6.2 指数函数同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册 第6章（Word含答案解析）

6.2　指数函数
必练基础
题组一　指数函数的概念
1.下列函数中指数函数的个数是 ()
①y=2x;②y=x2;③y=2x+1;④y=xx;⑤y=(6a-3)xa>12且a≠23.
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.(2020江苏镇江中学高一期中)已知指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(6)=(　　)
A.34　　　　B.164　　　　C.43　　　　D.112
3.已知函数f(x)=2x,x≥3,f(x+1),x<3,则f(0)的值为　　　　.?
4.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f(x)是指数函数,如果f(3)=9f(1),那么f(8)　　　　 f(4)(填“>”“<”或“=”).?
题组二　指数函数的图象
5.(2020江苏东台中学高一月考)要得到函数f(x)=21-x的图象,可以将 (　　)
A.函数y=2x的图象向左平移1个单位长度
B.函数y=2x的图象向右平移1个单位长度
C.函数y=2-x的图象向左平移1个单位长度
D.函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度
6.(2021江苏仪征中学高一期中)当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的大致图象是 (　　)

A B C D
7.已知y1=13x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为(　　)
8.(2021江苏连云港板浦高级中学高一期中)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过 (　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　　　D.第四象限
题组三　指数(型)函数的性质及简单应用
9.(2021江苏镇江大港中学高一期中)函数y=1-12x的定义域是 (　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(-∞,0)　　　　C.[0,+∞)　　　　D.(-∞,0]
10.(2020江苏扬州宝应中学高一月考)函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是 (　　)
A.[0,1]　　　　B.[-1,0]　　　　C.0,12　　　　D.-12,0
11.(2020江苏泰州姜堰中学高一期末)函数y=ax(a>0,a≠1)在[0,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值为　　(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.3
12.(2021山东济宁高一上期中)不等式122x2-1>124-3x的解集为　　　　.?
13.(2020江苏泰兴第一高级中学高一上期中)若函数y=6-x2+ax在区间(-∞,1]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.?
14.比较下列各组数中两个数的大小.
(1)12-3与12-1.7;
(2)23-45与3267;
(3)279与14-49;
(4)a-35与a-47(其中a>0且a≠1).
15.(2020江苏常州教学研究合作联盟高一上期中)已知函数f(x)=m2x-1-1是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
16.(2020江苏扬州高一期中)已知函数f(x)=ax+k-a-x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,且不等式f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0对任意t∈[-1,1]恒成立,求实数x的取值范围.
题组四　指数(型)函数的实际问题
17.如图,某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)满足关系式y=at(a>0,且a≠1),给出下列说法:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等.
其中正确的是 (　　)
A.①②③　　　　　　B.①②③④
C.②③④　　　　　　D.①②
18.(2021江苏无锡高一期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~80 mg(不包括80 mg)的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为 (　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
19.(2021江苏海安高级中学高一阶段测试)某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5 h后,经测试,消除了20%的污染物.问:
(1)15 h后还剩百分之几的污染物?
(2)污染物减少36%需要花多长时间?
选练素养
题组一　指数(型)函数的图象及应用
1.()如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于 (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.3
2.(2020广东汕头澄海中学高一期中,)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4).当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象是 (　　)
A
B
C
D
3.()若函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=2a有两个公共点,则实数a的取值范围是　　　　.?
4.(2020江苏盐城东台高一上期中,)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9).
(1)求a+b的值;
(2)当x≤-3时,函数y=1ax+1b的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取值范围.
题组二　指数(型)函数的性质及应用
5.(2021江苏江安高级中学高一期中,)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为9,最小值为n,且函数g(x)=(4n-1)x+1在[-1,+∞)上是减函数,则a= (　　)
A.3　　　　　　B.19
C.9　　　　　　D.13
6.(2021江苏连云港石榴高级中学高一月考,)若函数f(x)=a2x2-ax+1(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(1,2)　　　　　　B.(0,1)
C.(1,4]　　　　　　D.[4,+∞)
7.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)已知a>0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N= (　　)
A.2 025　　　　　　B.2 022
C.2 020　　　　　　D.2 019
8.(2021江苏泰兴中学高一月考,)已知函数f(x)=2x+m2x+1,若对任意x1,x2,x3∈R,总有f(x1), f(x2), f(x3)为某一个三角形的边长,则实数m的取值范围是 (　　)
A.12,1　　　　　　B.[0,1]
C.12,2　　　　　　D.[1,2]
9.(多选)(2020江苏徐州郑集高级中学高一期中,)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=2x1+2x?12,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是 (　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
10.(2021江苏扬州新华中学高一月考,)已知1+2x+4x·a>0对一切x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
11.(2020山东济南兖州实验高级中学高一期末,)已知函数f(x)=2ax-4+a2ax+a(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(1,2)时,2+mf(x)-2x>0恒成立,求实数m的取值范围.
