6.3 对数函数同步练习-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第6章（Word含答案解析）

6.3　对数函数
必练基础
题组一　对数函数的概念
1.(2021江苏南京溧水高级中学高一月考)下列函数是对数函数的是 (　　)
A.y=log5x+1　　　　　　
B.y=logax2(a>0,且a≠1)
C.y=log(3-1)x　　　　　　
D.y=logx3(x>0,且x≠1)
2.(2021江苏徐州郑集高级中学高一期中)函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f 18= (　　)
A.3　　　　　　B.-3
C.-log36　　　　　　D.-log38
3.已知函数f(x)=loga(x+2),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为 (　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.12　　　　D.?12
4.(2020江苏如皋中学高一月考)函数f(x)=x2+1,x<1,log2x,x≥1,则f(f(-1))=　　　　.?
题组二　对数(型)函数的图象
5.(2021江苏淮安清浦中学高一期中)函数f(x)=12x与g(x)=-log2x的大致图象是 (　　)
A
B
C
D
6.(2021山东菏泽第一中学高一月考)如图是y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx在同一平面直角坐标系中的图象,则a,b,c,d的大小关系是 (　　)
A.0C.07.(2021江苏盐城大丰高级中学高一期末)函数f(x)=4x-4,x≤1,x2-6x+5,x>1的图象和函数g(x)=log15(x+2)的图象的交点个数为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
8.(2021安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=(2m-1)xm(m∈R)是幂函数,则函数g(x)=loga(x+m)+2(a>0,且a≠1)的图象所过定点P的坐标是 (　　)
A.(0,2)　　　　　　B.(1,2)
C.(2,2)　　　　　　D.(-1,2)
9.已知函数y=lg x的图象C,作图象C关于直线y=x的对称图象C1,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,若图象C2所对应的函数为f(x),则f(-3)=　　　　.?
题组三　反函数
10.(2021江苏连云港高级中学高一月考)若函数f(x)=2x的反函数是g(x),则g(2)的值为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
11.(2020陕西安康汉滨高一上月考)若函数y=loga(2x-3)+22 (a>0,a≠1)的图象过定点(m,n),则函数y=lognx的反函数是　　　　　.?
12.(2021江苏盐城阜宁第一高级中学高一月考)函数f(x)与g(x)互为反函数,若f(x)=10x2 021(x<0),求函数g(x)的解析式、定义域和值域.
题组四　对数(型)函数的性质及简单应用
13.函数f(x)=3x-1+ln(1-x)的定义域为 (　　)
A.13,1　　　　B.13,1　　　　C.13,1　　　　D.13,1
14.(2021江苏淮安洪泽中学高一月考)函数y=2+log2x(x≥1)的值域为 (　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(-∞,2)　　　　C.[2,+∞)　　　　D.[3,+∞)
15.(2021江苏扬州江都中学高一月考)函数f(x)=log13(6-x-x2)的单调递增区间是(　　)
A.-12,+∞　　　　　　B.-∞,-12
C.-3,-12　　　　　　D.-12,2
16.(2021江苏盐城响水中学高一期中)若函数f(x)=logax(0A.14　　　　B.12　　　　C.24　　　　D.22
17.(2021江苏镇江高一月考)已知a=2 02012 021,b=log2 02012 021,c=log2 0212 020,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>a>b　　　　D.c>b>a
18.(2020广东佛山一中高一期中)定义在(-∞,0)上的函数f(x)是增函数,若f(-1)19.(2021江苏南京高一期中)已知f(x)=log3(2+x)-log3(2-x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)解不等式f(x)>1.
题组五　对数(型)函数在实际问题中的应用
20.(2020江苏泰州高一月考)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为3 000万吨,2020年的年增长率约为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从　　　　年开始,快递行业产生的包装垃圾超过30 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)?
21.20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)定义了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
(1)根据中国地震台网测定,2019年9月27日01时17分,新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)2008年5月12日14时28分04秒在我国四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发生特大地震,根据中华人民共和国地震局的数据知,此次地震的里氏震级达8.0,地震烈度达到11度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球6圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区,北至辽宁,东至上海,南至香港、澳门、泰国、越南,西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的多少倍.
选练素养
题组一　对数(型)函数的图象及其应用
1.(多选)(2021江苏南通平潮高级中学高一月考,)已知函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,则下列函数图象也过点A的是 (　　)
A.y=1-x+2　　　　　　B.y=|x-2|+1
C.y=log2(2x)+1　　　　　　D.y=2x-1
2.(2021江苏盐城响水中学高一月考,)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga-1x的图象可能是 (　　)
A
B
C
D
3.()已知函数y=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则下列不等式正确的是 (　　)
A.0C.04.()f(x)=|log2x|,02,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　　　　　　B.(0,2)
C.(1,2)　　　　　　D.(2,4)
5.()如图所示,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求mb?2ca的最小值.
