7.3.2 三角函数的图象与性质 同步练习——2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册第七章（Word含答案解析）

7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
必练基础
题组一　正、余弦(型)函数的图象及简单应用
1.用“五点法”作函数y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1)
B.(0,1),π2,-1,(π,-3),3π2,-1,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),π6,3-1,π3,0,π2,-1,2π3,-2
2.函数y=-sin x,x∈-π2,3π2的简图是(　　)
3.(多选)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是 (　　)
A.0,π4　　　　　　B.π4,5π4
C.5π4,2π　　　　　　D.π4,π2∪π,5π4
4.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考)方程10sin x=x的根的个数是(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
5.(2021江苏常州第二中学高一月考)在[0,2π]内,使sin x≥-32成立的x的取值范围是　　　　.?
6.(2021江苏徐州沛县中学高一月考)用“五点法”作出函数y=3+2cos x在[0,2π]内的图象.
题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
7.设函数f(x)=sin2x-π2,x∈R,则f(x)是 (　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
8.(2021福建莆田高一期末)设函数f(x)=sinxax2(a≠0),f(-2 021)=2,则f(2 021)= (　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.2 019　　　　D.-2 019
9.函数y=sin12x-φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是 (　　)
A.0　　　　B.π4　　　　C.π2　　　　D.π
10.(2021江苏淮安淮阴中学高一期中)若函数y=cos(x+φ)为奇函数,则最小的正数φ=　　　　.?
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
11.(2021江苏盐城响水中学高一月考)函数y=cos2x+π4图象的一条对称轴方程是 (　　)
A.x=-π2　　　　B.x=?π4　　　　C.x=?π8　　　　D.x=π
12.函数y=3sin2x-π6-1图象的一条对称轴方程是 (　　)
A.x=π12　　　　B.x=π6　　　　C.x=π3　　　　D.x=π2
13.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于点7π12,0对称的是 (　　)
A. f(x)=sinx2+π6　　　　　　B. f(x)=sin2x+π6
C. f(x)=cos2x-π6　　　　　　D. f(x)=sin2x-π6
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),且对于任意x都有f π6+x=f π6-x,则
f π6的值为　　　　.?
题组四　正、余弦(型)函数的单调性及简单应用
15.函数y=2sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,则其单调递增区间为(　　)
A.kπ-3π4,kπ+π4(k∈Z)　　　　　　
B.2kπ-3π4,2kπ+π4(k∈Z)
C.kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z)　　　　　　
D.2kπ-3π8,2kπ+π8(k∈Z)
16.下列关系式中正确的是 (　　)
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°17.(2021广东汕头金山中学高一期末)函数y=cosπ4-2x的单调递减区间为　　　　　　　.?
18.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则实数a的取值范围是　　　　. ?
19.已知函数f(x)=sin12x+φ0<φ<π2,且f(x)的图象的一条对称轴是直线x=π4.
(1)求φ的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
题组五　正、余弦(型)函数的值域与最值
20.y=sin x-|sin x|的值域是 (　　)
A.[-1,0]　　　　B.[0,1]　　　　C.[-1,1]　　　　D.[-2,0]
21.当-π2≤x≤π2时,函数f(x)=2sinx+π3有 (　　)
A.最大值1,最小值-1　　　　　　B.最大值1,最小值-12
C.最大值2,最小值-2　　　　　　D.最大值2,最小值-1
22.已知函数f(x)=a-bcos2x+π6(b>0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asinbx-π3的最小值,并求出取最小值时x的集合.
选练素养
题组一　正、余弦(型)函数的图象及应用
1.()方程sin πx=14x的解的个数是 (　　)
A.5　　　　　　B.6
C.7　　　　　　D.8
2.()若函数f(x)=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则该平面图形的面积为　　　　.?