12.(2019江苏泰州姜堰第二中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=1-5x·a5x+1,x∈(b-3,2b)是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)证明:f(x)是区间(b-3,2b)上的减函数;
(3)若f(m-1)+f(2m+1)-3m>0,求实数m的取值范围.
13.(2020浙北G2高一上期中联考,)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)答案全解全析
6.2　指数函数
必练基础
1.C　①是指数函数;②的底数不是常数,故不是指数函数;③的指数是x+1,而不是x,故不是指数函数;④的底数不是常数,故不是指数函数;⑤因为a>12且a≠23,所以6a-3>0且6a-3≠1,故是指数函数.所以指数函数的个数是2,故选C.
解题模板　判定一个函数是指数函数的依据:①形如y=ax的函数,ax的系数必须是1;②底数a满足a>0,a≠1;③自变量为x,而不是a,且自变量的取值范围为R.
2.B　设f(x)=ax(a>0且a≠1).
∵f(x)的图象过点(-2,4),
∴f(-2)=a-2=4,解得a=12,
∴f(6)=126=164.故选B.
3.答案　8
解析　f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=23=8.
4.答案　>
解析　设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
依题意得f(3)=a3=9f(1)=9a1,即a(a+3)·(a-3)=0,解得a=0(舍去)或a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x.
因此f(4)=34,f(8)=38=34×34,
所以f(8)>f(4).
5.D　将函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度后可得y=2-(x-1)=21-x的图象.故选D.
6.A　当a>1时,函数y=ax为增函数,函数y=(a-1)x2的图象开口向上,且对称轴为y轴,故选A.
7.A　y2=3x与y4=10x是增函数,y1=13x与y3=10?x=110x是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知选A.
8.C　易知f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,
∴g(x)为减函数,且过点(0,1),
∴函数g(x)的图象不经过第三象限.
故选C.
9.C　易得1-12x≥0,即12x≤1=120,解得x≥0,
因此函数y=1-12x的定义域为[0,+∞).故选C.
10.B　令f(x)=2x,由指数函数的性质可得f(x)=2x是增函数,
∴当x∈[0,1]时,f(0)≤f(x)≤f(1),即1≤f(x)≤2,∴-2≤-2x≤-1,
∴-1≤1-2x≤0,
∴函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域为[-1,0].故选B.
11.B　当a>1时,函数y=ax单调递增,则在[0,2]上的最大值与最小值的差为a2-a0=2,解得a=3(a=-3舍去).
当0所以a=3.故选B.
12.答案　-52,1
解析　∵122x2-1>124-3x,y=12x在R上是减函数,
∴2x2-1<4-3x,解得-52∴不等式的解集为-52,1.
13.答案　[2,+∞)
解析　函数y=6-x2+ax是由y=6u与u=-x2+ax复合而成的,y=6u在(-∞,1]上单调递增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=a2,故a2≥1,解得a≥2.
14.解析　(1)∵y=12x为减函数,且-3<-1.7,∴12-3>12-1.7.
(2)∵23-45=3245,y=32x为增函数,且45<67,∴23-45<3267.
(3)∵14-49=289,y=2x为增函数,且79<89,∴279<14-49.
(4)当a>1时,y=ax单调递增,又-35当0a-47.
警示　利用指数函数的单调性判断指数式的大小关系时,要注意底数与1的关系.
15.解析　(1)由题意知2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},
由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则m2-x-1?1=?m2x-1+1,即m·2x1-2x=?m2x-1+2,即m·2x=m+2(1-2x),即(m+2)(2x-1)=0对于定义域中的任意x都成立,所以m=-2.
经检验,m=-2时, f(x)是奇函数.
(2)证明:由(1)知f(x)=-22x-1-1.
在(0,+∞)内任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=-22x1-1?1? -22x2-1+1=-2(2x2-2x1)(2x1-1)(2x2-1),
∵0∴2x1-1>0,2x2-1>0,2x2?2x1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
16.解析　(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=ak-1=0,解得k=0,
当k=0时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数,符合题意.
