(共33张PPT)
习题课——数学归纳法的应用
课标阐释
思维脉络
1.在掌握数学归纳法的步骤的基础上,进一步理解数学归纳法的科学性.
2.会用数学归纳法证明与自然数有关的问题,如整除问题、几何问题等.
知识梳理
1.经验归纳法与数学归纳法结合
数学归纳法实质上是演绎法的一种,它是一种必然推理,它只能证明与正整数有关的命题,却不能发现结论.我们常把经验归纳法与数学归纳法结合起来,形成归纳,猜想,证明的思想方法,既可以发现新命题,又能证明其正确性,组成一套完整的数学思想方法.
知识梳理
2.数学归纳法的特征
数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题.实际上就是正整数的无穷性命题,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,而且这两个步骤缺一不可.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.
知识梳理
【做一做1】
用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )
A.假设n=2k+1时命题成立,再推n=2k+3时命题成立(k∈N+)
B.假设n=2k-1时命题成立,再推n=2k+1时命题成立(k∈N+)
C.假设n=k时命题成立,再推n=k+1时命题成立(k∈N+)
D.假设n≤k(k≥1)时命题成立,再推n=k+2时命题成立(k∈N+)
解析:因为n为正奇数,所以第二步应先假设第k个正奇数时命题成立.本题即假设n=2k-1时命题成立,再推第(k+1)个正奇数即n=2(k+1)时命题成立.
答案:B
知识梳理
【做一做2】
在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过求S2,S3,S4,猜想Sn= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
用数学归纳法证明整除问题
【例1】
已知f(n)=(2n+7)·3n+9.
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)是否存在不小于2的正整数m,使得对于任意的正整数n,f(n)都能被m整除?如果存在,求出最大的m值;如果不存在,请说明理由.
分析本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法,求解时可先由f(1),f(2),f(3)的特征,探究出正整数m的值后,再用数学归纳法证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)∵f(n)=(2n+7)·3n+9,
∴f(1)=(2×1+7)×31+9=36,
f(2)=(2×2+7)×32+9=3×36=108,
f(3)=(2×3+7)×33+9=10×36=360.
(2)由(1)可以猜想最大的m=36,
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,f(1)=36,显然能被36整除;
②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)能被36整除,
即(2k+7)·3k+9能被36整除,
则当n=k+1时,
f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=[(2k+7)+2]·3k·3+9
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由假设可知(2k+7)·3k+9能被36整除,3k-1-1是偶数,∴18(3k-1-1)也能被36整除.
∴f(k+1)能被36整除.
由①和②,可知对任意n∈N+,f(n)都能被36整除.
∴最大的m值为36.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟证明数或式的整除问题的方法
应用数学归纳法证明有关整除问题时,为了利用归纳假设,常常用对通项进行拆项、添项、分解、组合的方法在要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1若n∈N+,求证:xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除.
证明:(1)当n=1时,x1+1+(x+1)2×1-1=x2+x+1,显然x2+x+1能被x2+x+1整除.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时结论成立,即xk+1+(x+1)2k-1能被x2+x+1整除.
当n=k+1时,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+2+(x+1)2xk+1-(x+1)2xk+1=(x+1)2[(x+1)2k-1+xk+1]-(x2+x+1)xk+1.
因为上式两项均能被x2+x+1整除,
所以xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立.
由(1)和(2),可知xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
用数学归纳法证明几何问题
【例2】
在一平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线相互分割出n2条线段或射线.
分析用数学归纳法证明几何问题,关键要找到本题中从k到(k+1)条直线增加的线段或射线的条数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:(1)当n=2时,两条直线相交得到4条射线,命题成立.
(2)假设n=k时,k(k≥2)条直线按题目要求相交可得k2条线段或射线.
则当n=k+1时,记这(k+1)条直线中的一条为l,其余k条直线相交可得到k2条线段或射线,直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点,这k个点把直线l分成k+1段,又各自把它们所在线段或射线分成两部分,即又增加k条线段或射线,则新增加的线段或射线的条数为k+1+k=2k+1.从而(k+1)条直线相交,得到的线段或射线的条数为k2+2k+1=(k+1)2,所以n=k+1时命题也成立.
由(1)和(2),可知命题对n∈N+,且n≥2成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用数学归纳法证明几何问题的技巧
(1)用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题,常见的形式有交点的个数问题,直线的条数问题,划分区域问题,以及构成的角的个数问题.
