5.2 函数的表示方法同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第5章（Word含答案解析）

5.2　函数的表示方法
必练基础
题组一　函数的表示方法
1.观察下表:
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)
5
1
-1
-3
3
5
g(x)
1
4
2
3
-2
-4
则f(f(-1)-g(3))= (　　)
A.-1　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
2.如图,李老师早晨出门锻炼,一段时间内沿半圆形路径M→A→C→B→M匀速慢跑一周,那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是　 (　　)
3.(2021江苏南京燕子矶中学高一月考)某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x(x为正整数)与销售额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
题组二　函数解析式的求法
4.(2021江苏无锡辅仁高级中学高一期中)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1),且过点(2,2),则该二次函数的解析式为 (　　)
A.y=x2+1　　　　　　B.y=-(x-1)2+1
C.y=(x-1)2+1　　　　　　D.y=(x-1)2-1
5.(2021山东济南章丘四中高一期中)若函数f(x)满足f(x)=x+2,则f(3x+2)的解析式是 (　　)
A.f(3x+2)=9x+8　　　　　　B.f(3x+2)=3x+2
C.f(3x+2)=-3x-4　　　　　　D.f(3x+2)=3x+4
6.(2021北京房山高一上期中)为引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　千瓦时.?
7.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　. ?
8.已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+3x,那么f(x)的解析式为　　　　　　　　　　. ?
题组三　分段函数
9.(2020江苏海安曲塘高级中学高一期末)已知f(x)=x-5,x≥6,f(x+2),x<6,则f(f(3))= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
10.函数f(x)=2x2,0≤x<1,2,1≤x<2,3,x≥2的值域是 (　　)
A.R　　　　　　B.[0,+∞)
C.[0,3]　　　　　　D.[0,2]∪{3}
11.已知函数f(x)=x+1,-1≤x≤0,x2+1,012.已知函数f(x)=1+x-|x|4.
(1)用分段函数的形式表示函数f(x);
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)在同一平面直角坐标系中再画出函数g(x)=1x(x>0)的图象,观察图象,写出当x>0时,不等式f(x)>1x的解集.

选练素养
题组一　函数的表示方法及其应用
1.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,都有一个确定的y与之对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f 10f12的值为 (　　)
x
x≤1
1x≥2
f(x)
1
2
3
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(2021江苏镇江大港中学高一期末,)如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A→B→C→M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是 (　　)
3.(2020江苏扬州中学高一期末,)已知函数f(x)满足f2-1x+2f2+1x=3x,则f(-2)=　　　.?
题组二　函数解析式的求法
(2021江苏宿迁宿豫中学高一期中,)f(x-1)=-x,则函数f(x)的表达式为
(　　)
A.f(x)=x2+2x+1(x≥0)　　　　　　
B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1)
C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0)　　　　　　
D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1)
5.(多选)(2021江苏连云港石榴高级中学高一月考,)若函数f(1-2x)=1-x2x2(x≠0),则下列结论正确的是 (　　)
A.f 12=15
B.f(2)=-34
C.f(x)=4(x-1)2-1(x≠0)
D.f 1x=4x2(x-1)2-1(x≠0且x≠1)
6.(2021山东淄博桓台一中高一月考,)下图中所表示的函数的解析式为 (　　)
A.y=32|x-1|(0≤x≤2)
B.y=32?32|x-1|(0≤x≤2)
C.y=32-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
7.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高一上第一次阶段性验收,)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0)过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若函数y=g(x)满足g(2x+1)=f(x),求函数y=g(x)的解析式.
题组三　分段函数及其应用
8.(2020江苏苏州实验中学高一期末,)设f(x)=x,0A.14　　　　B.54　　　　C.14或54　　　　D.2
9.(多选)(2020江苏江阴青阳中学高一月考,)已知函数f(x)=x+2,x≤1,x2,1A.14　　　　B.32　　　　C.?32　　　　D.98
10.(多选)()已知函数f(x)=x+2,x≤-1,x2,-1A. f(x)的值域为(-∞,4)
B. f(1)=3
C.若f(x)=3,则x的值是3
D. f(x)<1的解集为(-1,1)
11.(2020江苏苏州新草桥中学高一月考,)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(x)+x+4,xA.-94,0∪(1,+∞)　　　　　　B.[0,+∞)
C.-94,+∞　　　　　　D.-94,0∪(2,+∞)
12. (2020北京人大附中高一上期中,)已知函数f(x)=x+2,x≤0,-x+2,x>0,则方程f(x)=x2的解集为　　　　.?
