3.1 不等式的基本性质同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第3章（Word含答案解析）

第3章　不等式
3.1　不等式的基本性质
必练基础
题组一　用不等式(组)表示不等关系
1.下列说法正确的是 (　　)
A.某人的月收入为x元,则其不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.若小明的身高为x cm,小华的身高为y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为 (　　)
A.x≤7y≥60.6x+0.7y≤10x,y∈N*　　　　　　B.x≤7y≤60.6x+0.7y≤10x,y∈N*
C.x≥7y≥60.6x+0.7y≤10x,y∈N*　　　　　　D.x≥7y≥60.6x+0.7y≥10x,y∈N*
3.(2020江苏宜兴中学高一月考)某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.设提价后该杂志的单价为x元,则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为　　　　　　　　.?
题组二　实数(代数式)的大小比较
4.(2020江苏昆山中学高一月考)若x>1,则x2与x2-x+1的大小关系是 (　　)
A.x2>x2-x+1　　　　　　B.x2≥x2-x+1
C.x25.(2021山西大学附属中学高二上月考)已知a=2+6,b=4,c=3+5,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c　　　　B.c>a>b　　　　C.c>b>a　　　　D.b>c>a
6.(2020江苏南通如东高级中学高一月考)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比 (　　)
A.不变　　　　B.变小　　　　C.变大　　　　D.不确定
7.(2020江苏连云港赣榆智贤中学高一期中)如果x<0,0题组三　不等式的性质及其应用
8.(2020江苏盐城大丰新丰中学高二上期中)若b<0A.bdbd
C.a-c>b-d　　　　　　D.a+c>b+d
9.(2020江苏常州高级中学高一月考)已知a,b,c∈R,给出下列条件:①a2>b2;②1a<1b;③ac2>bc2,则使得a>b成立的充分不必要条件是 (　　)
A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.①②③
10.(2020江苏镇江第一中学高一月考)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是 (　　)
A.c≥b>a　　　　B.c>a>b　　　　C.a>c≥b　　　　D.c>a≥b
11.(2020北京中关村中学高一期中)已知a<0,-1题组四　求代数式的取值范围
12.(2020北京师范大学附属实验中学高二期中)设实数x,y满足3A.(4,6)　　　　B.(4,7)　　　　C.(5,6)　　　　D.(5,7)
13.(2020黑龙江大庆实验中学高一下期末)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则3x+y的最大值为(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.16　　　　　D.18
14.已知1215.已知-2(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.
选练素养
题组一　实数(代数式)的大小比较
1.(2020江苏泰州中学高一月考,)设p=(a2+a+1)-1,q=a2-a+1,则 (　　)
A.p>q　　　　B.p2.()甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人的步行速度和跑步速度均相同,那么先到教室的是(　　)
A.甲　　　　　　 B.乙
C.同时到教室　　　　　　D.无法判断
3.(2020江苏南通栟茶高级中学高一期中,)设a>b>c>0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系是　　　　　　(用“>”连接).?
4.(2020辽宁大连第二十四中学高三模拟,)已知a+b>0,则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是　　　　　　　.?
5.(2019安徽安庆三校联考,)某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
题组二　求代数式的取值范围
6.(多选)(2020江苏江阴南菁高级中学高一月考,)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则 (　　)
A.1≤x≤4　　　　　　B.-2≤y≤1
C.2≤4x+y≤15　　　　　　D.13≤x?y≤233
7.(2020江苏徐州第三中学高一月考,)已知满足1A.?(x,y)∈A,4x+2y<2　　　　　　B.?(x,y)∈A,4x+2y<2
C.?(x,y)∈A,4x+2y<10　　　　　　D.?(x,y)∈A,4x+2y>10
题组三　不等式的性质及其应用
8.(多选)(2020江苏南京师大附中高一期中,)下列四个条件中,能成为x>y的充分不必要条件的是 (　　)
A.xt2>yt2　　　　　　B.xt>yt
C.x>|y|　　　　　　D.0<1x<1y
9.(2020上海奉贤奉城高级中学高一月考,)某花店搞活动,6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰价格之和大于24元,4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰价格之和小于22元,那么2枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格相比 (　　)
A.2枝红玫瑰贵　　　　　　B.3枝黄玫瑰贵
C.一样贵　　　　　　D.不能确定
10.(多选)(2020江苏南通平潮高级中学高二期中,)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 (　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若aC.若aD.若a>0,b>0,则b2a+a2b≥a+b
11.(2020江苏苏州高新第一中学高一月考,)若-1答案全解全析
第3章　不等式
3.1　不等式的基本性质
必练基础
1.C　对于A,应为x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x2.C　由题意可得x≥7,y≥6,0.6x+0.7y≤10,x,y∈N*.