(2)证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素由k个变成(k+1)个,所证的几何量将增加多少,这需要用到几何知识或借助几何图形分析.
(3)几何问题的证明既要注意数形结合,又要注意有必要的文字证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2在一平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.
证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,而f(1)=1-1+2=2,因此,n=1时命题成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,若增加满足条件的任一个圆,则这个圆必与前k个圆相交于2k个点,这2k个点把这个圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有部分分成两部分,因此,平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分,即有f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)和(2),可知n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
归纳—猜想—证明
和,n∈N+,计算S1,S2,S3,S4.根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
分析本题考查数学归纳法在数列问题中的应用.根据S1,S2,S3,S4的结果,猜想Sn的表达式,要注意观察项与项数的变化关系,从而归纳出构成数列的规律,同时还应注意各项之间的差异.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功;(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.
2.通过观察—归纳—猜想—证明这一完整的过程去探索和发现问题,并证明所得出的结论的正确性.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知数列{an}中,a2=a+2(a为常数),Sn是{an}的前n项和,且Sn是nan与na的等差中项.
(1)求a1,a3.
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.
解:(1)由已知得2Sn=nan+na=n(an+a),
当n=1时,S1=a1,所以2a1=a1+a,即a1=a;
当n=3时,S3=a1+a2+a3,所以有2(a1+a2+a3)=3(a3+a),由于a2=a+2,a1=a,所以a3=a+4.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)由a1=a,a2=a+2,a3=a+4,猜想an=a+2(n-1).
证明如下,①当n=1时,左边=右边,等式成立,当n=2时,a2=a+2知等式也成立,②假设n=k(k≥2)时等式成立,即ak=a+2(k-1).
则当n=k+1时,
=a+2[(k+1)-1].
所以当n=k+1时,等式也成立.
由①和②,可知对任意n∈N+,等式an=a+2(n-1)都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由n=k变化为n=k+1时,项数变化不正确而致误
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得用数学归纳法证明时一定要注意从n=k到n=k+1时项数的变化情况,不仅要看后面增加项的多少,还要看前面是否减少了某项.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2),可知对任意n≥2,n∈N+,上述等式恒成立.
1.用数学归纳法证明命题“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用假设证n=k+1时的情况,只需要展开( )
A.(k+3)3
B.(k+2)3
C.(k+1)3
D.(k+1)3+(k+2)3
解析:由假设n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,证n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除,其中项的变化是多了(k+3)3,且少了k3.故只需将(k+3)3展开变形即可.
答案:A
2.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)是( )
A.f(k)+k-1
B.f(k)+k
C.f(k)+k+1
D.f(k)+k-2
解析:k+1棱柱比原k棱柱多了一条侧棱,由对角面的定义可知,过不相邻的两条侧棱的面为棱柱的对角面,可得对角面在原来的基础上增加了(k-1)个,因此f(k+1)=f(k)+k-1.
答案:A
答案:2k
4.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为? .
?
解析:证明当n=k+1时,n3+5n能被6整除,一定要用到归纳假设“k3+5k能被6整除”.故需将(k+1)3+5(k+1)化成含有k3+5k的形式,即(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6
5.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.
(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式.
(2)用数学归纳法证明所得结论.
a1+a2+…+ak+2ak+1=2×(k+1)+1.
∵a1+a2+…+ak=2k+1-ak,∴2ak+1=ak+2.
∴当n=k+1时结论成立.
由①和②,可知对于任何正整数n,结论都成立.(共51张PPT)
第1课时 推理与证明
知识网络
要点梳理
思考辨析
填一填:
① ;② ;③ ;④ ;⑤ .?
答案:①归纳推理 ②从特殊到特殊 ③从结论出发寻找结论成立的充分条件 ④反证法 ⑤与正整数n有关的命题
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.归纳推理与数学归纳法.
归纳推理是一种合情推理,但“合情”不一定“合理”,其正确性都有待于严格证明,尽管如此,由归纳推理建立的“猜想”在探究新知识方面有着极其重要的作用.若是与自然数有关的“猜想”往往可以用数学归纳法来证明.
知识网络
要点梳理
思考辨析
2.直接证明与间接证明.
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法的思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,在解题中综合法和分析法联合运用,可转换解题思路,增加解题途径.