题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性、对称性
3.(2020辽宁辽阳高一下期末,)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)
A.y=cosπ+x2　　　　　　B.y=sin(2x+3π)
C.y=cos(π+2x)　　　　　　D.y=cosx-π2
4.(多选)(2020山东济南高一质检,)若函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R),则下列命题正确的是 (　　)
A.y=f(x)的解析式可写成y=4cos2x-π6
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=f x-π6是奇函数
D.y=fx+π12的图象关于y轴对称
5.()已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2,若直线x=-π4是f(x)图象的一条对称轴,点π4,0是f(x)图象的一个对称中心,则 (　　)
A.ω=4k+1(k∈N)　　　　　　B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N)　　　　　　D.ω=2k(k∈N*)
题组三　正、余弦(型)函数的单调性与最值
6.(2021北京丰台高一期末,)函数f(x)=2sinx-π6在区间π3,π2上的最大值为 (　　)
A.-2　　　　　　B.1 C.3　　　　　　D.2
7.(多选)(2021江苏南通高一期末,)已知函数f(x)=cos x+2cosx,则 (　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的最大值为3
C.2π是f(x)的一个周期
D.f(x)在0,π2上的最小值为22
8.(2021河北石家庄辛集中学高一期末,)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是 (　　)
A.0,12　　　　B.(0,2]　　　　C.12,54　　　　D.12,34
9.(2020天津一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若对任意x∈R,f(x)≤fπ6恒成立,且f π2>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
10.(2021江苏泰州中学高一期中,)已知f(x)=-sin2x+sin x+a.
(1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈R,恒有1≤f(x)≤174,求实数a的取值范围.
题组四　正、余弦(型)函数性质的综合运用
11.(2021北京朝阳高一期末,)设函数f(x)=4sinπx2,若存在实数x1,x2,…,xn,满足当x1A.505　　　　B.506　　　　C.507　　　　D.508
12.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1)A.-π≤x1C.|x1|>|x2|　　　　　　D.x12≤x22
13.(多选)()对于函数f(x)=ax3+bsin x+c(a,b∈R,c∈Z,x∈R),选取a,b,c的一组值分别去计算f(-1)和f(1)的值,所得出的正确结果可能是 ()
A.2和6　　　　　　B.3和9
C.4和11　　　　　　D.5和13
14.(2020湖南岳阳湘阴知源学校高三月考,)设函数f(x)=2cosπ3x,x∈[-6,6],12|x|,x∈(-∞,-6)?(6,+∞),若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　.?
15.(2021江苏南通如东马塘中学高一月考,)已知定义在区间-π,3π2上的函数y=f(x)的图象关于直线x=π4对称,当x≥π4时,f(x)=-sin x.
(1)作出y=f(x)的图象;
(2)求y=f(x)的解析式;
(3)若关于x的方程f(x)=-910有解,记方程所有解的和为M,结合(1)中的图象,求M的值.
16.()已知函数f(x)=2cos2x-π4,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈-π8,π2时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
17.()已知f(x)=-2asin2x+π6+2a+b,x∈π4,3π4,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
第2课时　正切函数的图象与性质
必练基础
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象可能是 (　　)
2.(2021江苏兴化楚水实验中学高一期中)函数f(x)=xtan x(-1≤x≤1)的图象可能是 (　　)

A B C D
3.根据正切函数的图象,使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合为　　　　　　　.?
4.(2021江苏仪征第二中学高一月考)画出f(x)=tan|x|的图象,并根据图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
题组二　正切(型)函数的定义域、值域
5.(2021江苏宜兴第一中学高一月考)函数y=tan2x-π6的定义域为 (　　)
A.x|x≠kπ2+π3,k∈Z　　　　　　B.x|x≠kπ2-π3,k∈Z
C.x|x≠kπ2+π6,k∈Z　　　　　　D.x|x≠kπ2+π4,k∈Z
6.(2021江苏海安高级中学高一期中)函数y=tan x-π4A.(-1,1)　　　　B.-1,33　　　　C.(-1,3)　　　　D.[-1,3]
7.已知x∈[0,2π],则函数y=tanx+-cosx的定义域为 (　　)
A.0,π2 　　　　B.π2,π　　　　C.π,3π2　　　　D.3π2,2π
8.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4,则其值域为　　　　.?
