3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第3章（Word含答案解析）

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
必练基础
题组一　二次函数的零点
(2020江苏连云港东海石榴高级中学高一月考)函数y=x2-3x+4的零点个数为
(　易错　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(2020山东邹城一中高一月考)下列图象表示的函数中没有零点的是 (　　)
3.(多选)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是 (　　)
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
4.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　　　.?
5.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为　　　　.?
题组二　一元二次不等式的解法
6.(2020江苏南京河西外国语学校高一月考)不等式x2-2x<3的解集为 (　　)
A.{x|x<-3或x>1}　　　　　　B.{x|-3C.{x|x<-1或x>3}　　　　　　D.{x|-17.(2020江苏南京江宁高级中学高一月考)不等式-x2+x+6<0的解集是 (　　)
A.{x|-2C.{x|x>3或x<-2}　　　　　　D.x|x>13或x<-12
8.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是 (　　)
A.x≥0　　　　　　B.x<0或x>2
C.x<-12　　　　　　D.x≤?12或x≥3
9.(2020江苏宿迁中学高一期中)不等式2x+11-x>0的解集为　　　　.?
10.解下列关于x的不等式:
(1)2+3x-2x2>0;
(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;
(3)-1(4)2x+1x-1≤1. 深度解析
题组三　含参数的一元二次不等式的解法
11.(2020江苏淮安淮阴中学高一月考)若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 (　　)
A.{x|x<-1或x>3}　　　　　　B.{x|-1C.{x|13}
12.(2020江苏泰兴第三高级中学高一月考)若0A.x|1t1t
C.x|x<1t或x>t　　　　　　D.x|t13.若集合{x|ax2+ax+4≤0}=?,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,16)　　　　　　B.(0,16)
C.(-∞,0)∪(16,+∞)　　　　　　D.[0,16]
14.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0). 深度解析
题组四　三个“二次”之间的关系
15.(2020江苏苏州陆慕高级中学高一期中)若关于x的不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|-1A.-14　　　　B.0　　　　C.12　　　　D.1
16.(2020江苏扬州江都大桥高级中学高二月考)若关于x的不等式x2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax2+x-3<0的解集为 (　　)
A.(1,2)　　　　　　B.(-1,2)
C.-12,1　　　　　　D.-32,1
17.(2020湖北十堰高一下期末)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的充要条件是 (　　)
A.a>0Δ>0　　　　B.a>0Δ<0　　　　C.a<0Δ>0　　　　D.a<0Δ<0
18.(2020北京丰台高一期中)已知方程ax2+bx+3=0的两个实数根分别为-3和1,则不等式ax2+bx+3>0的解集为　　　　.?
19.(2020湖南长沙雅礼中学检测)已知x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1x2=12,求k的值.
题组五　一元二次不等式的实际应用
20.(2020浙江嘉兴高级中学高一期中)某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-52R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是 (　　)
A.[4,8]　　　　　　B.[6,10]
C.[4%,8%]　　　　　　D.[6%,10%]
21.(2020江苏高邮中学高一上月考)国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨,按规定,农户要向国家纳税,且每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为减少农民负担,制定积极收购政策,根据市场规律,税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点,为使得税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%,则x的取值范围为　　　　.?
22.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少分别为多少米?
选练素养
题组一　含参数的一元二次不等式的解法
1.(多选)(2020江苏扬州中学高二期中,)已知命题p:?x∈R,x2+ax+4>0,则命题p成立的一个充分不必要条件可以是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∈[-1,1]　　　　　　B.a∈(-4,4)
C.a∈[-4,4]　　　　　　D.a∈{0}
2.(2020江苏宿迁高一期末,)若关于x的不等式x2-2(m+1)x+4m≤0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围是 (　　)
A.52,3　　　　　　B.52,3
C.-1,-12　　　　　　D.-1,-12∪52,3
题组二　一元二次不等式中的恒成立问题
3.(多选)(2020江苏泰州中学高一月考,)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为 (　　)
A.-2　　　　　　B.-1
C.12　　　　　　D.2
4.(多选)(2020江苏南京玄武高级中学高一月考,)已知m∈N*,若对任意的x∈[1,2],x+mx≤4恒成立,则实数m的值可以为 (　　)
A.1　　　　　　B.2
C.3　　　　　　D.4
5.()已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.67,+∞　　　　　　
B.-∞,1-52∪1+52,+∞
C.-∞,67　　　　　　
D.1-52,1+52
6.(2020江苏盐城响水中学高一期中,)设集合A={x|0≤2x-1≤5},B={x|x2+a<0},若A∩B=?,则实数a的取值范围为　　　　.?