反证法是一种间接证明的方法,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结论.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在归纳推理的过程中,前提真而结论假的情况有可能发生.( )
(2)合情推理包括归纳推理和类比推理.( )
(3)综合法与分析法都是直接证明的方法.( )
(4)“正难则反”的思想与反证法原理相同.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
专题归纳
高考体验
专题一 归纳推理与类比推理
专题归纳
高考体验
【例2】
对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为
(-1,2),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”给出如下一种解法:
解:由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为
(-2,1),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2,1).
专题归纳
高考体验
答案:(-3,-1)∪(1,2)
专题归纳
高考体验
反思感悟归纳推理的一般步骤为首先通过观察个别情况发现某些相同特征,然后从相同特征中推出一个明确表述的一般性结论.
类比推理的一般步骤是先找出两类事物之间的相似性或一致性,再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的命题.
专题归纳
高考体验
变式训练1观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,
a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28
B.76
C.123
D.199
解析:∵1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,…,47+76=123,
∴可得a10+b10=123.
答案:C
专题归纳
高考体验
专题二 综合法和分析法
专题归纳
高考体验
【例4】
已知x,y>0,x+y=1,试用分析法证明log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2.
证明:∵x,y>0,
∴欲证log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2,
专题归纳
高考体验
反思感悟综合法与分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,是解决数学问题的常用方法,也是两种思路相反的推理方法.分析法是执果索因,而综合法是由因导果,两者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因而对于难题常把二者结合,互补优缺,形成分析综合法.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
专题三 反证法
【例5】
如图,已知两直线l∩m=O,l?α,m?α,l?β,m?β,α∩β=a,求证:l与m中至少有一条与平面β相交.
分析结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证法.
专题归纳
高考体验
证明:假设l,m都不与平面β相交,
∵它们都不在平面β内,
∴l∥β,且m∥β.
又l?α,m?α,α∩β=a,
∴l∥a,m∥a.
∴l∥m.
这与已知l,m是相交直线矛盾,
因此,l与m中至少有一条与平面β相交.
专题归纳
高考体验
反思感悟反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常出现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明否定性、唯一性命题,至多、至少型问题,几何问题.
专题归纳
高考体验
证明:假设a,b,c都不小于零,
则a+b+c≥0.
=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0,
所以-4π+12≥0,
即4π≤12,这与基本事实4π>12矛盾.
故a,b,c中至少有一个小于零.
专题归纳
高考体验
专题四 数学归纳法
专题归纳
高考体验
反思感悟数学归纳法是一种直接证明的方法,主要用来证明与正整数n有关的命题.证明时先证n取第一个值n0时命题成立,然后假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立即可.用数学归纳法证明时,要注意几个方面:
(1)n的范围以及递推的起点;
(2)从f(k+1)和f(k)的差异,寻找由k到k+1的递推中,左边要加(乘)上的式子;
(3)在归纳递推中,一定要运用归纳假设;
(4)注意“归纳—猜想—证明”的思维模式的应用.
专题归纳
高考体验
考点一:合情推理
1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
专题归纳
高考体验
解析:因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.
答案:D
专题归纳
高考体验
2.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个
B.16个
C.14个
D.12个
专题归纳
高考体验
解析:由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:
综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.
答案:C
专题归纳
高考体验
3.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24
B.18
C.12
D.9
解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
解析:由等式可知,等式右边共三个数相乘,第一个数都是
;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;
第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.
所以第n个式子等号右边为
n(n+1).
专题归纳
高考体验
5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
专题归纳
高考体验
解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
6.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .?
解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.
答案:1和3
专题归纳
高考体验
考点二:分析法、综合法、反证法
7.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳
远(单位:米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳
绳(单位:次)
63
a
75
60
63
72
70
a-1
b
65
专题归纳
高考体验
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛
B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛
D.9号学生进入30秒跳绳决赛
专题归纳
高考体验
解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.
假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
8.设实数a,b,t满足|a+1|=|sin
b|=t.( )
A.若t确定,则b2唯一确定
B.若t确定,则a2+2a唯一确定
C.若t确定,则sin
唯一确定
D.若t确定,则a2+a唯一确定
解析:当t=0时,sin
b=0,b=kπ,k∈Z,所以b2不确定,故A错;
当t=2时,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D错;
因为|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;当t确定时,t2-1唯一确定,即a2+2a唯一确定,故B正确.
答案:B
专题归纳
高考体验
9.一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N+),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程
为:0?0=0,0?1=1,1?0=1,1?1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于 .?