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x,
由f(1)<0得a-1a<0,所以0所以f(x)=ax-a-x是R上的减函数.
因为f(x)为奇函数,所以由f(3tx+4)+f(-2x2+1)≤0得f(3tx+4)≤-f(-2x2+1)=f(2x2-1).
因为f(x)是R上的减函数,所以3tx+4≥2x2-1对任意t∈[-1,1]恒成立.
令g(t)=3tx+4-2x2+1=3tx+5-2x2,
则g(t)≥0对任意t∈[-1,1]恒成立,
所以g(1)=3x+5-2x2≥0,g(-1)=-3x+5-2x2≥0,
解得-1≤x≤1,所以实数x的取值范围是[-1,1].
17.D　由题中图象知,当t=2时,y=4,
则a2=4,故a=2(a=-2舍去),①正确;
当t=5时,y=25=32>30,②正确;
当y=4时,由4=2t1知t1=2,
当y=12时,由12=2t2知t2=log212=2+log23,t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增加的面积不相等,增长速度越来越快,④错误.
故选D.
18.C　设他需要经过x个小时才能驾车,则60(1-25%)x<20,即34x<13.
当x=3时,343=2764>13;
当x=4时,344=81256<13.
结合选项知他至少需要经过4个小时才能驾车,故选C.
19.解析　(1)由题意得P02-5k=(1-20%)P0,则2-5k=80%.
故当t=15时,P0·2-15k=P0·(2-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0.
故15 h后还剩51.2%的污染物.
(2)令P02-kt=(1-36%)P0,
即(2-5k)t5=64%,
所以(80%)t5=64%,
所以t5=2,即t=10,
故污染物减少36%需要花10 h.
警示　从实际问题向数学问题的转化过程中,要检验所得结果,必要时运用估算近似运算,以使结果符合实际问题的要求.
选练素养
1.A　设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A8m,m,E4m,m,B8m,2m.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以m=a4m,①2m=a8m,②
①式两边平方得m2=a8m,③
②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2,所以a=2或a=?2(舍去).
2.A　函数f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1?5可以看成由函数y=u+9u-5和u=x+1复合而成的.
当x∈(0,2)时,u=x+1是增函数,此时u∈(1,3),y=u+9u-5是减函数,故f(x)是减函数;当x∈(2,4)时,u=x+1是增函数,此时u∈(3,5),y=u+9u-5是增函数,故f(x)是增函数.故当x=2时,f(x)取得最小值,依题意得a=2,b=f(2)=3+3-5=1,
故g(x)=a|x+b|=2|x+1|,g(x)的图象是由y=2|x|=2x,x≥0,12x,x<0的图象向左平移一个单位长度得到的.故选A.
3.答案　0解析　在平面直角坐标系中作出函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的大致图象.
当0图1
当a>1时(如图2),2a>2,两个函数图象不可能有两个公共点.
图2
所以满足题意的a的取值范围是04.解析　(1)∵函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点M(1,1),N(3,9),
∴ba=1,ba3=9,
∴a2=9,
∴a=3(a=-3舍去),b=13,
∴a+b=103.
(2)由(1)得当x≤-3时,函数y=13x+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,
即当x≤-3时,不等式13x+3-2x-t>0恒成立,亦即当x≤-3时,t<13x+3-2xmin.
设g(x)=13x+3-2x(x≤-3),
∵y=13x在(-∞,-3]上单调递减,y=-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)=13x+3-2x在(-∞,-3]上单调递减,
∴g(x)min=g(-3)=36,
∴t<36.
5.B　∵g(x)=(4n-1)x+1在[-1,+∞)上是减函数,
∴4n-1<0,解得n<14.
当a>1时,f(x)的最大值为a2=9,即a=3(负值舍去),最小值n=3-1=13>14,不符合题意;
当0综上所述,a=19.故选B.
6.C　当0因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,
所以0当a>1时,f(x)在-∞,a4上单调递减,在a4,+∞上单调递增,
因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,
所以a>1,a4≤1,解得1所以a的取值范围为(1,4],故选C.
7.B　f(x)=2 019x+1+2 019-2 0162 019x+1=2 019?2 0161+2 019x,
∴f(-x)=2 019-2 0162 019-x+1=2 019?2 016×2 019x2 019x+1.
