.
方法技巧求函数在开区间或无穷区间上最大(小)值的方法
求函数在无穷区间或开区间上的最大(小)值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最大(小)值.
答案
A
探究二
含参数的最大(小)值问题
角度1 求含参数函数的最大(小)值
例3若a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解
f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
若a>0,则令f'(x)=0,解得x=±
.
∵x∈[0,1],则只考虑x=
的情况.
方法点拨求解函数在区间上的最大(小)值,需注意以下几点:
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)根据极值点与所给区间的相对位置关系(即极值点是否在区间内)确定分类讨论的标准后确定函数的极值.
(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.
变式训练
3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
角度2 与函数最大(小)值和参数有关的综合问题
例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解
(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,
即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值也是最大值g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于
1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
t
(0,1)
1
(1,2)
g'(t)
+
0
-
g(t)
单调递增
极大值1-m
单调递减
反思感悟
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
延伸探究
1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解
令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,
存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴-3-m<0,∴m>-3,故实数m的取值范围为(-3,+∞).
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g'(t)
?
+
0
-
?
g(t)
-1-m
单调递增
极大值1-m
单调递减
-3-m
延伸探究
2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
探究三
生活中的优化问题
例5某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=
+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
分析(1)根据x=5时,y=11求a的值;(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.
x
(3,4)
4
(4,6)
f'(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
反思感悟
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);
(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
求解时应注意:(1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域;(2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
变式训练
4请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x
cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
素养形成
构造函数证明函数不等式
当-10,即f(x)在(-1,0)上单调递增;
当x>0时,f'(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减.
于是函数f(x)在(-1,+∞)上的最大值为f(x)max=f(0)=0,
因此,当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x(右边不等式得证).
当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.
即g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数g(x)在(-1,+∞)上的最小值为g(x)min=g(0)=0,
∴当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,
方法点睛在函数不等式的证明中,若不等式的两边含有自变量时,可移项后构造函数,证明所构造的函数的最大(小)值与0的大小关系,常见的方法是:欲证明f(x)>g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),只需要证明函数F(x)的最小值大于0.形如g(x)当堂检测
答案
B
答案
B
3.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为 .?
答案
0
解析
因为a,b为正实数,所以f(x)=ax3+bx+2是增函数,
函数f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值f(1)=a+b+2=4,a+b=2.
在[-1,0]上的最小值为f(-1)=-(a+b)+2=0.
5.(2020广东广州高二期末)已知函数f(x)=
x3-4x+3.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-3,5]上的最大值与最小值.
解
(1)∵f(x)=
x3-4x+3,∴f'(x)=x2-4.
令f'(x)=0,则x=2或-2.
f'(x)和f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),单调递减区间为(-2,2).(共50张PPT)
高中同步学案优化设计
GAO
ZHONG
TONG
BU
XUE
AN
YOU
HAU
SHE
JI
第1课时 函数的极值
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.了解函数的极值、极值点的概念.(数学抽象)
2.理解函数在某点取得极值的条件.(逻辑推理)
3.会利用导数求函数的极值.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?
【知识梳理】
一、函数极值的概念 只与附近值比较
1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧
f'(x)<0
,右侧
f'(x)>0
,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
不是点的坐标
2.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧
f'(x)>0
,右侧
f'(x)<0
,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
3.极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
名师点析
(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.
(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.
微练习
如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列说法错误的是( )
A.-2是函数y=f(x)的极小值点
B.1是函数y=f(x)的极值点
C.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零
D.y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
答案
B
解析
f'(1)=0,但在x=1附近的左、右两侧的导函数值同号,则1不是f(x)的极值点,故选B.
二、函数极值的求法
一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:
解方程
f'(x)=0
,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
名师点析
导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故需对f'(x)=0的解进行检验.
微练习
函数f(x)=x3-3x的极大值等于 ,极小值等于 .?
答案
2 -2
解析
由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0,当x∈(-1,1)时f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,所以当x=-1时,函数取极大值
f(-1)=2;当x=1时,函数取极小值f(1)=-2.