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解析:若1≤k≤3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4?x5?x6?x7=0;
若k=4,则二元码为1100101,不满足x1?x3?x5?x7=0;
若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.
答案:5
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10.已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中项.
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考点三:数学归纳法
11.已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值;
(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
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解:(1)f(6)=13.
(2)当n≥6时,f(n)
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下面用数学归纳法证明:
②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:
1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有
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12.已知数列{an}满足:a1∈N+,a1≤36,且
(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;
(3)求集合M的元素个数的最大值.
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解:(1)6,12,24.
(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.
如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.
如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数,从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.
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所以a2是2的倍数.
从而当n≥3时,an是4的倍数.
如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{12,24,36}.
这时M的元素个数不超过5.
如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数.
因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32}.
这时M的元素个数不超过8.
当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
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(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;
(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n
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假设n=k时结论成立,即a2k易知f(x)在(-∞,1]上是减少的,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.
再由f(x)在(-∞,1]上是减少的,得c=f(c)故c这就是说,当n=k+1时结论成立.
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则an+1=f(an).先证:0≤an≤1(n∈N+).①
当n=1时,结论明显成立.
假设n=k时结论成立,即0≤ak≤1.
易知f(x)在(-∞,1]上是减少的,
即0≤ak+1≤1,这就是说,当n=k+1时结论成立.
故①成立.
再证:a2n专题归纳
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假设n=k时,结论成立,即a2k由①及f(x)在(-∞,1]上是减少的,得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,
a2(k+1)=f(a2k+1)这就是说,当n=k+1时②成立.
所以②对一切n∈N+成立.(共27张PPT)
§4 数学归纳法
课标阐释
思维脉络
1.能理解用数学归纳法证明问题的原理.
2.会用数学归纳法证明与正整数有关的等式及数列问题.
3.能用数学归纳法证明与n有关的不等式整除问题.
4.注意总结用数学归纳法证明命题的步骤与技巧方法.
知识梳理
思考辨析
数学归纳法
(1)定义:数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.
(2)证明步骤
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;
②在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.
根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
(3)证明依据:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立,因为根据①,验证了当n=1时命题成立;根据②可知,当n=1+1=2时命题成立,由于n=2时命题成立,再根据②可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,…时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.
知识梳理
思考辨析
名师点拨应用数学归纳法的注意事项
(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可.
步骤①是命题论证的基础,步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这两个步骤缺一不可,若只有步骤①缺少步骤②,则无法判断n=k(k>n0)时命题是否成立;若只有步骤②缺少步骤①,则假设就失去了成立的前提,步骤②就没有意义了.
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
用数学归纳法证明3n>n3(n≥4,n∈N+),第一步应验证( )
A.n=1
B.n=2
C.n=3
D.n=4
解析:由题意知n≥4,n∈N+,所以第一步应验证n=4,故选D.
答案:D
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,当n=1时,左边式子为 .从k到k+1左端需增加的式子是 .?
解析:当n=1时,左边=1+3=4,右边=(1+1)2=4.
左边式子是连续(n+1)个奇数相加,因此当n=k时,左边式子为1+3+5+…+(2k+1).
当n=k+1时,左边式子为1+3+5+…+[2(k+1)+1]=1+3+5…+(2k+1)+(2k+3).
故增加的式子是2k+3.
答案:1+3 2k+3
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
(3)凸(n+1)边形的对角线比凸n边形的对角线多(n-1)条.( )
(4)用数学归纳法证明“2n>n2+1对n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明的初始值n0应取2.( )
(5)所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
用数学归纳法证明恒等式
所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),可知对一切n∈N+,等式都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用数学归纳法证明问题的三个关键点
(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1,n∈N+).这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整数,这个正整数并不一定是“1”.
(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律.弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
(3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题成立”.在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明不是数学归纳法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+).