题组二　对数(型)函数的性质及其应用
6.()已知函数f(x)=2×4x-a2x的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab= (　　)
A.1　　　　B.-12　　　　C.?1　　　　D.14
7.()设f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,若存在x1,x2∈R,x1 ≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.0,13　　　　B.13,12　　　　C.0,12　　　　D.14,13
8.(多选)(2021江苏淮安淮州中学高一月考,)已知函数f(x)=log2(x-1),x>1,12x,x≤1,则下列结论正确的是 (　　)
A.若f(a)=1,则a=3
B.f f2 0212 020=2 020
C.若f(a)≥2,则a≥5或a≤-1
D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k>12
9.(2021安徽合肥高一期末,)已知函数f(x)=|log2x|,x>0,|x+1|,x≤0.若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1,x2,x3,x4互不相等),则x1+x2+x3+x4的取值范围是注:函数y=x+1x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 (　　)
A.-12,0　　　　B.-12,0　　　　C.0,12　　　　D.0,12
10.(多选)(2021江苏连云港板浦高级中学高一期中,)已知函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是 (　　)
A.当a=2时,f(x)的值域为R
B.存在a,使得f(x)为奇函数或偶函数
C.当a>2时,f(x)的定义域不可能为R
D.存在a,使得f(x)在区间(-∞,2)上为减函数
11.(2021江苏宿迁致远中学高一期中,)若函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.?
12.(2021上海行知中学高一期末,)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x-2x,则不等式f(x)≤0的解集为　　　　　　　.?
13.(2020河北承德第一中学高一上月考,)已知函数f(x)=log12(x2-mx-m).
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,求实数m的取值范围.
14.(2021上海复旦附中高一期末,)已知函数h(x)=|log12x|.
(1)求h(x)在12,aa>12上的最大值;
(2)设函数f(x)的定义域为I,若存在区间A?I,满足对任意x1∈A,都存在x2∈A(其中A表示A在I上的补集),使得f(x1)=f(x2),则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知x∈12,2,若A=12,a为函数h(x)的“Γ区间”,求a的最大值.
答案全解全析
6.3　对数函数
必练基础
1.C　选项A中,对数式后面加1,所以不是对数函数;选项B中,真数不是自变量x,所以不是对数函数;选项C中,符合对数函数的概念,是对数函数;选项D中,底数是自变量x,不是常数,所以不是对数函数.故选C.
2.B　因为函数f(x)为对数函数,
所以a2+a-5=1,解得a=2或a=-3.
因为对数函数的底数大于0,且不等于1,
所以a=2,故f(x)=log2x,所以f18=-3.
故选B.
警示　要注意对数函数的系数为1、真数大于0、底数大于0且不等于1.
3.B　将点(6,3)代入f(x)=loga(x+2)中,得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,
∴a=2,
∴f(x)=log2(x+2),
∴f(2)=log2(2+2)=2.
4.答案　1
解析　由题意得f(-1)=(-1)2+1=2,∴f(f(-1))=f(2)=log22=1.
5.A　易知函数f(x)=12x是减函数,且其图象过点(0,1),函数g(x)=-log2x是减函数,且其图象过点(1,0),故选A.
6.C　作出直线y=1,如图所示:
当y=1时,x1=c,x2=d,x3=a,x4=b,
因为0所以07.C　如图,作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象,由图象知两个函数的图象有3个交点.故选C.
8.A　因为函数f(x)=(2m-1)xm(m∈R)是幂函数,所以2m-1=1,即m=1.
所以g(x)=loga(x+m)+2=loga(x+1)+2,
由loga(x+1)=0得x=0,又g(0)=2,
所以函数g(x)=loga(x+m)+2(a>0,且a≠1)的图象所过定点P的坐标是(0,2).故选A.
9.答案　-1
解析　函数y=lg x的图象C关于直线y=x的对称图象C1对应的函数为y=10x,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,则C2对应的函数为f(x)=10x+3-2,故f(-3)=1-2=-1.
10.A　由于函数f(x)=2x的反函数是g(x),因此g(x)=log2x,因此g(2)=log22=1.故选A.
11.答案　y=22x
解析　∵对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象过定点(1,0),
∴函数y=loga(2x-3)+22(a>0,a≠1)的图象过定点2,22,
∴n=22,
∴y=lognx=log22x,
∴函数y=log22x的反函数是y=22x.