题组三　正切(型)函数的奇偶性、对称性、周期性
9.函数y=tan x2是 (　　)
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
10.(2021甘肃金昌永昌第一高级中学高一期末)函数y=2tan12x-π6图象的对称中心的坐标是 (　　)
A.2kπ+π3,0(k∈Z)　　　　　　B.2kπ+π6,0(k∈Z)
C.kπ+π3,0(k∈Z)　　　　　　D.kπ+π6,0(k∈Z)
11.已知函数f(x)=3tan12x-π3.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.
题组四　正切(型)函数的单调性及简单应用
12.(2021江苏连云港海州高级中学高一月考)f(x)=-tanx+π4的单调递减区间是 (　　)
A.kπ-π2,kπ+π2,k∈Z　　　　　　
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.kπ-3π4,kπ+π4,k∈Z　　　　　　
D.kπ-π4,kπ+3π4,k∈Z
13.(2021江苏淮安中学高一期末)下列各式中正确的是 ()
A.tan3π5>tanπ5　　　　　　B.tan 2>tan 3
C.cos-17π4>cos-23π5　　　　　　D.sin-π1814.若tan x>tanπ5,且x是第三象限角,则x的取值范围是　　　　　　　　　.?
选练素养
题组一　正切(型)函数的图象及其应用
1.(2020北京人大附中高一下阶段检测,)函数y=cos x·|tan x|0≤x<3π2且x≠π2的图象是 (　　)
A
B
C
D
2.(2021江苏连云港灌云高级中学高一期中,)若函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 (　　)
A. f(x)=|tan x|·ln|x|　　　　　　
B. f(x)=tan x·ln|x|
C. f(x)=-|tan x|·ln|x|　　　　　　
D. f(x)=-tan x·ln|x|
3.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末,)设函数f(x)=tanx,x∈2kπ-π2,2kπ+π2,|cosx|,x∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
题组二　正切(型)函数的定义域、值域
4.(2021江苏常州金坛第一中学高一期中,)函数y=1-tanx-π4+4-x2的定义域为 (　　)
A.-2,-π2　　　　　　B.-π4,π2
C.-2,-π2∪-π4,π2　　　　　　D.-2,-π2∪-π4,π2
5.(2021江苏徐州高级中学高一月考,)函数y=tan(cos x)的值域是 (　　)
A.-π4,π4　　　　　　B.-22,22
C.[-tan 1,tan 1]　　　　　　D.以上均不对
题组三　正切(型)函数的性质及应用
6.(2021江苏徐州丰县中学高一期末,)若函数y=tan ωx(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6,0,则ω的最小值为 (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
7.(多选)(2021江苏启东中学高一期末,)已知函数f(x)=tanωx-π6(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若f(x)的最小正周期是2π,则ω=12
B.当ω=1时,f(x)图象的对称中心的坐标为kπ+π6,0(k∈Z)
C.当ω=2时,f-π12D.若f(x)在区间π3,π上单调递增,则0<ω≤23
8.(多选)(2021江苏南通栟茶高级中学高一月考,)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)ω≠0,|φ|<π2,点π3,0和5π6,0是函数f(x)图象的相邻的两个对称中心,且在区间π3,2π3上单调递减,则φ= (　　)
A.π3　　　　B.π6　　　　C.?π3　　　　D.?π6
9.()已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 021,则f(2)=　　　　.?
10.()已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠π2+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-π6,x∈[-1,3]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)x为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,3]上是单调函数的θ的取值范围.
答案全解全析
7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
必练基础
1.B　由“五点法”作图可知B正确.
2.D　函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选D.
3.AC　在同一平面直角坐标系中画出y=sin x,y=cos x在[0,2π]内的图象,
在[0,2π]内,当cos x=sin x时,x=π4或x=5π4,结合图象可知,满足cos x>sin x的x的取值范围是0,π4和5π4,2π.故选AC.
4.C　方程10sin x=x的根的个数,即函数y=sin x与y=x10的图象的交点的个数.
作出函数y=sin x和y=x10在[0,4π]上的图象,如图所示:
由图象可知y=sin x与y=x10的图象在[0,+∞)上有4个交点,
根据函数图象的对称性可知y=sin x与y=x10的图象在(-∞,0)上有3个交点,
∴y=sin x与y=x10的图象共有7个交点,即方程10sin x=x有7个根.故选C.