7.(2020四川自贡高一期末,)已知关于x的不等式2kx2+kx-38<0.
(1)若不等式的解集为-32,1,求实数k的值;
(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
题组三　三个“二次”的综合应用
8.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末联考,)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a|-2≤a≤65　　　　　　B.a|-2≤a<65
C.a|-659.(多选)(2020北京朝阳高一期中,)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是 (　　)
A.a>0
B.关于x的不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为x|x<-13或x>12
10.(2021北京大学附属中学高一上月考,)若关于x的不等式(ax-1)2A.-32B.-32C.-32≤aD.-32≤a11.(2021北京清华大学附属中学高一上月考,)已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B={x|x2-2x+a+1<0},若A∪B=R,则实数a的取值范围为　　　　.?
答案全解全析
3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
必练基础
1.A　令x2-3x+4=0,其判别式Δ=9-16<0,
所以方程x2-3x+4=0无解,即函数y=x2-3x+4无零点.故选A.
易错警示　二次函数的零点是实数,而不是点,注意并不是所有的二次函数都有零点,如函数y=x2+2就没有零点.
2.A　选项A中的图象与x轴没有交点,则选项A中的图象表示的函数没有零点;
选项B中的图象与x轴有一个交点,则选项B中的图象表示的函数有一个零点;
选项C中的图象与x轴有两个交点,则选项C中的图象表示的函数有两个零点;
选项D中的图象与x轴有两个交点,则选项D中的图象表示的函数有两个零点.
故选A.
3.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=54,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,A正确;
当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,B正确;
当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,C错误;
当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,D错误.故选AB.
4.答案　-3
解析　∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,
∴a+2a+3=0,∴a=-1.
∴y=-x2-2x+3.
令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,
∴函数的另一个零点为-3.
5.答案　-12和?13
解析　因为函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,
所以4-2a-b=0,9-3a-b=0,解得a=5,b=-6,经检验,满足题意.
所以y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1.
令-6x2-5x-1=0,
解得x=-12或x=?13,
故函数y=bx2-ax-1的零点为-12和?13.
6.D　将不等式x2-2x<3整理,得x2-2x-3<0.
∵方程x2-2x-3=0的实数解为x1=-1,x2=3,∴不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-17.C　原不等式可化为x2-x-6>0,即(x-3)·(x+2)>0,解得x>3或x<-2,所以不等式的解集为{x|x>3或x<-2}.故选C.
8.B　由不等式2x2-5x-3≥0,解得x≤-12或x≥3,故不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是x<0或x>2.故选B.
9.答案　x|-12解析　不等式2x+11-x>0等价于(2x+1)(x-1)<0,解得-12故答案为x|-1210.解析　(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-12(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-12或x≥1,故原不等式的解集为xx≤-12或x≥1.
(3)原不等式等价于x2+2x-1>-1,x2+2x-1≤2,
即x2+2x>0,①x2+2x-3≤0.②
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0(4)原不等式可化为x+2x-1≤0,
所以(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0,
解得-2≤x<1.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
解题模板　解一元二次不等式时要观察二次项系数的符号,一般要先将二次项系数转化为正的,再进行求解.
11.A　因为不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},所以a>0,ba=1,所以关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0,即ax+ba(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3,故不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A.
12.D　当0因此不等式的解集为x|t13.A　集合{x|ax2+ax+4≤0}=?等价于不等式ax2+ax+4≤0无解.
当a=0时,4≤0,不成立,满足题意;
当a≠0时,需满足a>0,Δ=a2-4a×4<0,解得0综上,0≤a<16.故选A.
14.解析　∵a≠0,
∴方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=1a.
当a>0时,1a>0,此时不等式的解集为x|x<0或x>1a;
当a<0时,1a<0,此时不等式的解集为x|1a综上,当a>0时,不等式的解集为x|x<0或x>1a;
当a<0时,不等式的解集为x|1a解题模板　在解含参数的一元二次不等式时,能分解因式的要先分解因式,再对参数进行分类讨论.分类讨论时,要做到“不重不漏”.
15.B　由题意可得-1和2是方程ax2+bx-1=0的两个根,且a>0,
则-1+2=-ba,-1×2=-1a,解得a=12,b=-12,
故a+b=0.故选B.
16.D　由题意知,-3和1是方程x2+ax-3=0的两根,则-3+1=-a,解得a=2,
所以不等式ax2+x-3<0即为2x2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0,解得-32所以不等式的解集为-32,1.故选D.
17.B　∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集,
∴函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方,且与x轴没有交点,
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,方程ax2+bx+c=0没有实数根,
∴a>0,Δ<0.故选B.
