3.2 基本不等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第3章（Word含答案解析）

3.2　基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0)
必练基础
题组一　对基本不等式的理解
1.(2020江苏连云港海头高级中学高一月考)不等式a+1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A.a=0　　　　B.a=12　　　　C.a=1　　　　D.a=2
2.(多选)(2020江苏徐州侯集高级中学高一月考)下列条件可使ba+ab≥2成立的有(　　)
A.ab>0　　　　　　B.ab<0
C.a>0,b>0　　　　　　D.a<0,b<0
3.下列各式中,对任何实数x恒成立的是 (　　)
A.x+1≥2x　　　　　　B.x2+1>2x
C.1x2+1≤1　　　　　　D.x+1x≥2
4.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b>2ab”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　D.既不充分又不必要条件
题组二　利用基本不等式比较大小
5.(2020江苏南京第九中学高一月考)设a>b>0,则下列不等式中成立的是(　　)
A.2aba+b>a+b2>ab　　　　　　B.a+b2>ab>2aba+b
C.a+b2>2aba+b>ab　　　　　　D.2aba+b>ab>a+b2
6.设M=n+1n3,N=n3+1n3+6,对于任意n>0,M,N的大小关系为 (　　)
A.M≥N　　　　　　B.M>N
C.M≤N　　　　　　D.不能确定
7.若a>b>c,则a-c2与(a-b)(b-c)的大小关系是　　　　　　　　　　.?
题组三　利用基本不等式求最值(取值范围)
8.(2020江苏江阴要塞中学高一月考)已知y=x+1x-2(x>0),则y有 (　　)
A.最大值0　　　　　　B.最小值0
C.最小值-2　　　　　　D.最小值2
9.(2020江苏常州奔牛高级中学高一月考)若x>2,则y=x+4x-2的最小值为 (　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.8
(2020江苏无锡第一中学月考)已知正数a,b满足ab=10,则a+2b的最小值是
(深度解析)
A.35　　　　B.310　　　　C.45　　　　D.210
11.(2020北京东直门中学高一期中)若对任意的x∈(0,+∞),都有x+1x≥a,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2]　　　　B.(-∞,2)　　　　C.(2,+∞)　　　　D.[2,+∞)
12.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知x,y均为正实数,且4x+y=1,则1x+1y的最小值是　　　　.?
13.若0题组四　利用基本不等式证明不等式
14.设x>0,求证:x+22x+1≥32.
15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>ab+bc+ca. 深度解析
题组五　利用基本不等式解决实际问题
16.(2020江苏镇江大港中学高一期中)一家商店使用一架两臂长不等的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5克的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5克的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金 (　　)
A.大于10克　　　　　　B.小于10克
C.等于10克　　　　　　D.不能判断
17.(2020广东广州荔湾高二期末)为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场正计划进行升级改造,改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为 (　　)
A.20 m　　　　　　B.50 m
C.1010 m　　　　　　D.100 m
18.(2020江苏兴化中学高一月考)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是　　　　元.?
19.(2020江苏南通平潮高级中学高二期中)2020年上半年,新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情暴发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0,10])万元的专项补贴,并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服.A公司在收到政府x万元补贴后,医用防护服产量增加到t=4-6x+2(万套),同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52+3x+45t)万元.设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大?
(注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-成本)
选练素养
题组一　利用基本不等式求最值
1.(2020江苏南通如东高级中学高一月考,)已知0A.12　　　　B.13　　　　C.14　　　　D.18
2.(2020江苏启东中学高一期中,)若x>1,则x-1x2+x-1的最大值为 (　　)
A.16　　　　B.14　　　　C.15　　　　D.13
3.(2020广东汕头澄海中学高一月考,)已知x>0,y>0,且x+y=1,则12x+xy+1的最小值是 (　　)
A.34　　　　B.1　　　　C.54　　　　D.32
4.(2019江苏宿迁沭阳高二上期中,)正数a,b满足2a+b=1,且2ab?4a2?b2≤t?12恒成立,则实数t的取值范围是 (　　)
A.-∞,22　　　　　　B.22,+∞
C.-22,22　　　　　　D.12,+∞
5.(2020江苏扬州中学高一期中,)已知x>0,y>0,且1x+1y=1,则9x1-x+4y1-y的最大值为　　　　.?
6.(2020山东菏泽高二期末,)已知x>y>0,求x2+4y(x-y)的最小值.
题组二　利用基本不等式证明不等式
7.(2020湖南长沙第一中学高一月考,)已知a、b、c为正数.