5.答案　0,4π3∪5π3,2π
解析　画出y=sin x,y=-32在[0,2π]上的图象,如图,
观察图象可得不等式sin x≥-32的解集为0,4π3∪5π3,2π.
6.解析　列表如下:
x
0
π2
π
3π2
2π
y=cos x
1
0
-1
0
1
y=3+2cos x
5
3
1
3
5
描点画图,可得y=3+2cos x在[0,2π]内的图象,如图所示.
警示　作正弦函数、余弦函数的图象时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量的值与函数值都为实数.同时,在连线时要用平滑的曲线连接,不能用线段连接.
7.B　f(x)的最小正周期T=2π2=π.
∵sin2x-π2=?sinπ2-2x=-cos 2x,
∴f(x)=-cos 2x.
又f(x)的定义域为R,f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
8.B　∵f(x)=sinxax2(a≠0)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
f(-x)=sin(-x)a(-x)2=-sinxax2=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
∵f(-2 021)=2,∴f(2 021)=-f(-2 021)=-2.故选B.
9.C　由题意得sin(-φ)=±1,则sin φ=±1.
因为φ∈[0,π],所以φ=π2.故选C.
10.答案　π2
解析　因为函数y=cos(x+φ)为奇函数,
所以φ=π2+kπ,k∈Z,
又φ>0,所以π2+kπ>0,k∈Z,
当k=0时,φ取最小值π2.
11.C　令2x+π4=kπ,k∈Z,则x=-π8+kπ2,k∈Z.当k=0时,x=-π8.故选C.
12.C　令2x-π6=π2+kπ(k∈Z),
则x=π3+kπ2(k∈Z),当k=0时,x=π3,
故函数y=3sin2x-π6?1图象的一条对称轴方程是x=π3,故选C.
13.D　因为函数的最小正周期为π,所以2π|ω|=π,所以ω=±2,所以选项A不符合题意;
对于选项B, f7π12=sin2×7π12+π6=sin4π3=?32≠0,所以选项B不符合题意;
对于选项C, f7π12=cos2×7π12-π6=cos π=-1≠0,所以选项C不符合题意;
对于选项D, f7π12=sin2×7π12-π6=sin π=0,所以选项D符合题意.
14.答案　±2
解析　∵fπ6+x=fπ6-x,∴直线x=π6是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴,
∴fπ6=±2.
15.C　∵最小正周期T=π,ω>0,∴2πω=π,
∴ω=2,∴y=2sin2x+π4.
令-π2+2kπ≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),
则kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).
故函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z).
16.C　由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°.因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11°即sin 11°17.答案　kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z)
解析　y=cosπ4-2x=cos2x-π4.
令2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z).
18.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以-π19.解析　(1)∵直线x=π4是f(x)的图象的一条对称轴,
∴12×π4+φ=kπ+π2,k∈Z,
∴φ=kπ+3π8,k∈Z.
又∵0<φ<π2,∴φ=3π8.
(2)由(1)知f(x)=sin12x+3π8.
令2kπ-π2≤12x+3π8≤2kπ+π2,k∈Z,则4kπ-7π4≤x≤4kπ+π4,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ-7π4,4kπ+π4,k∈Z.
20.D　y=sin x-|sin x|
=0,0≤sinx≤1,2sinx,-1≤sinx<0.
当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,
因此函数的值域为[-2,0].
21.D　因为-π2≤x≤π2,
所以-π6≤x+π3≤5π6,
所以-12≤sinx+π3≤1,
所以-1≤2sinx+π3≤2,
即-1≤f(x)≤2,
所以f(x)有最大值2,最小值-1.
22.解析　(1)∵b>0,∴-b<0.
又cos2x+π6∈[-1,1],
∴f(x)max=b+a=32,f(x)min=-b+a=-12,∴a=12,b=1.
(2)由(1)知g(x)=-2sinx-π3,
∵sinx-π3∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2],
∴g(x)的最小值为-2,此时sinx-π3=1,∴x-π3=2kπ+π2,k∈Z,∴x=2kπ+5π6,k∈Z,∴取最小值时x的集合为xx=2kπ+5π6,k∈Z.