课堂篇
探究学习
探究一
利用导数求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
例1求下列函数的极值:
分析求出函数的导数,在函数定义域限制之下研究函数的单调性后,确定极值.
解
(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值-6
单调递增
∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.
∴f(x)极大值=
,f(x)极小值=-6.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
(1,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
+
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
单调递增
非极值
单调递增
故x=-1是函数的极大值点,且极大值f(-1)=-
,没有极小值.
方法技巧利用导数求函数极值的方法
利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
解
(1)函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=
=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,
解得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)=
.
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减
极小值0
单调递增
极大值4e-2
单调递减
x
(0,
)
(
,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
角度2 含参数的函数求极值
例2已知函数f(x)=
x3-(a+1)x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值.
分析对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值.
解
∵f(x)=x3-(a+1)x2+4ax+2,
∴f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a).
令f'(x)=0,解得x=2或x=2a.
(1)当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值;
(2)当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,2a)
2a
(2a,2)
2
(2,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
方法技巧解析式中含参数的函数极值的求法
由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间,因此解析式中含参数的函数极值的求法类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法,求解的方法是:先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小),然后根据函数的单调区间确定函数的极值.
变式训练
2若函数f(x)=x-aln
x(a∈R),求函数f(x)的极值.
解
函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.
(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
当0当x>a时,f'(x)>0.
则f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln
a,无极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln
a,无极大值.
探究二
由极值求参数的值或取值范围
角度1 根据极值求参数值
例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值
.
(1)求a,b的值;
(2)求函数的另一个极值.
分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=
建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.
方法技巧根据函数的极值及极值点求解析式中的参数问题,主要是利用函数在极值点处的导数值为0,建立方程求参数,此类问题应注意,由于“若x=x0是函数的极值点”与“f(x0)=0”不是充要关系,因此求出参数后需要检验所求参数是否满足函数的极值点的条件.
变式训练
3(1)函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( )
A.1,-3 B.1,3
C.-1,3
D.-1,-3
(2)(2021湖南长沙湖南师大附中高二月考)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=( )
A.4
B.11
C.4或11
D.3或9
答案
(1)A (2)B
角度2 根据极值点个数求参数取值范围
例4已知函数f(x)=
x3-
(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
分析f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
解
f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
方法技巧已知函数极值点的个数求参数取值范围的方法
已知函数极值点的个数求参数取值范围,其本质是函数存在变号零点问题,解决此类问题可转化为函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.
变式训练
4(1)(2021宁夏固原隆德高二期末)函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
解析
(1)∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],
∴f'(x)=3x2+6ax+3(a+2).
∵函数f(x)有极大值又有极小值,
∴f'(x)=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=36a2-36(a+2)>0,
整理可得a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.
故a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D.
当00,当x>1时,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴函数f(x)在x=1处取得极大值.
探究三
由函数图象分析函数的极值
例5已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)
是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-
处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有 .(填序号)?
分析通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.
答案
①②④
解析
从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,③错误.
方法技巧根据导函数的图象确定函数的极值的方法
根据导函数的图象确定函数的极值的方法主要是根据导函数的符号确定函数的单调性及单调区间,然后结合函数单调性确定函数的极值.
变式训练
5已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:
①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内单调递增;
②函数f(x)在(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;
③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;
④函数f(x)在x=0处取得极大值.
其中正确结论的序号是 .?
答案
②④
解析
因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内单调递增,同理f(x)在(0,2)内单调递减,故函数f(x)在x=0处取得极大值,故②④正确.
素养形成
利用函数极值研究函数零点
典例
已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
分析求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
解
令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
解得-2方法点睛利用函数的极值研究函数的零点的方法
(1)函数极值的一个重要应用就是研究函数的零点(或函数对应方程的根),方法主要是利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出函数图象的草图,数形结合求解函数零点的个数.
(2)根据函数的导数研究含参数的函数零点个数问题,若能够分离参数,则也可以分离参数后利用数形结合思想求解,如本题就可以分离参数,将问题转化为方程-a=x3-3x有三个不同实根,构造函数y=x3-3x后作出函数的图象,利用该函数的图象与直线y=-a有三个交点确定参数的取值范围.