(1)若2a+b=2ab,证明:a+2b≥92;
(2)若a+b+c=1,证明:a2+b2+c2≥13.
8.()已知a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3.证明:(1)ab+bc≤322;
(2)a2b+c+b2c+a+c2a+b≥32.
9.(2020江苏南京田家炳高级中学高一月考,)(1)a>0,b>0,求证:ab+ba≥a+b(用比较法证明);
(2)除了用比较法证明,还可以有如下证法:
∵ba+a≥2b,当且仅当a=b时,等号成立,
ab+b≥2a,当且仅当a=b时,等号成立,
∴ba+ab+a+b=ba+a+ab+b≥2a+2b,
当且仅当a=b时,等号成立,
∴ab+ba≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
根据以上解题过程,解决下列问题:
①证明:若a>0,b>0,c>0,则a2b+b2c+c2a≥a+b+c,并指出等号成立的条件;
②试将上述不等式推广到n(n≥2)个正数a1,a2,…,an-1,an的情形,并证明.
题组三　基本不等式在实际问题中的应用
10.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a(a>0),技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x(x>0),则 (　　)
A.x=p+q2　　　　　　B.x=pq
C.x>p+q2　　　　　　D.x< p+q2
11.(多选)(2020江苏盐城高二期中,)某公司一年购买某种货物800吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是 (　　)
A.当x=40时,y取得最小值
B.当x=45时,y取得最小值
C.ymin=320
D.ymin=360
12.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3-2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是　　　　万元.?
13.(2020江苏扬州邗江中学高一期中,)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资80万元,根据行业规定,每座城市至少要投资20万元,由前期市场调研可知甲城市收益y1(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y1=-450x+40,20≤x<40,25,40≤x≤60,乙城市收益y2(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y2=12x+20.
(1)当甲城市的投入成本为25万元时,求甲、乙两座城市的投资的总收益;
(2)试问如何安排投入成本,才能使甲、乙两座城市的投资的总收益最大?
答案全解全析
3.2　基本不等式
ab≤a+b2(a,b≥0)
必练基础
1.C　根据基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0),当且仅当a=b时,等号成立,得a+1≥2a中,当且仅当a=1时,等号成立.
2.ACD　根据基本不等式的条件知ba>0,ab>0,a,b同号即可.
3.C　对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于C,x2+1≥1恒成立,所以1x2+1≤1恒成立;对于D,当x<0时,x+1x≤-2,故D不恒成立.故选C.
4.D　若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2ab,所以“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的充分条件;若a+b>2ab,取a=1,b=0,则b不是正数,所以“a,b为正数”不是“a+b>2ab”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2ab”的既不充分又不必要条件,故选D.
5.B　∵a>b>0,∴a+b2>ab,2aba+b<2ab2ab=ab,∴a+b2>ab>2aba+b.故选B.
6.A　M-N=n+1n3?n3?1n3-6
=n3+1n3+3n·1n2+3n2·1n?n3?1n3-6
=3n+1n-6.
∵n>0,∴n+1n≥2n·1n=2,当且仅当n=1时,等号成立,
∴3n+1n-6≥0,∴M≥N.
故选A.
7.答案　a-c2≥(a-b)(b-c)
解析　因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
8.B　因为x>0,所以y=x+1x?2≥2x·1x-2=0,当且仅当x=1时取等号,
故y有最小值0,无最大值.故选B.
9.C　因为x>2,所以x-2>0,
所以y=x+4x-2=x?2+4x-2+2≥2(x-2)·4x-2+2=6,
当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,等号成立,
故y=x+4x-2的最小值为6.故选C.
10.C　因为a>0,b>0,ab=10,所以a+2b≥22ab=45,当且仅当a=25,b=5时,等号成立,所以a+2b的最小值为45.故选C.
导师点睛　利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正,判断参数是不是正的;二定,看和或积是不是定值(和定积最大,积定和最小);三相等,验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数在不在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).
11.A　因为x∈(0,+∞),
所以x+1x≥2x·1x=2,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,
所以a≤2.故选A.
12.答案　9
解析　1x+1y=1x+1y(4x+y)=4+1+yx+4xy≥5+24=9,当且仅当yx=4xy,且4x+y=1,即x=16,y=13时,等号成立.
故1x+1y的最小值是9.
13.解析　∵00.
∴x1-4x2=12·4x2·1-4x2≤12·4x2+1-4x22=14,当且仅当x=24时取等号,∴x1-4x2的最大值为14.
