4.2 对数同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第4章（Word含答案解析）

4.2　对数
4.2.1　对数的概念
4.2.2　对数的运算性质
必练基础
题组一　对数的概念及性质
1.给出下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(2021江苏连云港白塔高级中学高一月考)在N=log(5-b)(b-2)中,实数b的取值范围是 (　　)
A.b<2或b>5　　　　　　B.2C.43.(2021江苏无锡锡东高级中学高一期中)下列指数式与对数式的互化中不正确的是 ()
A.100=1与lg 1=0　　　　　　B.27-13=13与log2713=?13
C.log39=2与912=3　　　　　　D.log55=1与51=5
4.(2021江苏苏州黄埭中学高一期中)若loga14=2,则实数a= (　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.12　　　　D.14
5.(2021江苏南京第九中学高一月考)方程2x=7的解为　　　　.?
题组二　对数的运算性质
6.(2021江苏淮安中学高一期中)计算log210+log20.4= (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
7.(2020北京昌平第二中学高一期中)下列各式正确的是(　　)
A.π2π4=π8　　　　　　B.e23=e3
C.ln6ln3=ln 2　　　　　　D.lg 4+lg 25=2
8.(2021江苏东台安丰中学高一期中)化简827-13+lg10= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
9.(2021江苏连云港石榴高级中学高一月考)若1 000a=5,100b=2,则3a+2b=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.2
10.计算:
(1)(lg 2)2+2lg 2×lg 5+(lg 5)2;
(2)log2716log38.
题组三　换底公式的运用
11.(2021江苏常州武进高级中学高一期中)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210= (　　)
A.12a+b　　　　B.1a+2b　　　　C.2a+b　　　　D.2b+a
12.(2021江苏扬州邗江中学高一月考)记lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log572=　　　　.?
13.(2021山东临沂高一期末)已知实数a,b>0,且loga2=logb3=π,则log3a·log2b=　　　　.?
14.计算:2log24+3log21-lg 3·log32-lg 5=　　　　.?
题组四　对数的实际应用
15.(2021江苏南通马塘中学高一月考)某种溶液含有杂质,为达到实验要求,杂质含量不能超过0.1%,而这种溶液最初杂质含量为2%,若每过滤一次杂质含量减少13,则为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为(可能用到的数据:lg 2=0.301,lg 3=0.477 1) ()
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
16.(2021江苏徐州七中高一期中)已知抽气机每次抽出容器内空气的60%,设原来容器内空气为1,通过x次抽气后容器内空气为y.
(1)写出y关于x的关系式;
(2)要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(参考数据:lg 2≈
0.301 0)
选练素养
题组一　对数的概念及性质
1.(2021江苏昆山中学高一月考,)下列说法正确的是(　　)
A.若M=N,则log2M=log2N
B.若2M=2N,则M=N
C.若log2M2=log2N2,则M=N
D.若M2=N2,则M-12=N-12
2.(多选)(2021江苏南京江浦高级中学高一月考,)下面给出的四个式子(式中a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y)中错误的是 (　　)
A.logax+logay=loga(xy)　　　　　　B.logax·logay=loga(x+y)
C.logaxy=loga(x-y)　　　　　　D.loga(x-y)=logaxlogay
3.(2021江苏宜兴中学高一期中,)已知6a=2,b=log36,计算下列式子的值:
(1)36a+3b;
(2)1a-1(b-1).
题组二　对数的运算性质及换底公式的应用
4.(2021江苏泰兴黄桥中学高一月考,)设12a=5b=m,且1a?1b=2,则m= (　　)
A.110　　　　B.10　　　　C.10　　　　D.1010
5.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为 (　　)
A.160　　　　B.60　　　　C.2003　　　　D.320
6.(多选)(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知2a=3,b=log32,则 (　　)
A.a+b>2　　　　　　B.ab=1
C.3b+3-b=829　　　　　　D.a(b+1)+12a=log912
7.(多选)(2021江苏苏州震泽中学高一月考,)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)
A.1a<1b　　　　　　B.ab<0
C.a+b<0　　　　　　D.ab8.()已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga3=　　　　.?
9.(2021江苏扬州高邮中学高一期中,)设3x=4y=36,求2x+1y的值.