证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)
=2(k+1)(k+2)·(k+3)·…·(k+k)(2k+1)
=2×2k×1×3×…×(2k-1)(2k+1)
=2k+1×1×3×…×(2k-1)[2(k+1)-1],
所以当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
用数学归纳法证明不等式
分析此题用数学归纳法证明时,要注意n≥2,故第(1)步应验证n=2时是否成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)和(2),知对任意n≥2,n∈N+,原不等式恒成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用数学归纳法证明不等式的具体形式和关键
(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求证明;二是给出两个式子,按照要求比较大小.对于第二种形式通常要先对n取前几个值的情况分别验证比较,再猜出从某个n值开始都成立的结论,最后用数学归纳法证明.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,要利用假设,并对照目标进行恰当的放缩,使问题简单化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2利用数学归纳法证明对一切大于1的正整数n,不等式
探究一
探究二
探究三
思维辨析
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2),知对一切大于1的正整数n,不等式都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三
用数学归纳法证明与数列有关的问题
分析在研究数列问题时常用数学归纳法,对于数列的通项、前n项和的公式推导中,应注意由n=k到n=k+1时中间的过渡项是什么.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟数列与数学归纳法有着非常密切的关系,数列是定义在N+(或其有限子集)上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一样的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的.因此数列中有不少问题都可以用数学归纳法证明.在证明过程中尤其要注意,由n=k到n=k+1时,中间的过渡项增加多少项,这是解决问题的关键.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3在数列{an}中,a1=a2=1,当n∈N+时,满足an+2=an+1+an,且设bn=a4n,求证数列{bn}各项均为3的倍数.
证明:(1)∵a1=a2=1,
∴a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3.
∴b1=a4=3,当n=1时,b1能被3整除.
(2)假设n=k时,bk=a4k是3的倍数.
则n=k+1时,
bk+1=a4(k+1)=a4k+4=a4k+3+a4k+2=a4k+2+a4k+1+a4k+1+a4k=3a4k+1+2a4k.
由归纳假设,知a4k是3的倍数,故可知bk+1是3的倍数.
∴n=k+1时,命题成立.
综合(1)和(2),可知对任意正整数n,数列{bn}的各项都是3的倍数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
应用数学归纳法证明时,不用归纳假设而致误
【典例】
用数学归纳法证明1+5+9+…+(4n-3)=(2n-1)·n.
易错分析本题的易错点是不利用归纳假设,而是直接利用等差数列的前n项和公式加以证明,这与数学归纳法不相符.
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1×1=1,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,
即1+5+9+…+(4k-3)=k(2k-1),
则当n=k+1时,1+5+9+…+(4k-3)+(4k+1)
=k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1)
=[2(k+1)-1](k+1).
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)和(2),知对一切n∈N+,等式成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否完整,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那么就是不正确的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2),可知原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.
1.某个与自然数n有关的命题,若当n=k(k∈N+)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时命题不成立,则可推得( )
A.当n=4时该命题不成立
B.当n=6时该命题不成立
C.当n=4时该命题成立
D.当n=6时该命题成立
答案:A
2.在用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=
(a≠1,n∈N+)的过程中,验证当n=1时,等式左边应为( )
A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,等式的左边=1+a+a2.
答案:C
3.用数学归纳法证明“34n+2+52n+1能被14整除”的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .?
解析:当n=k+1时,
34(k+1)+2+52(k+1)+1=81×34k+2+25×52k+1=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.
答案:25(34k+2+52k+1)+56×34k+2
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,
所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)和(2),可知原不等式对任意n∈N+都成立.(共23张PPT)
§3 反证法
课标阐释
思维脉络
1.结合已经学习过的实例,理解反证法的思维过程及思维方法.
2.掌握用反证法证题的步骤.
3.会用反证法证明一类命题.
知识梳理
思考辨析
1.反证法的定义
(1)先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与
定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与
假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
知识梳理
思考辨析
2.反证法的证题步骤
(1)作出否定结论的假设;
(2)进行推理,导出矛盾;
(3)否定假设,肯定结论.
知识梳理
思考辨析
名师点拨使用反证法证明数学问题的注意事项
(1)用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面出现的多种可能,要一一否定,不能遗漏,缺少任何一种可能,证明都是不完整的.
(2)反证法必须从否定的结论出发进行推理,且必须根据这一条件进行论证.仅否定结论,不从结论的反面出发进行的论证不是反证法.故反证法也叫归谬法.
(3)用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与公理、定理、定义,或是已证明了的结论矛盾,或是与公认的简单事实矛盾,但推出的矛盾必须是明显的.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是( )
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角至多有一个大于60°
D.假设三个内角至多有两个大于60°
解析:根据反证法的定义,假设应使命题的反面成立,而“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”.
答案:B
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
已知x,y是正实数,且x+y>2,
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.( )
(2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾.( )
(3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,论证一种即可.( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
探究一
探究二
思维辨析
探究一
用反证法证明否定性命题
【例1】
已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:
分析因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题时
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.对于结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类命题的反面比较具体,适合用反证法证明.