导师点睛　求三角函数的最值对应的自变量的值时,要考虑三角函数的周期性.
选练素养
1.C　方程sin πx=14x的解的个数,即函数y=sin πx与y=14x的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin πx,y=14x的图象如图,
由图可知,函数y=sin πx与y=14x的图象的交点个数为7,即方程sin πx=14x的解的个数是7.故选C.
2.答案　4π
解析　作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,其与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分,
利用函数图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积.易得OA=2,OC=2π,则S阴影=S矩形OABC=2×2π=4π.
3.B　对于A,y=cos π+x2=?sinx2,是奇函数,最小正周期T=2π12=4π,不符合题意;
对于B,y=sin(2x+3π)=-sin 2x,是奇函数,最小正周期T=2π2=π,符合题意;
对于C,y=cos(π+2x)=-cos 2x,是偶函数,不符合题意;
对于D,y=cosx-π2=|sin x|,是偶函数,不符合题意.故选B.
4.ACD　f(x)=4sin2x+π3=4cosπ2?2x+π3=4cos?2x+π6=4cos2x?π6,故A正确;最小正周期T=2π2=π,故B错误; fx-π6=4sin2x-π6+π3=4sin 2x,是奇函数,故C正确; fx+π12=4sin2x+π12+ π3=4cos 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称,故D正确.故选ACD.
5.C　∵直线x=-π4是f(x)图象的一条对称轴,∴-π4ω+φ=k1π?π2(k1∈Z)①.
∵点π4,0是f(x)图象的一个对称中心,∴π4ω+φ=k2π(k2∈Z)②.
②-①并化简,得ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵k1,k2∈Z,ω>0,
∴ω=2k+1(k∈N).
故选C.
6.C　因为x∈π3,π2,所以x-π6∈π6,π3,所以12≤sinx-π6≤32,所以1≤2sinx-π6≤3,所以函数f(x)=2sinx-π6在区间π3,π2上的最大值为3.故选C.
7.AC　由f(x)=cos x+2cosx得函数的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z,关于原点对称,
又f(-x)=cos(-x)+2cos(-x)=cos x+2cosx=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A选项正确;
f(x+2π)=cos(x+2π)+2cos(x+2π)=cos x+2cosx=f(x),故2π是f(x)的一个周期,故C选项正确;
设t=cos x,x≠π2+kπ,k∈Z,则t∈[-1,0)∪(0,1],易知函数y=t+2t在[-1,0)和(0,1]上单调递减,故函数f(x)无最大值,故B选项错误;
当x∈0,π2时,t∈(0,1),则y=t+1t∈(2,+∞),故函数f(x)在0,π2上无最小值,故D选项错误.
故选AC.
8.C　∵函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在π2,π上单调递减,∴最小正周期T=2πω≥π,∴0<ω≤2.
令π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,
则π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω,k∈Z.
∴存在k∈Z,使π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π均成立,此时12+4k≤ω≤54+2k,k∈Z,
∴12≤ω≤54,即ω的取值范围是12,54,故选C.
9.C　因为对任意x∈R, f(x)≤fπ6恒成立,所以fπ6=sinπ3+φ=±1,因为0<φ<2π,所以φ=π6或φ=7π6.当φ=π6时, f(x)=sin2x+π6,则fπ2=?12f(π)=-12,符合题意.故f(x)=sin2x+7π6.令2kπ+3π2≤2x+7π6≤2kπ+5π2,k∈Z,解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).故选C.
10.解析　(1)由f(x)=0,
得a=sin2x-sin x=sinx-122?14.
当sin x=-1时,amax=2;
当sin x=12时,amin=-14.
故实数a的取值范围为-14,2.
(2)由1≤f(x)≤174,得1≤-sin2x+sin x+a≤174,则a≤sin2x-sin x+174,且a≥sin2x-sin x+1对x∈R恒成立.
由sin2x-sin x+174=sinx-122+4≥4,得a≤4.