18.答案　(-3,1)
解析　∵方程ax2+bx+3=0的两个实数根分别为-3和1,∴-3+1=-ba,-3×1=3a,
解得a=-1,b=-2,
则ax2+bx+3>0可化为-x2-2x+3>0,即x2+2x-3<0,解得-319.解析　(1)∵x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1>1,x2>1,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1,
且Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,x1+x2>2,(x1-1)(x2-1)>0,
解得k>34且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>34且k≠1.
(2)由x1+x2=2k+1,x1x2=12,得x1=2k+13,x2=4k+23,
∴x1x2=2k+13·4k+23=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
20.A　若附加税不少于128万元,则30-52R×160×R%≥128,化简并整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.故选A.
21.答案　(0,2]
解析　原计划税收收入为2 400m×8%元.
税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点后的税收收入为(1+2x%)m×2 400×(8-x)%元.
依题意可得(1+2x%)m×2 400×(8-x)%≥2 400m×8%×78%,
整理得x2+42x-88≤0,即(x+44)(x-2)≤0,解得-44≤x≤2.
因为x>0,所以0故x的取值范围为(0,2].
解析　设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥
4 000②,
由①②可得b2+30b-4 000≥0,解得b≥50或b≤-80(舍去),
所以a=b+30≥80.
所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.
选练素养
1.AD　由命题p:?x∈R,x2+ax+4>0成立,得Δ=a2-16<0,解得-4故命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故选AD.
2.B　原不等式可化为(x-2)(x-2m)≤0.
若m=1,则不等式的解集为{x|x=2},不满足题意;
若m<1,则不等式的解集是[2m,2],
不等式的解集中不可能有4个正整数;
若m>1,则不等式的解集是[2,2m],
所以不等式的解集中的4个正整数分别是2,3,4,5,
则5≤2m<6,解得52≤m<3.
所以实数m的取值范围是52,3.故选B.
3.BC　易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3].
因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,
所以[a,a+2]?[-1,3],
所以a≥-1,a+2≤3,解得-1≤a≤1.
所以实数a的值可能为-1,12.故选BC.
4.ABC　若对任意的x∈[1,2],x+mx≤4恒成立,则m≤4x-x2在x∈[1,2]上恒成立.
令y=4x-x2,x∈[1,2],
则y=4x-x2=-(x-2)2+4∈[3,4],所以m≤3,又m∈N*,所以m的值可以为1,2,3.
故选ABC.
5.D　对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<6m恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<6mmin=2,
所以x2-x+1<2,解得1-526.答案　a≥-14
解析　易知A={x|0≤2x-1≤5}=12,3.因为B={x|x2+a<0},且A∩B=?,所以12,3∩{x|x2+a<0}=?,
所以对任意x∈12,3,a≥-x2恒成立,
所以对任意x∈12,3,a≥(-x2)max=-14,所以a≥-14.
7.解析　(1)若关于x的不等式2kx2+kx-38<0的解集为-32,1,
则-32和1是2kx2+kx?38=0的两个实数根,且k>0,由根与系数的关系得-32×1=-382k,解得k=18.
(2)当k=0时,-38<0恒成立,满足题意.
当k≠0时,则有2k<0,Δ=k2+3k<0,
解得-3综上,实数k的取值范围为(-3,0].
8.C　若a2-4=0,则a=±2.
当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0可化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0可化为-4x-1≥0,解得x≤-14,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,舍去.
若a2-4≠0,则a≠±2.
因为关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,
所以a2-4<0,Δ=(a-2)2+4(a2-4)<0,
解得-65综上,实数a的取值范围是a|-65故选C.
9.ABD　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,A选项正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得-2+3=-ba,-2×3=ca,则b=-a,c=-6a,∴a+b+c=-6a<0,C选项错误;
不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B选项正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-13或x>12,D选项正确.故选ABD.
10.B　∵不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
当a>1时,不等式的解集为1a+1,1a-1,易知1a+1∈0,12,∴2个整数解为1,2,
∴2<1a-1≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得43≤a<32;
当a<-1时,不等式的解集为1a+1,1a-1,易知1a-1∈-12,0,∴2个整数解为-1,-2,
∴-3≤1a+1<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-32综上所述,实数a的取值范围是-3211.答案　a≥1
解析　易知当a<1时,集合A={x|x≤1-1-a或x≥1+1-a};当a≥1时,A=R.
当a<0时,集合B={x|1--a要使A∪B=R,需满足a<0,1-1-a≥1--a,1+-a≥1+1-a或a≥1,解得a≥1.