根与系数的关系精选题38道
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+＝﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
【解答】解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
2．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
3．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1?x2＝m2﹣m﹣1．
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，
∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x1+x2＝1﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
4．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝是解题的关键．
5．【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m的一元二次方程．
6．【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，再将k值分别代入原方程，取使得原方程有实数根的k值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意；
当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0，
∴△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去．
∴k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
7．【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1?x2＝﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1?x2＝＝﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2＝﹣，x1?x2＝﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
8．【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．
【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，
解得：x2＝﹣4，m＝2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
9．【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据b2﹣4ac＝1+8+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣2﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
10．【分析】根据根与系数的关系，可得出α+β和αβ的值，再代入α+β﹣αβ求值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；
【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
12．【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1?x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二．填空题（共18小题）
13．【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将+化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．
【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根；
∴α+β＝﹣2m﹣3，α?β＝m2；
∴+＝＝＝﹣1；
∴m2﹣2m﹣3＝0；
解得m＝3或m＝﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根；
∴△＝（2m+3）2﹣4×1×m2＝12m+9＞0；
∴m＞﹣；
∴m＝﹣1不合题意舍去；
∴m＝3．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．【分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1?x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．
【解答】解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1?x2＝a，
由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，
若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝25﹣4a＝4，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．【分析】由于a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，因此可以把a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，然后利用根与系数的关系可以得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把所求代数式通分即可求解．
【解答】解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，
∴a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣3．
若a＝b，则原式＝2．
故答案为：2或﹣3
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，首先把已知等式转化为一元二次方程的问题，然后利用根与系数的关系即可解决问题．
16．【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．
17．【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2＝﹣＝，x1?x2＝＝﹣”，再利用完全平方公式将x12+x22转化成﹣2x1?x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1?x2＝＝﹣，
∴x12+x22＝﹣2x1?x2＝﹣2×（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2＝，x1?x2＝﹣．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．
18．【分析】先变形b2+2b﹣1＝0得到（）2﹣2?﹣1＝0，则a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2?﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
19．【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
20．【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+4α+β变形为α2+3α+α+β，即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
21．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22．【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以+＝＝＝＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
23．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
24．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m＝1，x1x2＝2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣m＝1，x1x2＝2m，
所以m＝﹣1，
所以x1x2＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
25．【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，将其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可得出结论．
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
26．【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
27．【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，将其代入原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
28．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以+＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
29．【分析】根据根与系数的关系得出x1?x2及x1+x2的值，代入所求代数式得出k的值，再看k的值是否满足△中k的取值范围即可．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1?x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0中，
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②x1+x2＝﹣，x1x2＝．
30．【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，
由根与系数的关系可知：a+b＝2，
∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，
＝2020+2（a+b）﹣3
＝2020+2×2﹣3
＝2021，
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
三．解答题（共8小题）
31．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1?x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16+x1?x2中，解之即可得出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1?x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16+x1?x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
32．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
33．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1?x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1?x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝6x1?x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
34．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
35．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2k﹣3、x1x2＝k2，结合+＝﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的实数根，
∴x1+x2＝﹣2k﹣3，x1x2＝k2，
∴+＝＝＝﹣1，
解得：k1＝3，k2＝﹣1，
经检验，k1＝3，k2＝﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k＝3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+＝﹣1找出关于k的分式方程．
36．【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得△＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
37．【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3、x1x2＝m﹣1，结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，
∴△＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0，
解得：m≤．
（2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1．
∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0，
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0，找出关于m的一元一次方程．
38．【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键．根与系数的关系精选题38道
一．选择题（共12小题）
1．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（ ）
A．3
B．1
C．3或﹣1
D．﹣3或1
2．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
3．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2
B．1或﹣2
C．﹣2
D．1
4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
5．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
6．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（ ）
A．0或2
B．﹣2或2
C．﹣2
D．2
7．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2
B．﹣4，﹣2
C．4，2
D．﹣4，2
9．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
10．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
11．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023
B．2021
C．2020
D．2019
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2
B．x12﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2
D．x1?x2＝2
二．填空题（共18小题）
13．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是
．
14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝
．
15．若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝
．
16．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是
．
17．方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x12+x22＝
．
18．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为
．
19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有
（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
20．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+4α+β＝
．
21．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为
．
22．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为
．
23．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为
．
24．一元二次方程x2+mx+2m＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝
．
25．设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为
．
26．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是
．
27．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝
．
28．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝
．
29．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝
．
30．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于
．
三．解答题（共8小题）
31．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
32．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
33．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
34．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
35．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+＝﹣1，求k的值．
36．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
37．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．
38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