题组三　对数的综合应用
10.(2021上海复旦大学附属中学高一期末,)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+SN,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫作信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1 000提升至5 000,则C大约增加了(参考数据:lg 2≈0.301 0) (　　)
A.20%　　　　B.23%　　　　C.28%　　　　D.50%
11.(2021江苏南京大厂高级中学高一期中,)正实数x,y满足xlg yylg x=100,则xy的取值范围是　　　　.?
12.(2021江苏淮安盱眙中学高一月考,)比较logn(n+1)与log(n+1)(n+2)(n∈N*,n≥2)的大小,并证明.
答案全解全析
4.2　对数
4.2.1　对数的概念
4.2.2　对数的运算性质
必练基础
1.B　对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.
2.D　由对数的概念得b-2>0,5-b>0,5-b≠1,解得23.C　在选项A中,100=1?lg 1=0,故A正确;
在选项B中,27-13=13?log2713=?13,故B正确;
在选项C中,log39=2?32=9,故C错误;
在选项D中,log55=1?51=5,故D正确.
故选C.
解题模板　指数式与对数式互化,关键是弄清各部位的去向,其中a>0且a≠1,N>0.
4.C　由loga14=2,得a2=14,又a>0且a≠1,所以a=12.故选C.
5.答案　x=log27
解析　根据对数的概念可得方程2x=7的解为x=log27.
6.C　log210+log20.4=log2(10×0.4)=log24=log222=2.故选C.
7.D　对于选项A,π2π4=π2+4=π6,故A错误;
对于选项B,e23=3e2,故B错误;
对于选项C,ln6ln3=log36,故C错误;
对于选项D,lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2,故D 正确.故选D.
8.B　827-13+lg10=233-13+lg 1012=23-1+12lg 10=32+12=2.
故选B.
9.B　由1 000a=5,得a=log1 0005.由100b=2,得b=log1002.
∴3a+2b=3log1 0005+2log1002=3log1035+2log1022=lg 5+lg 2=lg 10=1.故选B.
10.解析　(1)(lg 2)2+2lg 2×lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=(lg 10)2=1.
(2)log2716log38=log3324log323=43log323log32=49.
警示　只有当式子中所有的对数式都有意义时,对数的运算性质才成立.如log2[(-3)×(-5)]是存在的,但log2(-3)与log2(-5)均不存在,故不能写成log2[(-3)×
(-5)]=log2(-3)+log2(-5).
11.A　log1210=1lg12=1lg3+2lg2=12a+b.故选A.
12.答案　3a+2b1-a
解析　log572=lg72lg5=lg(8×9)lg102=lg8+lg91-lg2=3lg2+2lg31-lg2.
因为lg 2=a,lg 3=b,所以log572=3a+2b1-a.
13.答案　1π2
解析　因为实数a,b>0,且loga2=logb3=π,所以由换底公式可得log3a·log2b=lgalg3·lgblg2=lgalg2·lgblg3=1loga2·1logb3=1π2.
14.答案　4
解析　原式=4+30-lg 3·lg2lg3-lg 5=4+1-(lg 2+lg 5)=4.
15.B　若有100单位的溶液,则初始的杂质含量为2单位.开始过滤后,溶液中杂质的含量为:1次后,2×23;2次后,2×232;……;n次后,2×23n.
根据题意,得2×23n<0.1,可得n>1+lg2lg3-lg2≈7.4,所以为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为8.故选B.
方法总结　换底公式在应用时究竟换成以什么为底数要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
16.解析　(1)y=(1-60%)x=0.4x(x∈N).
(2)由题意得(1-60%)x<0.1%,即0.4x<0.001,∴x>log0.40.001.
∵log0.40.001=lg0.001lg0.4=31-2lg2≈7.54,
∴x≥8,x∈N.∴至少抽8次.
解题模板　在解答实际问题时,要先提炼已知条件中的有用信息,再找出其中的数量关系,最后利用对数的有关知识进行解答.
选练素养
1.B　选项A中,当M=N≤0时,log2M,log2N无意义,故错误;
选项B中,若2M=2N,则M=N,故正确;
选项C中,若log2M2=log2N2,则M2=N2,所以M=N或M=-N,故错误;
选项D中,若M2=N2,则M=N或M=-N,当M=-N时,不成立,故错误.故选B.