3.答案　8-x-2.50.1×0.2x≥20
解析　若提价后该杂志的单价为x元,则销售量为8-x-2.50.1×0.2万本,
则提价后销售的总收入为8-x-2.50.1×0.2x万元,
所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为8-x-2.50.1×0.2x≥20.
4.A　x2-(x2-x+1)=x-1.因为x>1,所以x-1>0,即x2-(x2-x+1)>0,所以x2>x2-x+1.故选A.
5.D　由题意得a2=(2+6)2=8+212,c2=(3+5)2=8+215,
易知c2>a2,∴c>a.
∵b2-c2=16-(8+215)=8-215>0,
∴b2>c2,∴b>c.∴b>c>a.故选D.
6.C　设原手机的“屏占比”为ba,新手机的“屏占比”为b+ma+m(a>b>0,m>0).
因为b+ma+m?ba=(a-b)ma(a+m)>0,即b+ma+m>ba,所以新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比变大.故选C.
7.答案　1x解析　显然三个式子都是负数.
因为y2xyx=y∈(0,1),所以y2x>yx.
因为yx1x=y∈(0,1),所以yx>1x.
综上,1x8.D　∵b<0,d<0,a>0,c<0,
∴bd>0,bd>0,ac<0,ac<0,
∴bd>ac,ac令a=1,b=-1,d=-5,c=-2,
则a-c∵b<00,∵d∴a-b>d-c,即a+c>b+d,故D正确.
解题模板　两个式子比较大小的常用方法:①作差和0比;②作商和1比;③直接利用不等式的性质得到大小关系.
9.C　对于①,由a2>b2,得|a|>|b|,不一定有a>b成立,故①不符合;
对于②,当a=-1,b=1时,1a<1b,但a>b不成立,故②不符合;
对于③,由ac2>bc2,知c≠0,所以a>b成立,当a>b成立时,不一定有ac2>bc2,故③符合.故选C.
10.A　因为a2=2a+c-b-1,
所以(a-1)2=c-b≥0,所以c≥b.
因为a+b2+1=0,所以a=-b2-1,
所以b-a=b+b2+1=b+122+34>0,所以b>a.所以c≥b>a.故选A.
11.答案　a解析　由a<0,-10,ab2<0,0ab2.
因为ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a.
所以a12.B　由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,
两式相加得4<2x-y<7.故选B.
13.C　解法一:令s=x-y,t=4x-y,
则x=t-s3,y=t-4s3,
∴3x+y=3×t-s3+t-4s3=4t-7s3,
∵-4≤s≤-1,-1≤t≤5,∴73≤?7s3≤283,-43≤4t3≤203,∴1≤4t-7s3≤16,
∴3x+y的最大值为16.
解法二:设3x+y=m(x-y)+n(4x-y)=(m+4n)x+(-m-n)y,m,n∈R,则m+4n=3,且-m-n=1,解得m=-73,n=43,
∵-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,
∴73≤?73(x-y)≤283,-43≤43(4x-y)≤203,
∴1≤-73(x-y)+43(4x-y)≤16,
即1≤3x+y≤16,∴3x+y的最大值为16.
故选C.
14.答案　ab|13解析　由1515.解析　(1)0≤|a|≤3.
(2)-1(3)依题意得-2<-b≤-1,又-2(4)由-2由1≤b<2得-6<-3b≤-3②,
①+②,得-10<2a-3b≤3.
选练素养
1.D　p=(a2+a+1)-1=1a2+a+1=1a+122+34>0,
q=a2-a+1=a-122+34>0.
∵qp=a2-a+1(a2+a+1)-1=(a2-a+1)(a2+a+1)=(a2+1)2-a2=(a2)2+a2+1≥1,当且仅当a=0时取等号,
∴p≤q.故选D.
2.B　设从寝室到教室的路程为s,甲、乙两人的步行速度为a,跑步速度为b,且0甲所用的时间t甲=s2a+s2b=s(a+b)2ab,
乙所用的时间t乙=2sa+b,
∴t甲t乙=s(a+b)2ab×a+b2s=(a+b)24ab.
∵(a+b)2=(a-b)2+4ab>0,
∴t甲t乙=(a-b)2+4ab4ab=(a-b)24ab+1>1,
∴t甲>t乙,即先到教室的是乙.故选B.