14.证明　因为x>0,所以x+12>0,
所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12?12≥2x+12·1x+12?12=32,
当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x+22x+1≥32.
15.证明　∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ca>0,
∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca),
即a+b+c≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时,等号成立).
∵a,b,c为不全相等的正实数,
∴等号不成立,
∴a+b+c>ab+bc+ca.
方法技巧　证明不等式时,要观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征进行拆项、变形、配凑等,使之满足使用基本不等式的条件.
16.答案　A
信息提取　①天平两臂长不等;②分两次将5克的砝码分别放在天平左、右盘中,然后取出一些黄金放在天平右、左盘中使天平平衡;③实际购买黄金量与10克比较.
数学建模　以实际生活中的天平作为背景,构建关于基本不等式的实际应用数学模型.先设出天平的左、右臂长分别为m,n(m≠n)以及第一次加黄金x克,第二次加黄金y克,再根据题意得出等量关系,利用基本不等式求出x+y的取值范围,从而得出实际问题的结论.
解析　设天平的左、右臂长分别为m,n(m≠n),第一次加黄金x克,第二次加黄金y克,则5m=xn,且(5+y)m=(x+5)n,即my=5n,
所以x+y=5mn+5nm=5mn+nm≥5×2mn×nm=10,当且仅当m=n时,等号成立.
因为m≠n,所以等号不成立,所以x+y>10.故选A.
17.B　设BC=x m(x>0),则CD=1 000x m,
所以长方形A1B1C1D1的面积S=(x+10)·1 000x+4=1 040+4x+10 000x≥1 040+24x·10 000x=1 440,当且仅当4x=10 000x,即x=50时,等号成立,
所以当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为50 m.故选B.
18.答案　160
解析　设底面矩形的一边长为x m(x>0),
则其邻边长为4x m.
设该容器的总造价为y元,则y=4×20+2×x+4x×1×10=80+20x+4x≥80+20×2x·4x=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立.
因此当x=2时,y取得最小值160,
即该容器的最低总造价为160元.
19.解析　由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).
因为t=4-6x+2,
所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+27×4-6x+2?52=?2x?162x+2+56,x∈[0,10].
因为-2x-162x+2+56=-2(x+2)-162x+2+60≤?2324+60=24,当且仅当2(x+2)=162x+2,即x=7时取等号,
所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.
选练素养
1.D　因为0当且仅当2x=1-2x,即x=14时取等号,
所以x(1-2x)的最大值为18.故选D.
2.C　令t=x-1,则x=t+1,t>0,
x-1x2+x-1=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t·1t+3=15,
当且仅当t=1,即x=2时,等号成立.故选C.
3.C　由x+y=1,得y=1-x,
所以12x+xy+1=12x+x2-x=?1+3x+2-2x2+4x.
因为x>0,y>0,
所以0令3x+2=t(2则x=13(t-2),
所以-1+3x+2-2x2+4x=?1+9-2t-32t+20,
由基本不等式可得-2t-32t≤-16,当且仅当t=16t,即t=4时,等号成立,此时3x+2=4,解得x=23,
所以-2t-32t+20≤-16+20=4,
所以-1+9-2t-32t+20≥54,
所以12x+xy+1的最小值是54.故选C.
4.B　∵2a+b=1,
∴4a2+4ab+b2=1,∴4a2+b2=1-4ab,
∴2ab?4a2?b2=2ab-(4a2+b2)=2ab-(1-4ab)=2ab+4ab?1=2×2ab+2×2a×b?1≤2×2a+b2+2×2a+b22?1=22+2×14?1=22?12,当且仅当2a=b,且2a+b=1,即a=14,b=12时取等号,
∴2ab?4a2?b2的最大值为22?12.
由题意得t-12≥22?12,
∴t≥22.
5.答案　-25
解析　因为x>0,y>0,且1x+1y=1,所以x>1,y>1,且x+yxy=1,即x+y=xy,
所以9x1-x+4y1-y=9x-9+91-x+4y-4+41-y=?9?4?9x-1+4y-1=?13?9x-1+4y-1.
因为9x-1>0,4y-1>0,
所以9x1-x+4y1-y=?13?9x-1+4y-1≤?13?29x-1·4y-1=?13?236xy-(x+y)+1=-13-12=-25,
当且仅当9x-1=4y-1,且x+y=xy,即x=52,y=53x=-12,y=13舍去时,等号成立.
故9x1-x+4y1-y的最大值为-25.