延伸探究
1(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解?
解
由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,
若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
延伸探究
2(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解
由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.
故实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
当堂检测
1.(2021江苏苏州吴县中学高二月考)函数y=x3-12x+12的极大值为( )
A.18
B.21
C.26
D.28
答案
D
解析
函数的定义域为R,其导数为y'=3x2-12,令y'=0,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时,y',y的变化情况如下表所示:
所以当x=-2时,函数有极大值f(-2)=(-2)3-12×(-2)+12=28.故选D.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
y'
+
0
-
0
+
y
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
2.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是( )
A.在区间(-2,2)上单调递减
B.在x=-2处取得极小值
C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增
D.在x=0处取得极大值
答案
B
解析
由图象知f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
故f(x)在x=-2取极小值,在x=2取极大值,故选B.
3.函数
的极值点为( )
A.0
B.-1
C.0或1
D.1
答案
D
解析
∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),
由f'(x)=0,得x=0或x=1.
又当x>1时,f'(x)>0,
当0∴1是f(x)的极小值点.
又当x<0时,f'(x)<0,故0不是函数的极值点.
4.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数在下列区间上单调递增的是( )
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
答案
B
解析
∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,
∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,a=-15,
∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),
由f'(x)>0得x<2或x>3.
5.(2020北京大兴高二期末)已知函数f(x)=x-ln
x.
(1)求f(x)的定义域及单调区间;
(2)求f(x)的极值.
解
(1)f(x)的定义域是(0,+∞),函数f(x)=x-ln
x的导数f'(x)=
,
x∈(0,+∞),
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0故f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
(2)由(1)f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值.(共53张PPT)
5.3.1 函数的单调性
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
1.理解导数与函数单调性的关系.(逻辑推理)
2.会利用导数判断或证明函数单调性.(数学抽象)
3.会利用导数求函数单调区间.(数学运算)
4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.(直观想象)
5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.(数学运算、逻辑推理)
思维脉络
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
竖直上抛的一个小物体,其高度h与时间t之间的关系是h=10t-5t2(0求出这个函数的导函数h',作出这个函数的图象与导函数的图象,观察函数h=10t-5t2的单调性与导函数之间的关系,并总结出一般结论.
由此探究函数的导数的符号与函数的单调性的关系,引出课题.
【知识梳理】
一、函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)上,如果
f'(x)>0
,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果
f'(x)<0
,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
名师点析
“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域
(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
定义域的非空子集
微思考
(1)如果函数f(x)在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?
提示
f(x)是常数函数.
(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上单调递增(或递减),则f'(x)满足什么条件?
提示
f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
较大
较快
比较“陡峭”(向上或向下)
较小
较慢
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析
(1)原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化.
(2)导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.
微点拨
明确导数值与函数图象变化趋势的关系
1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.
2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.
课堂篇
探究学习
探究一
函数与导函数图象间的关系
例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
(2)(2020甘肃天水第一中学高二期末)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案
(1)D (2)D
解析
(1)由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.
(2)原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.
方法技巧研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).
变式训练
1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
答案
C
解析
当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1)上单调递增;当-10,
∴f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减;
当0∴f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;
当x>1时,xf'(x)>0,
∴f'(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上单调递增.故选C.
探究二
利用导数判断或证明函数的单调性
例2在下列函数中,在(0,+∞)内单调递增的是( )
A.y=cos
x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=ln
x-x
答案
B
解析
A中,y'=-sin
x,当x>0时,y'的符号不确定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,故在(0,+∞)内单调递增;C中,y'=3x2-1,当x>0时,y'>-1;D中,y'=
-1,当x>0时,y'>-1.故选B.
方法技巧运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.
变式训练
2(2021江西南昌二中高二期末)若函数y=xcos
x-sin
x在某区间内单调递增,则该区间可能为( )
答案
C
解析
∵y=xcos
x-sin
x,
∴y'=cos
x-xsin
x-cos
x=-xsin
x.
sin
x<0,y'<0,函数单调递减,故B错误;当x∈(π,2π)时,sin
x<0,y'>0,函数单调递增,故C正确;当x∈(0,π)时,sin
x>0,y'<0,函数单调递减,故D错误.故选C.