∴f(x)+f(-x)=4 038-2 016·12 019x+1+2 019x2 019x+1=4 038-2 016=2 022.
易得f(x)在[-a,a]上是增函数,
∴M+N=f(a)+f(-a)=2 022,故选B.
8.C　因为f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,
所以对任意x1,x2,x3∈R,f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立.
函数f(x)=2x+m2x+1=2x+1+m-12x+1=1+m-12x+1.
当m≥1时,f(x)在R上单调递减,函数f(x)的值域为(1,m),
所以f(x1)+f(x2)>2且f(x3)所以m≤2,又m≥1,所以1≤m≤2;
当m<1时,f(x)在R上单调递增,函数f(x)的值域为(m,1),
所以f(x1)+f(x2)>2m且f(x3)<1,
所以1≤2m,解得m≥12,所以12≤m<1.
综上,m的取值范围是12≤m≤2.故选C.
9.BC　∵g(1)=[f(1)]=21+2-12=0,g(-1)=[f(-1)]=2-11+2-1-12=-1,
∴g(-1)≠g(1),∴g(x)不是偶函数,故A错误;
∵f(x)=2x1+2x?12的定义域为R,
f(-x)+f(x)=2-x1+2-x+2x1+2x?1=2x·2-x2x(1+2-x)+2x1+2x?1=1+2x1+2x-1=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数,故B正确;
∵f(x)=2x1+2x?12=1+2x-11+2x?12=12?11+2x,且y=2x在R上是增函数,
∴f(x)=12?11+2x在R上是增函数,故C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,
∴0<11+2x<1,
∴-12<12?11+2x<12,即-12∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D错误.
故选BC.
10.答案　-34,+∞
解析　1+2x+4x·a>0可化为a>-1+2x4x=-2-2x-2-x.
令t=2-x,则a>-t2-t,由x∈(-∞,1],得t∈12,+∞,
易知函数y=-t2-t=-t+122+14在12,+∞上递减,所以当t=12时,y=-t2-t取得最大值-34,所以a>-34.
11.解析　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=2-4+a2+a=0,解得a=2.经检验,满足题意.
(2)由(1)知f(x)=2·2x-22·2x+2=2x-12x+1=1?22x+1,易知f(x)在R上单调递增,
∵2x+1>1,∴-2<-22x+1<0,
∴-1<1-22x+1<1,
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)∵2+mf(x)-2x>0,
∴mf(x)>2x-2,
∴mf(x)=m·2x-12x+1>2x-2.
当x∈(1,2)时,m>(2x+1)(2x-2)2x-1,
令2x-1=t(1(t+2)(t-1)t=t?2t+1,
令y=t-2t+1(1∵函数y=t-2t+1在(1,3)上为增函数,
∴t-2t+1<3?23+1=103,
∴m≥103,
∴实数m的取值范围为103,+∞.
12.解析　(1)∵函数f(x)=1-5x·a5x+1,x∈(b-3,2b)是奇函数,
∴f(0)=1-a2=0,且b-3+2b=0,
∴a=2,b=1.经检验,满足题意.
(2)证明:由(1)得函数f(x)=1-2·5x5x+1,x∈(-2,2).
任取x1,x2∈(-2,2),且x1则f(x1)-f(x2)=1-2·5x15x1+1?1?2·5x25x2+1=2(5x2-5x1)(5x1+1)(5x2+1),
∵y=5x在(-2,2)上为增函数,且x1∴5x2?5x1>0,
又∵5x1+1>0,5x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)是区间(-2,2)上的减函数.
(3)构造函数g(x)=f(x)-x,则y=g(x)是奇函数且在定义域内单调递减.
原不等式等价于g(m-1)>g(-2m-1),
∴m-1<-2m-1,-2即m<0,-1∴-1∴实数m的取值范围是(-1,0).
13.解析　(1)定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,即3-xa+a3-x=3xa+a3x恒成立,故1a-a(3x-3-x)=0恒成立.
因为3x-3-x不可能恒为0,所以当1a-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,而a>0,所以a=1.
(2)函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=3x1+13x1?3x2+13x2=(3x1?3x2)+13x1-13x2=(3x1?3x2)+3x2-3x13x1·3x2
=(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2.
因为01,3x2>1,
所以(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)故函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增.
(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,即(m-4)2<0,无解,
所以不存在.