12.解析　易知f(x)=10x2 021=(1012 021)x(x<0)是增函数,
所以0<(1012 021)x<1,
故f(x)=(1012 021)x的定义域为(-∞,0),值域为(0,1).
所以g(x)=2 021lg x,定义域为(0,1),值域为(-∞,0).
13.B　要使函数f(x)=3x-1+ln(1-x)有意义,
只需3x-1≥0,1-x>0,解得13≤x<1,故函数f(x)的定义域为13,1.故选B.
14.C　当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2,所以函数y=2+log2x(x≥1)的值域为[2,+∞).故选C.
15.D　不等式6-x-x2>0的解集为{x|-3因为函数y=log13u在定义域内单调递减,
所以函数f(x)=log13(6-x-x2)在-3,-12上单调递减,在-12,2上单调递增.故选D.
16.A　∵a∈(0,1),
∴f(x)=logax为减函数,
∴f(x)min=f(2a)=loga2a,f(x)max=f(a)=logaa,
∴f(a)-f(2a)=logaa-loga2a=loga12=12,解得a=14.故选A.
17.B　a=2 02012 021>2 0200=1,
b=log2 02012 0210=log2 0211所以a>1,b<0,0c>b.故选B.
18.答案　110,1
解析　因为定义在(-∞,0)上的函数f(x)是增函数,且f(-1)所以lgx<0,x>0,-1所以x的取值范围为110,1.
19.解析　(1)函数f(x)为(-2,2)上的奇函数.证明如下:
因为f(x)=log3(2+x)-log3(2-x),
所以2-x>0,2+x>0,解得-2因为f(-x)=log3(2-x)-log3(2+x)=-[log3(2+x)-log3(2-x)]=-f(x),
所以函数f(x)为(-2,2)上的奇函数.
(2)因为f(x)=log3(2+x)-log3(2-x)=log32+x2-x>1=log33,
所以-23,解得1所以不等式f(x)>1的解集为(1,2).
20.答案　2 025
解析　设第n(n∈N*)年快递行业产生的包装垃圾为y万吨,则y=3 000×(1+50%)n-2 019.
令y>30 000,得3 000×(1+50%)n-2 019>30 000,即1.5n-2 019>10,
所以(n-2 019)lg 1.5>lg 10,所以n-2 019>1lg3-lg2≈10.477 1-0.301 0≈5.68,
所以n>2 024.68,所以从2025年开始,快递行业产生的包装垃圾超过30 000万吨.
21.解析　(1)M=lg 30-lg 0.001=lg 30 000=4+lg 3≈4.5,
因此这次地震的震级约为里氏4.5级.
(2)由M=lg A-lg A0,得M=lg AA0,则A=A0·10M.
当M=8.0时,地震的最大振幅A1=A0·108;
当M=5.0时,地震的最大振幅A2=A0·105.
所以两次地震的最大振幅之比是A1A2=103=1 000.
故汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的1 000倍.
选练素养
1.ABC　令x=1,得f(1)=a0+1=2,即函数f(x)的图象恒过点A(1,2).
选项A中,函数y=1-x+2,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;
选项B中,函数y=|x-2|+1,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;
选项C中,函数y=log2(2x)+1,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;
选项D中,函数y=2x-1,令x=1,得y=1,此时函数图象不过点A(1,2),不满足题意.
故选ABC.
2.C　若0若a>1,则函数y=ax为增函数,且其图象过点(0,1),y=loga-1x=-loga(-x)为增函数,且x<0,故选项A,B,D都不符合题意.
故选C.
3.A　由题图可得a>1,则0当x=0时,y=logab,
结合题图可得-1即-1=loga1a又y=logab为单调递增函数,
所以04.D　作出函数f(x)=|log2x|,02的图象,如图:
不妨设a即log2a=-log2b,则log2(ab)=0,
所以ab=1.
又由图象可知2故选D.
5.解析　(1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).
因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,
所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),
C(b,logmb).
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca,
因为b=a2,所以m=c2,
所以mb?2ca=c2a2?2ca=ca-12-1,
所以当ca=1时,mb?2ca取得最小值-1.
6.C　若函数f(x)=2×4x-a2x=2·2x?a2x的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x),即2·12x?a·2x=a2x-2·2x,解得a=2.因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=ln(e-x+1)+bx=lnex+1ex+bx=ln(ex+1)+(b-1)x=ln(ex+1)-bx,解得b=12.
所以logab=log212=-1.
7.B　∵f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,
∴1-2a>0,1-2a≠1,a>0,a≠1,
∴0∴0<1-2a<1.