探究三
利用导数求函数的单调区间
角度1 求不含参数的函数的单调区间
例3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln
x;(2)f(x)=cos
x+
x,x∈(0,π).
分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调区间.
反思感悟
导数法求单调区间及注意事项
(1)利用导数求函数单调区间的步骤
①确定函数的定义域.
②求导数f'(x).
③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.
(2)在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的非空子集.
(3)当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.
变式训练
3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=4x-
x3;
(2)f(x)=ex-x.
解
(1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2.
令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.
故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;
令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
角度2 求含参数的函数的单调区间
例4讨论函数f(x)=
ax2+x-(a+1)ln
x(a≥0)的单调性.
分析根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调性及单调区间.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.
(2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制.
延伸探究
本例条件不变,将a≥0改为a<0,讨论函数的单调区间.
探究四
已知函数的单调性求参数的值或取值范围
例5已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
分析f(x)为增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的取值范围
解
由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a的取值范围为(-∞,0].
方法技巧利用函数的单调性求参数,常用方法如下:
(1)函数f(x)在区间D上单调递增?f'(x)≥0在区间D上恒成立;
(2)函数f(x)在区间D上单调递减?f'(x)≤0在区间D上恒成立;
(3)函数f(x)在区间D上不单调?f'(x)在区间D上存在异号零点;
(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增区间??x0∈D,使得f'(x0)>0成立;
(5)函数f(x)在区间D上存在单调递减区间??x0∈D,使得f'(x0)<0成立;
(6)若已知f(x)在区间D上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的非空子集,从而求出参数的取值范围.
延伸探究
1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
延伸探究
2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
延伸探究
3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围.
延伸探究
4若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
解
∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.
由题意可知f'(x)=3x2-a<0在区间(-1,1)上有解,即a>3x2在区间(-1,1)上有解,因此a>(3x2)min.
由于y=3x2在区间(-1,1)上的最小值为0,因此a>0.故实数a的取值范围是(0,+∞).
素养形成
构造函数研究函数的单调性
典例
(1)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m-2
020)>(m-2
020)f(2),则实数m的取值范围为( )
A.(0,2
020)
B.(2
020,+∞)
C.(2
022,+∞)
D.(2
020,2
022)
(2)设函数f'(x)是函数f(x)的导函数,?x∈R,f(x)+f'(x)>0,且f(1)=2,则不等式f(x)>
的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,2)
∵xf'(x)-f(x)<0,∴h'(x)<0,
∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵2f(m-2
020)>(m-2
020)f(2),
∴m-2
020>0,m>2
020,
即h(m-2
020)>h(2),故m-2
020<2,
解得m<2
022,故2
020022.
(2)依题意,令函数g(x)=exf(x),
则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,且g(1)=2e,
所以g(x)是R上的增函数,f(x)>
?exf(x)>2e?g(x)>g(1),解得x>1.故选A.
答案
(1)D (2)A
方法点睛当已知条件中涉及函数f(x)与f'(x)的不等关系式时,常需要构造与已知条件有关的函数,并判断出其单调性,结合单调性求解问题.常见的构造方法如下:
(1)已知条件中涉及加乘型的构造方法:
题目常见形式?原函数?原函数的导函数
f(x)+f'(x)?exf(x)?[exf(x)]'=ex[f(x)+f'(x)]
f(x)+xf'(x)?xf(x)?[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
nf(x)+xf'(x)?xnf(x)?[xnf(x)]'=xn-1[nf(x)+xf'(x)]
(2)已知条件中涉及减除型的构造方法:
题目常见形式?原函数?原函数的导函数
变式训练
(1)已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+
>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当a>b时,有( )
A.af(a)B.af(a)>bf(b)
C.af(b)>bf(a)
D.af(b)(2)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(1)=1,导函数f'(x)满足f'(x)的解集为( )
答案
(1)B (2)A
解析
(1)不妨设h(x)=xf(x),
则h'(x)=f(x)+xf'(x).