2.在证明否定性命题时,先通过假设原命题的反面成立,将原来的否定性命题转化为肯定性命题,再利用所学知识,找出矛盾,从而说明假设不成立,命题得证.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1如果非零实数a,b,c两两不相等,且2b=a+c,
探究一
探究二
思维辨析
探究二
用反证法证明“至多”“至少”命题
分析因为直接从条件推证,方向不明确,过程不可推测,所以可以采用反证法.
证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,
这与a+b+c≤0相矛盾,
∴a,b,c中至少有一个大于0.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接从条件推证,则解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,故可以考虑用反证法证明.
2.常见的“结论词”与“反设词”如下表所示:
结论词
至少有一个
至多有一个
对所有x成立
对任意x不
成立
至少有n个
至多有n个
p或q
p且q
反设词
一个也没有
至少有两个
存在某个x0不成立
存在某个x0成立
至多有n-1个
至少有n+1个
?p
且?q
?p
或?q
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2证明关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,
x2+2ax-2a=0,当a≤-
或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
证明:假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零,得
探究一
探究二
思维辨析
否定结论不全面而致误
【典例】
已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于等于
易错分析本题结论中含有“至少有一个”,适合用反证法.否定结论为
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得用反证法证题时,如果要证明的结论反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练求证:两条相交直线有且只有一个交点.
证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点或至少有两个交点.
设两条直线为a,b.
(1)若a,b无交点,则a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾;
(2)若a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.
1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
答案:D
2.命题“关于x的方程ax+b=0(a≠0)有唯一解”的结论的否定是( )
A.无解
B.有两解
C.至少有两解
D.无解或至少有两解
解析:命题的否定是否定命题的结论,“有唯一解”的否定是“至少有两解或无解”.
答案:D
3.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b≤4,则a,b不都大于2”时,应假设( )
A.a,b都不大于2
B.a,b都不小于2
C.a,b都大于2
D.a,b不都小于2
答案:C
4.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设为 .?
解析:p且q的否定为非p或非q.
答案:x=a或x=b
5.已知数列{bn}的通项公式为bn=
,求证:数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.
证明:假设数列{bn}存在三项br,bs,bt(r的等比数列,于是有br>bs>bt,则只可能有2bs=br+bt成立,
两边同乘3t-1·21-r,化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s.
因为r这与奇数不等于偶数相矛盾.
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.(共32张PPT)
§2 综合法与分析法
课标阐释
思维脉络
1.了解综合法证明问题的思考过程和推理特点,学会运用综合法证明简单题目.
2.了解分析法证明问题的思考过程和推理特点,学会运用分析法证明简单题目.
3.能根据综合法、分析法的推理特点及问题的特征,选择适当的方法进行数学命题的证明.
知识梳理
思考辨析
1.综合法
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.
知识梳理
思考辨析
名师点拨综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”.
(2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下:
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
(3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥
证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz,
∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
≥2xy+2yz+2xz.
∴3(x2+y2+z2)
≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1.
知识梳理
思考辨析
2.分析法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法.
知识梳理
思考辨析
名师点拨分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.
(2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需证……,…由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
知识梳理
思考辨析
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)综合法是由因导果的顺推证法.( )
(2)分析法是执果索因的逆推证法.( )
(3)分析法的推理过程要比综合法优越.( )
(4)所有证明的题目均可使用分析法证明.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
综合法的应用
【例1】
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
A=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C.
(1)求证:A的大小为60°.
(2)若sin
B+sin
C=
,证明△ABC为等边三角形.
分析(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小.
(2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin
B+sin
C=
转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60°,命题得证.
探究一
探究二
探究三
规范解答
证明:(1)∵2asin
A=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C,
∵0°∴B+30°=90°,即B=60°.
∴A=B=C=60°.因此△ABC为等边三角形.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路
(1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.
(3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究二
分析法的应用
分析本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟利用分析法证明不等式
(1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明.
(2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.
(3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
探究一
探究二
探究三
规范解答
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,
只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,
只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,
只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
因为x≥1,y≥1,所以上式显然成立.
所以原不等式成立.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究三
综合法与分析法的综合应用
【例3】
已知a,b,c是不全相等的正数,且0分析解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的性质转化为证明整式不等式.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法与分析法的综合应用
(1)在实际解题过程中,常常是先用分析法寻找解题思路,即从结论入手,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述解题过程.