3.答案　z>y>x
解析　由a>b>c>0,可得a-b>0,b-c>0.
易得x>0,y>0,z>0.
因为y2-x2=b2+(c+a)2-[a2+(b+c)2]=2c·(a-b)>0,即y2>x2,所以y>x.
因为z2-y2=c2+(a+b)2-[b2+(c+a)2]=2a·(b-c)>0,即z2>y2,所以z>y.
所以z>y>x.
4.答案　ab2+ba2≥1a+1b
解析　ab2+ba2?1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,
∴(a+b)(a-b)2a2b2≥0,∴ab2+ba2≥1a+1b.
5.解析　设该单位职工有n(n∈N*)人去学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,则y1=x+34x·(n-1)=14x+34nx,y2=45nx.
y1-y2=14x+34nx?45nx=14x?120nx=14x1-n5.
当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1当n<5时,y1>y2.
因此,当该单位去的人数为5时,两车队收费相同;当该单位去的人数大于5时,甲车队更优惠;当该单位去的人数小于5时,乙车队更优惠.
6.AC　因为-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,所以3≤3x≤12,则1≤x≤4,故A正确;
易得-6≤-2x-2y≤2,4≤2x-y≤9,所以-2≤-3y≤11,则-113≤y≤23,故B错误;
易知4x+y=2(x+y)+2x-y,所以2≤4x+y≤15,故C正确;
易知x-y=-13(x+y)+23(2x-y),所以53≤x?y≤193,故D错误.故选AC.
7.C　令4x+2y=μ(x+y)+λ(x-y)=(μ+λ)x+(μ-λ)y,μ,λ∈R,则μ+λ=4,μ-λ=2,解得μ=3,λ=1,
故4x+2y=3(x+y)+x-y.
因为1又-1所以?(x,y)∈A,4x+2y<10.故选C.
8.ACD　对于A,若xt2>yt2,则t2≠0,x>y,反之,若x>y,不能得出xt2>yt2,故A符合;对于B,当xt>yt时,若t<0,则x|y|,又|y|≥y,可得x>y,反之,若x>y,不能得出x>|y|,故C符合;对于D, 在(0,+∞)上,y=1x的值随x的增大而减小,所以当0<1x<1y时,x>y,反之,若x>y,不能得出0<1x<1y,故D符合.故选ACD.
9.答案　A
信息提取　①6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰价格之和大于24元;②4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰价格之和小于22元.
数学建模　根据不等关系构建不等式模型.设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x元,y元,由题意得到6x+3y,4x+5y的取值范围,利用待定系数法将2x-3y表示为6x+3y,4x+5y的线性组合,然后利用不等式的基本性质比较2x,3y的大小,进而得出结论.
解析　设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x元,y元,
由题意可得6x+3y>24,4x+5y<22.(*)
令2x-3y=m(6x+3y)+n(4x+5y)=(6m+4n)x+(3m+5n)y,m,n∈R,
则6m+4n=2,3m+5n=-3,解得m=119,n=-43,
所以2x-3y=119(6x+3y)-43(4x+5y).
由(*)得119(6x+3y)>883,
-43(4x+5y)>-883,
所以119(6x+3y)-43(4x+5y)>0,即2x-3y>0,所以2x>3y.
所以2枝红玫瑰贵.故选A.
10.BCD　对于A选项,当c=0时,ac2=bc2,A选项错误;
对于B选项,a+1b?b+1a=a?b+1b-1a=a?b+a-bab=(a-b)1+1ab,
∵a0,∴1+1ab>0,
∴(a-b)1+1ab<0,
∴a+1b?b+1a<0,
∴a+1b对于C选项,ba?b+ca+c=b(a+c)-a(b+c)a(a+c)=c(b-a)a(a+c),
∵a0,a+c<0,
∴c(b-a)a(a+c)<0,∴ba?b+ca+c<0,
∴ba对于D选项,b2a+a2b-(a+b)=b2-a2a+a2-b2b=(b2-a2)1a-1b=(b2-a2)(b-a)ab=(b+a)(b-a)2ab,
∵a>0,b>0,∴(b+a)(b-a)2ab≥0,即b2a+a2b-(a+b)≥0,∴b2a+a2b≥a+b,D选项正确.故选BCD.
11.证明　因为-1(x-y)2-(1-xy)2=x2+y2-2xy-(1-2xy+x2y2)=x2+y2-1-x2y2=-(y2-1)(x2-1).
因为-1所以(x-y)2<(1-xy)2,
所以x-y1-xy2<1.