6.解析　因为x>y>0,
所以x-y>0,
所以0所以x2+ 4y(x-y)≥x2+ 16x2≥2x2·16x2=8,
当且仅当y=x-y,x2=16x2,x>y>0,即x=2,y=1时,等号成立,
故x2+4y(x-y)的最小值为8.
7.证明　(1)∵2a+b=2ab,
∴1a+2b=2,
∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab.
∵2ba+2ab≥22ba·2ab=4,
当且仅当2ba=2ab,且2a+b=2ab,即a=b=32时,等号成立,
∴a+2b≥92.
(2)a2+19≥2a2·19=23a当且仅当a=13时取等号,
同理,b2+19≥23b当且仅当b=13时取等号,c2+19≥23c当且仅当c=13时取等号,
∴a2+b2+c2+13≥23(a+b+c)当且仅当a=b=c=13时取等号,又a+b+c=1,∴a2+b2+c2≥13,当且仅当a=b=c=13时取等号.
8.证明　(1)(a+c)2=a+c+2ac≤2(a+c),当且仅当a=c时取等号.
因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,
所以a+c≤2(a+c)=2(3-b),当且仅当a=c时取等号,
所以ab+bc=b(a+c)≤2b(3-b)≤22(b+3-b)=322,
当且仅当b=32,a=c=34时取等号.
(2)a2b+c+b+c4≥2a2b+c·b+c4=a,当且仅当2a=b+c时取等号,
同理,可得b2c+a+c+a4≥b,当且仅当2b=a+c时取等号,
c2a+b+a+b4≥c,当且仅当2c=b+a时取等号,
上面三式左右分别相加并化简可得a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2=32,当且仅当a=b=c=1时取等号.
9.解析　(1)证明:∵a>0,b>0,
∴ab+ba-(a+b)=aa+bb-ab-baab
=(a-b)(a-b)ab=(a-b)2(a+b)ab≥0,
∴ab+ba≥a+b.
(2)①证明:∵b+a2b≥2a,当且仅当a=b时,等号成立,c+b2c≥2b,当且仅当b=c时,等号成立,a+c2a≥2c,当且仅当a=c时,等号成立,∴b+a2b+c+b2c+a+c2a≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
②将上述不等式推广如下:
a12a2+a22a3+…+an-12an+an2a1≥a1+a2+…+an-1+an.
证明:∵a12a2+a2+a22a3+a3+…+an-12an+an+an2a1+a1≥2a1+2a2+…+2an-1+2an,当且仅当a1=a2=…=an-1=an时,等号成立,
∴a12a2+a22a3+…+an-12an+an2a1≥a1+a2+…+an-1+an,当且仅当a1=a2=…=an-1=an时,等号成立.
10.D　由题意得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)(1+q)=(1+x)2.
易知(1+p)(1+q)≤1+p+1+q22,当且仅当p=q时取等号.
因为p≠q,所以(1+p)(1+q)<1+p+1+q22,所以(1+x)2<2+p+q22,
又1+x>0,2+p+q2>0,所以1+x<2+p+q2=1+p+q2,即x< p+q2.故选D.
11.AC　一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要购买800x次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,
所以一年的总运费与总存储费用之和y=800x×8+4x万元.
因为y=800x×8+4x≥26 400x×4x=2×160=320,当且仅当6 400x=4x,即x=40时,等号成立,
所以当x=40时,y取得最小值,ymin=320.故选AC.
12.答案　37.5
解析　由产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3-2t+1,得t=23-x-1(1设月利润为y万元,
则y=48+t2xx?32x?3?t=16x?t2?3=16x?13-x+12-3
=45.5-16(3-x)+13-x≤45.5?216=37.5,
当且仅当16(3-x)=13-x,即x=114时取等号,
故该公司的最大月利润为37.5万元.
13.解析　(1)当甲城市的投入成本为25万元时,乙城市的投入成本为80-25=55(万元),
则甲城市收益y1=-45025+40=22(万元),
乙城市收益y2=12×55+20=952(万元),
所以甲、乙两座城市的投资的总收益为22+952=1392(万元).
(2)设甲城市的投入成本为x万元,则乙城市的投入成本为(80-x)万元.
当20≤x<40时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=-450x+40+12×(80-x)+20=100-450x+x2≤100?2450x·x2=70,当且仅当450x=x2,即x=30时取等号,故当x=30时,y有最大值,最大值为70.
当40≤x≤60时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=25+12×(80-x)+20=85-x2,
当x=40时,y=85-x2有最大值,最大值为65.
因为70>65,所以当x=30时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.
所以当甲城市的投入成本为30万元,乙城市的投入成本为50万元时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.