13.()设函数 f(x)=23x-1,x≥0,1x,x<0,若f(a)>a,则实数a的取值范围是　　　　.?
14.(2021江苏海头高级中学高一期中,)新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围较广的全球性大流行病.面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾,中央出台了一系列助力复工复产政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复,市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计,某条快递线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足4≤t≤15,t∈N,平均每趟快递车辆的载件量p(t)(单位:个)与发车时间间隔t(单位:分钟)近似地满足p(t)=1 800-15(9-t)2,4≤t<9,1 800,9≤t≤15,其中t∈N.
(1)若平均每趟快递车辆的载件量不超过1 500个,求发车时间间隔;
(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益q(t)=6p(t)-7 920t-80(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大?并求出最大净收益.
15.()学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系如下:当x∈(0,12]时,图象是开口向下的二次函数图象的一部分,顶点是A(10,80),且过点B(12,78);当x∈(12,40]时,图象是BC所在直线的一部分,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数解析式;
(2)教师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳?
答案全解全析
5.2　函数的表示方法
必练基础
1.D　由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4,∴ f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,故选D.
2.D　由题意得,从M到A的过程中,李老师与M的距离在增加,由A经C到B的过程中,李老师与M的距离不变,都是半圆的半径长,由B到M的过程中,李老师与M的距离逐渐减小,故选D.
3.解析　(1)列表法:
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法:如图所示.
(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
4.C　设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+1(a≠0),将(2,2)代入上式,得2=a(2-1)2+1,解得a=1,所以y=(x-1)2+1.故选C.
5.D　在f(x)=x+2中,将x换为3x+2,可得f(3x+2)=3x+2+2=3x+4.故选D.
6.答案　580
信息提取　①居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增;②第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240 千瓦时但不超过400 千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时;③某户居民10月份交纳的电费为360元.
数学建模　以生活中的“阶梯电价”为背景,构建分段函数模型,利用分段函数解决问题.
解析　设某户居民一个月的用电量为x千瓦时,电费为f(x)元,则当0≤x≤240时,f(x)=0.5x;当240400时,f(x)=0.5×240+0.6×160+0.8×(x-400)=0.8x-104.
故f(x)=0.5x(0≤x≤240),0.6x-24(240400).
根据此户居民10月份交纳的电费为360元可知此户居民用到了第三梯度电量,令0.8x-104=360,得x=580,所以此户居民10月份的用电量为580千瓦时.
7.答案　3x-2
解析　 设f(x)=kx+b(k≠0),
则2(2k+b)-3(k+b)=5,2b-(-k+b)=1,整理得k-b=5,k+b=1,
解得k=3,b=-2,所以f(x)=3x-2.
8.答案　f(x)=-x-2x(x≠0)
解析　函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+3x,即f(x)-2f1x=3x.
用1x代替上式中的x,可得f1x-2f(x)=3x.由f(x)-2f1x=3x,f1x-2f(x)=3x,消去f1x,得f(x)=-x-2x(x≠0).
9.A　由函数f(x)=x-5,x≥6,f(x+2),x<6,
得f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2,
所以f(f(3))=f(2)=f(4)=f(6)=6-5=1.
故选A.
10.D　当x∈[0,1)时, f(x)∈[0,2);
当x∈[1,2)时, f(x)∈{2};
当x∈[2,+∞)时, f(x)∈{3}.
所以f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
11.A　当x=-1时, f(x)=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时, f(x)=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时, f(x)=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.
12.解析　(1)当x≥0时, f(x)=1+x-x4=1;
当x<0时, f(x)=1+x+x4=12x+1.
所以f(x)=1,x≥0,12x+1,x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)函数g(x)=1x(x>0)的图象如(2)中图象所示.当f(x)>1x时, f(x)的图象在g(x)的图象的上方,所以由(2)中图象可知f(x)>1x的解集是{x|x>1}.
选练素养
1.D　∵12∈(-∞,1],∴f12=1,
∴10f12=10,∴f10f12=f(10).又∵10∈[2,+∞),∴f(10)=3,故选D.
2.A　当P在AB上时,S△APM=12·BC·AP=x2,0当P在BC上时,S△APM=1-S△ADM-S△PCM-S△ABP=3-x4,1当P在CM上时,S△APM=5-2x4,2结合选项知A正确.