∴当x≤1时,函数f(x)为减函数;当x>1时,函数f(x)为减函数.
∵存在x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x1≤1,x2>1,
∴(1-2a)x1=logax2+13,
∵(1-2a)x1≥1-2a,logax2+13<13,
∴1-2a<13,∴a>13.
∴13∴实数a的取值范围是13,12.
8.BC　对于选项A,由f(a)=1,得a>1,log2(a-1)=1或a≤1,12a=1,解得a=3或a=0,故A错误;
对于选项B,f2 0212 020=log22 0212 020-1=log212 020=log122 020,因为log122 020<0,所以ff2 0212 020=f(log122 020)=12log122 020=2 020,故B正确;
对于选项C,由f(a)≥2,得a>1,log2(a-1)≥2或a≤1,12a≥2,解得a≥5或a≤-1,故C正确;
对于选项D,作出y=f(x)的图象,如图所示:
结合图象知f(1)=12,因为方程f(x)=k有两个不同的实数根,所以y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点,所以k≥12,故D错误.故选BC.
9.D　作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
设x1则x1+x2=2×(-1)=-2.
因为|log2x3|=|log2x4|,所以-log2x3=log2x4,所以log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,即x3=1x4.
当|log2x|=1时,解得x=12或x=2,所以1设t=x3+x4=1x4+x4,
因为函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增,
所以11+1<1x4+x4≤12+2,
即2所以-2+2即010.AC　当a=2时,x2-ax+1=x2-2x+1=(x-1)2,当x≠1时,(x-1)2>0,则f(x)=log2(x-1)2∈R,即值域为R,故A正确.
f(x)=loga(x2-ax+1)的定义域是不等式x2-ax+1>0的解集,无论实数a取何值,定义域都是无限集.
要使f(x)=loga(x2-ax+1)为偶函数,只需f(-x)=f(x),则x2-ax+1=x2-a(-x)+1,即2ax=0对定义域内的实数x恒成立,解得a=0,此时对数的底数为零,无意义;
要使f(x)=loga(x2-ax+1)为奇函数,
只需f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
所以(x2-ax+1)[x2-a(-x)+1]=1,即(x2+1)2-(ax)2=0对定义域内的任意实数x恒成立,此方程为四次方程,至多有四个不同的实数根,矛盾,故B错误.
不等式x2-ax+1>0的解集为R,等价于a2-4<0,即-22时,f(x)的定义域不可能为R,故C正确.
要使f(x)=loga(x2-ax+1)在区间(-∞,2)上为减函数,
只需a>1,a2≥2,22-2a+1≥0,无解,故D错误.
故选AC.
11.答案　43,2
解析　根据对数函数的概念得-x2+4x+5>0,解得-1易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=-42×(-1)=2,
由复合函数的单调性得函数f(x)=log12(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需3m-2≥2,m+2≤5,3m-212.答案　(-∞,-2]∪[0,2]
解析　当x>0时,y=log2x为增函数,y=2x为减函数,
所以f(x)=log2x-2x在(0,+∞)上为增函数,因为f(2)=log22-22=0,
所以当x∈(0,2)时,f(x)<0,
当x∈(2,+∞)时,f(x)>0.
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,且f(x)在(-∞,0)上为增函数,
所以当x∈(-∞,-2)时,f(x)<0,
当x∈(-2,0)时,f(x)>0.
又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,
所以不等式f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].
13.解析　(1)若m=1,则f(x)=log12(x2-x-1),要使函数有意义,只需x2-x-1>0,解得x∈-∞,1-52∪1+52,+∞,
故函数f(x)的定义域为-∞,1-52∪1+52,+∞.
(2)∵函数f(x)的值域为R,
∴x2-mx-m能取遍一切正实数,
∴Δ=m2+4m≥0,即m∈(-∞,-4]∪[0,+∞),
∴实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,
得y=x2-mx-m在区间(-∞,1-3)上是减函数,且x2-mx-m>0在区间(-∞,1-3)上恒成立,故m2≥1?3,且(1-3)2-m(1-3)-m≥0,解得m≥2-23且m≤2,
故m∈[2-23,2].
14.解析　(1)函数h(x)=|log12x|的图象如图所示:
当12当a>2时,h(x)的最大值为h(a)=-log12a=log2a.
(2)当12因为对任意x1∈A,都存在x2∈A,使得f(x1)=f(x2),
所以(log12a,1)?[0,1],成立,
此时A=12,a为函数h(x)的“Γ区间”.
当1当1≤x1所以a的最大值是1.