2.BCD　选项A中,由对数的运算性质知,当a>0,a≠1,x>0,y>0时,logax+logay=loga(xy),故A正确;
选项B中,当x=2,y=1时,满足x>0,y>0,x>y,但logax·logay=0≠loga(x+y)=loga3,故B错误;
选项C中,当x=2,y=1时,满足x>0,y>0,x>y,但logaxy=loga2≠loga(x-y)=0,故C错误;
选项D中,当x=2,y=1时,满足x>0,y>0,x>y,但logaxlogay=loga20无意义,故D错误.
故选BCD.
3.解析　(1)因为6a=2,所以36a=(6a)2=4.
因为b=log36,所以3b=6.
所以36a+3b=4+6=10.
(2)因为6a=2,所以a=log62,1a=log26,1a-1=log26-1=log23.
因为b=log36,所以b-1=log36-1=log32.
所以1a-1(b-1)=log23×log32=1.
方法总结　在解决对数问题时,我们可以把它转化为指数问题,利用分数指数幂的有关运算性质来解决;反过来,我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题来解法.
4.D　∵12a=5b=m,
∴a=log12m,b=log5m.
又1a?1b=2,∴logm12-logm5=2,
即logm110=2,∴m=1010.故选D.
5.B　依题意得logmx=124,logmy=140,
logm(xyz)=112?logmx+logmy+logmz=112.
∴logmz=112?124?140=160.
∴logzm=60,故选B.
6.ABD　由2a=3,得a=log23.
ab=log23×log32=1,故B正确;
a+b>2ab=2,故A正确;
3b+3-b=3log32+3log312=2+12=52,故C错误;
a(b+1)+12a=ab+a+12a=2+a2a=1a+12=log32+log33=log323=log912log93=2log912=log912,故D正确.故选ABD.
7.BCD　易得a=log0.20.3=lg0.3-lg5>0,b=log20.3=lg0.3lg2<0,∴1a>0>1b,故A错误;
a+b=lg0.3lg2?lg0.3lg5=lg0.3(lg5-lg2)lg2lg5=lg0.3·lg52lg2lg5,
ab=-lg0.3lg2·lg0.3lg5=lg0.3·lg103lg2lg5,
∵lg103>lg52,lg0.3lg2lg5<0,
∴ab故选BCD.
8.答案　-716
解析　对aa=(9a)8a,两边取自然对数得ln aa=ln(9a)8a,即aln a=8aln(9a),
所以ln a=8(ln 9+ln a),
解得ln a=-167ln 3,
故loga3=ln3lna=ln3-167ln3=?716.
9.解析　∵3x=4y=36,
∴x=log336,y=log436.
∴1x=1log336=1log3636log363=log363,
1y=1log436=1log3636log364=log364,
∴2x+1y=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.
10.B　将信噪比SN从1 000提升至5 000,C大约增加了Wlog2(1+5 000)-Wlog2(1+1 000)Wlog2(1+1 000)=log25 001-log21 001log21 001=lg5 001lg2-lg1 001lg2lg1 001lg2≈lg5 000lg2-lg1 000lg2lg1 000lg2=lg53=lg1023=1-lg23≈0.23,所以C大约增加了23%.故选B.
11.答案　0,1100∪[100,+∞)
解析　对xlg yylg x=100,两边取常用对数得2lg xlg y=2,即lg xlg y=1,
所以1=lg xlg y≤lgx+lgy22=lg(xy)22,即[lg(xy)]2≥4,当且仅当x=y=10时取等号,
所以lg(xy)≥2或lg(xy)≤-2,解得xy≥100或0所以xy的取值范围是0,1100∪[100,+∞).
12.解析　logn(n+1)>log(n+1)(n+2)(n∈N*,n≥2).证明如下:
因为n∈N*,且n≥2,
logn(n+1)=lognn+1n·n=1+lognn+1n>1+log(n+1)n+1n,
log(n+1)(n+2)=log(n+1)n+2n+1·(n+1)=1+log(n+1)n+2n+1,
所以logn(n+1)-log(n+1)(n+2)>log(n+1)n+1n-log(n+1)n+2n+1=log(n+1)n+1n+log(n+1)n+1n+2=log(n+1)(n+1)2n(n+2)=log(n+1)1+1n2+2n>0,
所以logn(n+1)>log(n+1)(n+2)(n∈N*,n≥2).