∵当x>0时,有f'(x)+
>0,
∴当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即h'(x)>0,此时函数h(x)单调递增,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当a>b时,则g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故选B.
当堂检测
1.函数f(x)=-x3+4x2-4x的单调递增区间是( )
答案
C
2.(2021安徽滁州高二期末)若函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是( )
答案
A
3.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )
答案
C
解析
∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)上单调递增,
∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;
当10.故选C.
4.若函数f(x)=-
x2+aln
x在区间(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
答案
D
解析
f'(x)=-x+
,∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,∴f'(x)=-x+
≤0在区间(1,+∞)上恒成立.
∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立.
∵x2>1,∴a≤1.经检验,等号可取.
故选D.
5.(2020山西朔州怀仁一中高二月考)已知函数f(x)=
.
(1)求函数f(x)的导数;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解
(1)函数f(x)=
的定义域为(0,+∞),f'(x)=
.
(2)当f'(x)>0,即0当f'(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).(共30张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象)
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,是把两个或几个函数“复合”起来.怎样“复合”呢?复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.
【知识梳理】
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成
x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x))
.
2.复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=
yu'·ux'
,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
名师点析
求复合函数的导数需注意以下几点:
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量
微思考
函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?
提示
是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
微练习
(1)函数y=sin
4x的导数为 .?
(2)函数
的导数为 .?
课堂篇
探究学习
探究一
求复合函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-
);
(3)y=ln(4x-1);(4)y=.
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
反思感悟
复合函数求导的步骤
解
(1)令u=3x-2,则y=10u,
所以yx'=yu'·ux'=10uln
10·(3x-2)'
=3×103x-2ln
10.
探究二
复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
易错警示
此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
变式训练
2求下列函数的导数:
(1)y=sin
2x+cos
2x;
素养形成
等价转化思想在导数几何意义中的应用
典例
已知P是曲线y=f(x)=x2-ln
x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.
审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln
x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln
x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.
方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
变式训练
曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
答案
A
解析
由题意,曲线y=ln(2x-1)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.设切点坐标为(x0,y0).
当堂检测
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
答案
A
2.(2020黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin
2x+e2x,则f'(x)=( )
A.2cos
2x+2e2x
B.cos
2x+e2x
C.2sin
2x+2e2x
D.sin
2x+e2x
答案
A
解析
因为f(x)=sin
2x+e2x,所以f'(x)=2cos
2x+2e2x.故选A.
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=( )
答案
A
答案
A
5.(2020江苏宿迁高二期中)函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为( )
A.0
B.1
C.3
D.4
答案
D
解析
因为y'=4(2x+1),所以函数y=(2x+1)2在x=0处的导数为4×1=4.故选D.(共49张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.能应用导数的定义求几个常见函数的导数.(逻辑推理)
2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.(数学运算)
3.掌握导数的四则运算法则,能进行导数的运算.(数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,
所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且,有的函数如y=sin
x,y=ln
x等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?
【知识梳理】
一、几个常用
函数的导数
微练习
已知f(x)=x2,则f[f'(-2)]的值等于 ;若f'(x0)=8,则x0= .?
答案
16 4
解析
因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,
于是f'(-2)=-4,故f[f'(-2)]=f(-4)=(-4)2=16.
由f'(x0)=8知2x0=8,故x0=4.
二、基本初等函数的导数公式
微练习
求下列函数的导数:
(1)f(x)=x-4;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=2-x;
(4)f(x)=sin
π.
解
(1)因为f(x)=x-4,
所以f'(x)=-4·x-4-1=-4x-5.
(4)因为sin
π=0,故f'(x)=0.
三、导数的四则运算法则
1.[f(x)±g(x)]'=
f'(x)±g'(x)
.
2.[f(x)·g(x)]'=
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
,特别地,[cf(x)]'=
cf'(x)
.