3.答案　-34
解析　由题意可得,
f2-1x+2f2+1x=3x,f2+1x+2f2-1x=-3x.
解得f2-1x=-3x,f2+1x=3x,
令2+1x=-2,得x=-14,则f(-2)=3×-14=?34.
4.D　令t=x-1(t≥-1),则x=(t+1)2,
所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1,t≥-1,
所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D.
警示　利用换元法求函数解析式时要时刻关注函数的定义域.
5.AD　令1-2x=t(t≠1),则x=1-t2.由f(1-2x)=1-x2x2(x≠0),得f(t)=1-1-t221-t22=4(t-1)2-1(t≠1),则f(x)=4(x-1)2-1(x≠1).
对于选项A,f12=15,故A正确;
对于选项B,f(2)=3≠-34,故B错误;
对于选项C,f(x)=4(x-1)2-1(x≠1),故C错误;
对于选项D,f1x=41x-12?1=4x2(x-1)2-1(x≠0且x≠1),故D正确.
故选AD.
6.B　当0≤x≤1时,设y=kx,由题中图象过点1,32,得k=32,所以y=32x,0≤x≤1;
当1所以y=-32x+3,1故函数的解析式为y=32?32|x-1|(0≤x≤2).故选B.
7.解析　(1)由题意得f(-3)=9a-3b+3=0,-b2a=-1,
解得a=-1,b=-2,
∴f(x)=-x2-2x+3.
(2)g(2x+1)=f(x)=-x2-2x+3,
设2x+1=t,则x=t-12,
∴g(t)=-t-122?2·t-12+3=?t24?t2+154,
∴g(x)=-x24?x2+154.
8.C　∵f(x)=x,0∴0解得a=14或a=54.故选C.
9.AB　当x≤1时,f(x)=x+2=94,解得x=14;
当1当x≥2时,f(x)=2x=94,解得x=98(舍去).
故选AB.
10.AC　当x≤-1时, f(x)的取值范围是(-∞,1],当-111.D　当x0,解得x>2或x<-1,此时f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=x+122+74,其最小值为f(-1)=2,无最大值,所以值域为(2,+∞).
当x≥g(x)时,x≥x2-2,解得-1≤x≤2,此时f(x)=g(x)-x=x2-2-x=x-122?94,其最小值为f12=?94,最大值为f(-1)=f(2)=0,所以值域为-94,0.
综上,函数f(x)的值域为-94,0∪(2,+∞),故选D.
12.答案　 {-1,1}
解析　方程f(x)=x2等价于x≤0,x+2=x2或x>0,-x+2=x2,解得x=-1或x=1,因此方程f(x)=x2的解集为{-1,1}.
13.答案　(-∞,-1)
解析　当a≥0时,由f(a)>a得23a-1>a,解得a<-3,与a≥0矛盾,舍去;当a<0时,由f(a)>a得1a>a,整理得a2-1>0,即(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1,又因为a<0,所以a<-1.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1).
14.解析　(1)当9≤t≤15时,p(t)=1 800>1 500,不满足题意,舍去.
当4≤t<9时,令1 800-15(9-t)2≤1 500,即t2-18t+61≥0,解得t≥9+25(舍去)或t≤9-25.
因为4≤t<9且t∈N,所以t=4.
所以发车时间间隔为4分钟.
(2)由题意可得q(t)
=-90t+4 410t+1 540,4≤t<9,t∈N,2 880t-80,9≤t≤15,t∈N.
当4≤t<9时,q(t)≤-290×4 410+1 540=280,当且仅当90t=4 410t,即t=7时,等号成立.
当9≤t≤15时,q(t)≤2 8809-80=240.
因为280>240,
所以当发车时间间隔为7分钟时,平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大,最大净收益为280元.
15.解析　(1)①当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),将(12,78)代入,解得a=-12,则f(x)=-12(x-10)2+80.
②当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0),易得f(x)=-x+90.
综上所述,
f(x)=-12(x-10)2+80,x∈(0,12],-x+90,x∈(12,40].
(2)由题意得f(x)>62,
即062或1262,
解得4因此教师在x∈(4,28)时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳.
解题模板　已知函数类型求函数解析式时,可用待定系数法.在分段函数问题中可根据自变量的不同取值,分别设出解析式并进行求解,再合并到一起利用函数知识解决实际问题.