(2)对于较复杂的问题,在解题过程中,把分析法和综合法有机地统一起来,一方面从问题的已知条件出发,用综合法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用分析法回溯到中间,即推出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练3设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称,求证:f
为偶函数.
探究一
探究二
探究三
规范解答
用分析法证明不等式成立
【典例】
(12分)在某两个正数m,n之间插入一个数x,使m,x,n成等差数列,插入两个数y,z,使m,y,z,n成等比数列,求证:(x+1)2≥(y+1)(z+1).
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
解题反思实际解题时,综合使用分析法与综合法,即从“未知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径,本例中若得不出2x=
就无法实现等价转化.另外在应用分析法解题时,语言、步骤要完整、规范,避免逻辑性混乱,减少失分.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH⊥底面ABC于点H,求证:H是△ABC的垂心.
探究一
探究二
探究三
规范解答
证明:连接AH,BH,图略,要证H是△ABC的垂心,只需证BC⊥AH,且AC⊥HB,只需证BC⊥平面PHA,且AC⊥平面PHB,只需证BC⊥PH,且BC⊥PA,AC⊥PH,且AC⊥PB.
因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,PH⊥AC成立,
故只需证BC⊥PA,且AC⊥PB即可.
只需证PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,
只需证PA⊥PB,且PA⊥PC,PB⊥PA,且PB⊥PC.
因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是△ABC的垂心.
1.“对于任意角θ,都有cos4θ-sin4θ=cos
2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos
2θ”应用了( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.间接证法
解析:证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式,因此是综合法.
答案:B
2.设x1,x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则( )
A.|x1|>2,且|x2|>2
B.|x1+x2|<4
C.|x1+x2|>4
D.|x1|=4,且|x2|=16
解析:由方程有两个不等实根知,Δ=p2-16>0,所以|p|>4,又x1+x2=-p,所以|x1+x2|=|p|>4.故选C.
答案:C
A.a
B.b
C.c
D.不能确定
答案:C
(x2+y2)3>(x3+y3)2,
只需证x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+2x3y3,
只需证3x2y2(x2+y2)>2x3y3.
因为x>0,y>0,
(方法二:综合法)因为x>0,y>0,
所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2.(共40张PPT)
§1 归纳与类比
课标阐释
思维脉络
1.理解归纳推理和类比推理的概念和意义.
2.会用归纳推理和类比推理进行简单的推理.
3.能够利用归纳推理和类比推理解决一些较为简单的数学问题.
知识梳理
思考辨析
1.归纳推理
(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.
(2)特征:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
知识梳理
思考辨析
(3)归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.
该过程包括两个步骤:
①通过观察个别对象发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
知识梳理
思考辨析
名师点拨归纳推理的特点
(1)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,归纳所得的结论是尚属未知的一般的现象,该结论超越了前提所界定的范围.
(2)归纳推理所得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的依据.
(3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的一般性结论也就越可靠.
(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】
数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )
A.47
B.65
C.63
D.128
解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65.
答案:B
知识梳理
思考辨析
2.类比推理
(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.
(2)特征:类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊的过程.
知识梳理
思考辨析
(3)类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.
该过程包括两个步骤:
①找出两类对象之间的相似或一致的特征;
②用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的类似特征,得出一个明确的命题(猜想).
知识梳理
思考辨析
名师点拨类比推理的特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比推理的前提是两类对象之间具有某些清楚定义的类似特征,所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.
(3)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.
知识梳理
思考辨析
【做一做2】
类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
A.①②
B.②③
C.③
D.①③
答案:D
知识梳理
思考辨析
3.合情推理
(1)定义:合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
(2)合情推理的一般步骤
知识梳理
思考辨析
【做一做3】
判断下列推理,哪些是合情推理,哪些不是合情推理.
(1)若a∥b,b∥c,则a∥c;
(2)若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
(3)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n-1)=n2;
(4)今天是星期日,七天之后也是星期日.
解:(3)(4)是合情推理,(1)(2)不是合情推理.
知识梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)合情推理就是正确的推理.( )
(2)由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质是类比推理.( )
(3)某校高二有20个班,1班有51名团员,2班有53名团员,3班有52名团员,由此推测各班都超过50名团员是归纳推理.( )
(4)已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则该数列的第k项是ak+ak+1+…+a2k.( )
(5)任何问题都可用归纳推理来推测结论.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一用归纳推理解决数列问题
【例1】
已知正项数列{an}满足Sn=
,求出a1,a2,a3,a4,并推测正项数列{an}的通项公式.