名师点析
两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
微思考
课堂篇
探究学习
探究一
导数公式与运算法则的简单应用
例1求下列函数的导数:
(4)y=(x+1)(x-1)(x2+1).
分析根据每个函数的解析式的构成特点,利用求导公式和运算法则进行求解.
方法技巧利用公式求函数导数的方法
(1)理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提.
(2)进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导.
(3)要特别注意“与ln
x”“ax与logax”“sin
x与cos
x”的导数区别.
探究二
利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
例2求下列函数的导数:
方法技巧求复杂函数的导数的方法
求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再套用公式求导.
延伸探究
1(变条件)把例2(4)的函数换成“y=xtan
x”,求其导数.
探究三
导数公式与运算法则的综合应用
角度1 解析式中含f'(a)的导数问题
例3(2021陕西延安黄陵中学高三期中)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln
,则f(1)=( )
A.-e
B.2
C.-2
D.e
答案
B
解析
因为f(x)=2xf'(1)+ln
=2xf'(1)-ln
x,所以f'(x)=2f'(1)-
.
所以f'(1)=2f'(1)-1,解得f'(1)=1.
所以f(x)=2x+ln
,f(1)=2+ln
1=2.故选B.
方法点拨(1)函数解析式中含f'(a)的导数问题,求解时应先将f'(a)看作是一个常数,求出f'(x)后,再令x=a,求f'(a);(2)本题中求f(x)=2xf'(1)+ln
的导数可利用对数的运算性质,将函数变形为f(x)=2xf'(1)-ln
x,这样可以方便求函数的导数.
变式训练
2(2021武汉外国语学校高二期末)已知f(x)=x2-xf'(0)-1,则f(2)的值为( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
答案
C
解析
∵f(x)=x2-xf'(0)-1,∴f'(x)=2x-f'(0),∴f'(0)=-f'(0),∴f'(0)=0.∴f(x)=x2-1,
因此f(2)=22-1=3.
角度2 利用导数公式及函数性质解题
例4已知f1(x)=sin
x+cos
x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N
,则f2
021(x)=( )
A.sin
x+cos
x
B.sin
x-cos
x
C.-sin
x+cos
x
D.-sin
x-cos
x
答案
A
解析
因为f1(x)=sin
x+cos
x,
所以f2(x)=f'1(x)=cos
x-sin
x,
f3(x)=f'2(x)=-sin
x-cos
x,f4(x)=f'3(x)=-cos
x+sin
x,f5(x)=f'4(x)=sin
x+cos
x,……,可知fn(x)的解析式周期为4.因为2
021=505×4+1,
所以f2
021(x)=f1(x)=sin
x+cos
x,故选A.
方法点拨涉及与三角函数有关的导数问题,应明确三角函数的导数仍然是周期函数.
角度3 逆用导数公式及运算法则求函数解析式
答案
f(x)=-2x-1(答案不唯一)
方法点拨根据函数的导数的解析式求解原函数问题,应从导函数的解析式入手逆用导数运算法则,求解时要注意此类问题的答案是不唯一的.
变式训练
3已知函数y=f(x)的导函数f'(x)=
,写出f(x)的一个解析式:
.?
答案
f(x)=2ln
x(答案不唯一)
探究四
导数几何意义的综合问题
例6已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.
分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.
解
(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,
故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.
解得x0=-2.因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
故直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
方法技巧曲线切线方程的求解方法
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.遇到类似问题时,必须分清所给的点是不是在曲线上,即是不是切点.如果是切点,那么该点处的导数即切线的斜率;如果不是切点,那么应先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.
答案
(1)-2 (2)D
素养形成
函数解析式中含多个因式的积的导数的求法
典例
(多选)(2021江苏宿迁高二期中)若定义n!=1×2×3×…×n(n∈N
),已知f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20),下列结论正确的是( )
A.f'(0)=20!
B.f'(1)=19!
C.f'(19)=-19!
D.f'(20)=-20!
解析
∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=x[(x-1)(x-2)…(x-20)],
∴f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)+x[(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)]',
∴f'(0)=(-1)×(-2)×…×(-20)=20!,故A正确;
f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-1)[x(x-2)(x-3)…(x-20)],
∴f'(x)=x(x-2)(x-3)…(x-20)+(x-1)[x(x-2)(x-3)…(x-20)]',
f'(1)=1×(-1)×(-2)×…×(-19)=-19!,故B错误;
同理,由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-19)[x(x-1)(x-2)…(x-18)(x-20)]
=(x-20)[x(x-1)(x-2)…(x-19)]可知f'(19)=-19!,f(20)=20!,故C正确,D错误.故选AC.
答案
AC
方法点睛函数解析式中含多个因式的积的导数的求解应将多项式的乘法看作是二项式乘法,结合积的导数法则求解;另外对于虽是多项,但是项数较少的也可以将多项式展开后求导.
变式训练
设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f'(0)=6,则k=( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
答案
B
解析
f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)=x[(x+k)(x+2k)(x-3k)],
即f'(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x[(x+k)(x+2k)(x-3k)]',则f'(0)=-6k3=6,
所以k=-1.故选B.
当堂检测
答案
B
2.(2020四川双流中学高二月考)下列结论不正确的是( )
A.若f(x)=0,则f'(x)=0
B.若f(x)=cos
x,则f'(x)=sin
x
答案
B
解析
对A,f(x)为常数函数,显然成立;对B,f'(x)=-sin
x,故B错误;对C,D,显然都成立.故选B.
答案
B
4.已知函数y=xln
x,则这个函数的导数y'= ;这个函数的图象在点x=e处的切线方程的一般式为 .?
答案
1+ln
x 2x-y-e=0
解析
因为y=xln
x,
所以y'=x·
+1·ln
x=1+ln
x.
f'(e)=1+ln
e=2,当x=e时,y=e,故切点坐标为(e,e).
所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.(共46张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.会求函数在某一点附近的平均变化率,会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(数学抽象、数学运算)
2.理解导数的几何意义,会求导函数,并根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8
848.86米,是世界第一高峰,登上珠峰是很多登山爱好者的终极梦想.每年都会有很多人向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?
【知识梳理】
一、函数的平均变化率
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=
f(x0+Δx)-f(x0)
.我们把比值
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析
(1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,即
(3)
的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比.
微思考
(1)函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率中对x0,x0+Δx有什么要求?
提示
函数f(x)应在x0,x0+Δx处有定义且Δx≠0.
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示
不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
提示
已知P1(x1,f(x1)),P2(x1+Δx,f(x1+Δx))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率
表示割线P1P2的斜率.
二、导数的概念
如果当Δx→0时,平均变化率
无限趋近于一个确定的值,即
有极限,则
导数的本质是一个极限值
称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率),记作f'(x0)或y'|,即
名师点析
对于导数的概念,注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
微思考
提示
函数y=f(x)在x=x0处不可导或无导数.
(2)函数y=f(x)在点x=x0处的导数的定义形式唯一吗?
微练习
函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值为 .?
答案
3
三、导数的几何意义
如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率
记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即
=f'(x0).这就是导数的几何意义.
函数在点(x0,f(x0))处的切线斜率
微思考
(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?
提示
根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.
(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?
提示
曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
提示
不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点不一定只有一个,如图所示.
四、导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',
易错警示
导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无关.
微练习
课堂篇
探究学习
探究一
求函数的平均变化率
例1已知函数y=f(x)=
-x2,求它在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].
分析根据平均变化率的定义求解.
反思感悟
求函数平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的变化量Δy=f(x1)-f(x0);
(2)再计算自变量的变化量Δx=x1-x0;
变式训练
1函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为( )
A.2x0-1
B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2
D.(Δx)2-Δx+1
答案
B
解析
根据定义,平均变化率为
探究二
利用导数的定义求函数的导数
例2(1)求函数y=x-
在x=-1处的导数.
(2)求函数y=f(x)=-x2+3x的导数.
分析(1)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值;(2)可按照函数导数的定义分步求解.
(2)求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.