分析分别令n=1,2,3,4,利用Sn与an的关系式,先求出a1,a2,a3,a4的值,再观察分析,进行归纳猜测.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟解决此类问题的关键是根据前几项发现项与序号的一一对应关系,归纳出数列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推理中,根据同一个前提,可以归纳出不同的结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1已知f(x)=
,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N+),则f3(x)的表达式为 ,猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为 .?
解析:先由f1(x)的表达式,根据f2(x)=f1(f1(x))求f2(x)的表达式,再由f3(x)=f2(f2(x))求f3(x)的表达式,最后猜想fn(x)的表达式.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二归纳推理在几何中的应用
【例2】
设平面内有n(n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用含n的数学表达式表示).?
解析:最初的三条直线产生两个交点,即f(3)=2.每增加1条直线,与前面的每条直线产生1个交点,则新增加的第n条直线,与前面的(n-1)条直线产生(n-1)个交点,即f(n)-f(n-1)=n-1.
由图知f(4)=5.
当n>4时,f(n)-f(n-1)=n-1,
f(n-1)-f(n-2)=n-2,
……
f(4)-f(3)=3.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟在几何中,随着点、线、面等元素的增加,探究相应的线段、交点、区域等数量的增加问题常用归纳推理解决,寻找递推关系是解决该类问题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练2在平面内观察凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n(n≥4)边形有多少条对角线?
解:凸四边形有2条对角线,
凸五边形有5条对角线,比凸四边形的对角线多3条,
凸六边形有9条对角线,比凸五边形的对角线多4条,
……
于是猜想凸n边形的对角线比凸(n-1)边形的对角线多(n-2)条,由此猜想凸n边形的对角线条数为
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究三归纳推理在数阵问题的应用
【例3】
根据给出的数塔猜测123
456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1
111
1
234×9+5=11
111
12
345×9+6=111
111
A.1
111
110
B.1
111
111
C.1
111
112
D.1
111
113
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解析:由1×9+2=11,
12×9+3=111,
123×9+4=1
111,
1
234×9+5=11
111,
……
归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数与等式左边的第二个加数相同,所以123
456×9+7=1
111
111.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下:
(1)明确各行、各列数的大小;
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系;
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练3观察下列式子:
……
则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究四类比推理
请运用类比思想,说出对于空间中的四面体A-BCD存在什么类似的结论?并证明.
分析解答本题可以把平面几何的元素类比到空间中,通常是面积对应体积.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解:在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于点E,F,G,H.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下:
平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练4在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为 .?
解析:一方面,可以由边长与面积、棱长与体积的关系得到体积之比为13∶23=1∶8.
另一方面,可以通过具体的计算,不妨设两个正四面体的棱长分别为a和2a,则可求得它们的体积分别为
,所以它们的体积之比为1∶8.
答案:1∶8
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
因归纳不全面而致误
易错分析本题易犯的错误是只照顾到了不等式中左边的项数及右边的规律,而没有把握深层次的规律,即x的系数之和为1.
解析:由已知可以再写出几个式子.
答案:nn
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
纠错心得归纳推理时,要注意对结构形式细致观察,并且尽量多归纳几个,必要的时候对特殊情况进行检验.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练观察下列等式:
1=1, 13=1,
1+2=3,
13+23=9,
1+2+3=6,
13+23+33=36,
1+2+3+4=10,
13+23+33+43=100,
1+2+3+4+5=15,
13+23+33+43+53=225.
可以推测:13+23+33+…+n3= (n∈N+,用含有n的代数式表示).?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解析:由题意得第二列等式的右端分别是12,32,62,102,152,第一列等式的右端分别是1,3,6,10,15,可知第二列等式右端等于相应的第一列等式右端的平方.第一列第n个等式为
答案:D
解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得
答案:C
3.下面几种推理是类比推理的是( )
A.因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角和是180°×(4-2),…,所以n边形的内角和是180°×(n-2)
B.由平面内平行四边形的性质,推测空间中平行六面体的性质
C.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除
解析:A项为归纳推理,B项为类比推理,C项为归纳推理,D项为归纳推理.
答案:B
4.观察下列各等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式为? .?
解析:由所给等式可知,左边为n个式子相乘,从(n+1)到(n+n),右边第1个数为2n,后边是从1开始的连续n个奇数相乘,故第n个等式应为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).
答案:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)