变式训练
2(1)已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=( )
A.Δx-3
B.(Δx)2-3Δx
C.-3
D.0
A.-4
B.2
C.-2
D.±2
答案
(1)C (2)D
探究三
导数定义式的理解与应用
A.f'(x0)
B.f'(-x0)
C.-f'(x0)
D.-f'(-x0)
分析将所给极限式进行变形,构造出导数定义中的极限式进行求解.
答案
C
答案
C
探究四
导数几何意义的应用
例4已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程.
方法技巧利用导数几何意义研究切线方程的方法
(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤
①求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;
②根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
(2)运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
延伸探究
本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).
素养形成
根据切线斜率求切点坐标
典例
在曲线y=x2上某点P处的切线满足下列条件,分别求出点P.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
方法点睛根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f'(x);
(3)求切线的斜率f'(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
变式训练
已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的
坐标.
当堂检测
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m](m>1)上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
答案
B
答案
C
3.函数y=f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 .?
答案
2
解析
∵y=f(x)=x2,∴在x=1处的瞬时变化率是(共33张PPT)
5.1.1 变化率问题
第五章
2021
内容索引
01
02
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
课标阐释
思维脉络
1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并能求解平均速度和瞬时速度.(数学抽象、数学运算)
2.体会抛物线上割线与切线的关系,能求解抛物线上某点处的切线斜率.(数学抽象、数学运算)
课前篇
自主预习
【激趣诱思】
数学源于生活,用于生活.高速公路上的测速仪是如何在汽车通过的瞬间测出其瞬时速度的呢?
其主要原理是利用激光反射,测出汽车在给定时间内的移动距离,从而得出这段时间的平均速度.设汽车在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是
,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么将越来越趋近于汽车在t0时刻的瞬时速度.
【知识梳理】
一、平均速度与瞬时速度
1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是
2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同
名师点析
从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
微练习
一物体按规律s(t)=2t2运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为 ,在t=3时的瞬时速度是 .?
答案
6 12
微思考
平均速度与瞬时速度有什么不同?
提示
平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.
二、割线斜率与切线斜率
1.割线与切线的关系
如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.割线斜率与切线斜率的关系
微练习
微点拨
(1)当Δx→0时,割线P0Pn的斜率称为曲线在点P0处的切线的斜率.这样就提供了求曲线上在某点处的切线斜率的一种方法.
(2)曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线.③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点.
课堂篇
探究学习
探究一
求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1 平均速度
例1某质点运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为( )
A.-4
B.-8
C.6
D.-6
答案
D
解析
由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
故选D.
反思感悟
求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步:求时间的改变量x2-x1;
第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1);
变式训练
1质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于( )
A.6+Δt
B.6+Δt+
C.3+Δt
D.9+Δt
答案
A
解析
平均速度为
角度2 瞬时速度
例2某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1
s时的瞬时速度.
延伸探究
1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
延伸探究
2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s.
反思感悟
求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
答案
D
反思感悟
求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
答案
A
素养形成
求解函数解析式中含x2或x3的函数图象在某点处的切线斜率问题
分析利用定义及立方和公式化简求解.
答案
B
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜率问题的常见的公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)完全平方和与完全平方差公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;
(3)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
(4)完全立方差公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
完全立方和公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
变式训练
已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a的值是( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
答案
D
当堂检测
1.(2020河北石家庄二中高二月考)函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为
2.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么
A.时间从t变到t+Δt时物体的速度
B.在t时刻该物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时物体的速度
D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度
答案
B
3.(2020陕西高二期末)某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1,则该物体在t=1秒时的瞬时速度为( )
A.1米/秒
B.2米/秒
C.3米/秒
D.4米/秒
答案
B
4.过曲线f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k= ;当Δx=0.001时,割线的斜率k= .?
答案
2.1 2.001
解析
若Δx=0.1,则1+Δx=1.1,
则f(1.1)=1.12+1=1.21+1=2.21,
若Δx=0.001,则1+Δx=1.001,
则f(1.001)=1.0012+1=2.002
001,
5.曲线f(x)=x2-2x+1在x=4处切线的斜率为 .?
答案
6