由sin2x-sin x+1=sinx-122+34≤3,得a≥3.
故3≤a≤4,即实数a的取值范围为[3,4].
11.C　易知x∈R,所以f(x)=4sinπx2∈[0,4],所以f(x)min=0,f(x)max=4,所以|f(x1)-f(x2)|≤4,当f(x1)与f(x2)一个为0,另一个为4时,|f(x1)-f(x2)|取得最大值4.
为满足当x1所以至少需506个|f(xi)-f(xi+1)|(1≤i≤n-1,i∈N*),才能使|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021,此时n-1=506,即n=507.故选C.
12.AC　∵f(x)=cos x-x2,x∈[-π,π],定义域关于原点对称,
f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),
∴f(x)是偶函数,易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,
∴当-π≤x1结合上述分析, 当f(x1)|x2|,x12>x22,故C正确,D错误.故选AC.
警示　偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反,解题时要将自变量化到同一单调区间内,防止错用单调区间造成错误.
13.ABD 　设F(x)=f(x)-c=ax3+bsin x.
∵F(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-(ax3+bsin x)=-F(x),x∈R,关于原点对称,∴F(x)是奇函数,∴F(-1)=-F(1).
又F(-1)=f(-1)-c, F(1)=f(1)-c,
∴f(-1)-c=-f(1)+c,
∴f(1)+f(-1)=2c.
由c∈Z知f(1)+f(-1)为偶数,
故A,B,D有可能正确,而4与11的和15为奇数,故C不可能正确,故选ABD.
导师点睛　研究自变量取一对相反数时两函数值的关系时,常利用函数的奇偶性.对于不具有奇偶性的函数,常根据解析式的特点构造新的具有奇偶性的函数.解本题时要注意对条件c∈Z的应用.
14.答案　-52,-2
解析　作出函数f(x)的图象如图,
令f(x)=t,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,只需方程t2+at+1=0有两个不同的实数根t1,t2,且t1,t2∈(0,2).
设g(t)=t2+at+1,
则有g(0)=1>0,g(2)=2a+5>0,Δ=a2-4>0,0<-a2<2,解得?52因此实数a的取值范围是-52,-2.
15.解析　(1)y=f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈-π,π4,
则π2?x∈π4,3π2.
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=π4对称,所以f(x)=fπ2-x,
又当x≥π4时,f(x)=-sin x,
所以f(x)=fπ2-x=?sinπ2-x=-cos x.
所以f(x)=-cosx,x∈-π,π4,-sinx,x∈π4,3π2.
(3)当x=π4时,fπ4=?22.因为?910∈-1,-22,所以结合(1)中图象可知,f(x)=-910有4个解,分别设为x1,x2,x3,x4,且x1由图象的对称性可知x1+x2=0,x3+x4=π,
所以M=x1+x2+x3+x4=π.
16.解析　(1)因为f(x)=2cos2x-π4,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
令-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ,k∈Z,
得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-3π8+kπ,π8+kπ(k∈Z).
(2)易知f(x)=2cos2x-π4在区间-π8,π8上为增函数,在区间π8,π2上为减函数,
又f-π8=0,fπ8=2,fπ2=-1,
所以当a∈[0,2)时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根.
17.解析　存在.
∵π4≤x≤3π4,∴2π3≤2x+π6≤5π3,
∴-1≤sin2x+π6≤32.
假设存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}.
当a>0时,-3a+2a+b=-3,2a+2a+b=3-1,
解得a=1,b=3-5(不合题意,舍去);
当a=0时, f(x)=b(不合题意,舍去);
当a<0时,2a+2a+b=-3,-3a+2a+b=3-1,
解得a=-1,b=1.
故存在有理数a=-1,b=1,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}.
第2课时　正切函数的图象与性质
必练基础
1.A　当x=2π3时,tan12×2π3-π3=0,故排除C,D;当x=7π6时,tan12×7π6-π3=1,故排除B.故选A.
2.B　因为f(-x)=(-x)tan(-x)=xtan x=f(x),且x∈[-1,1]关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A,C;当00,故排除D.故选B.
3.答案　x|kπ2-π6≤x解析　不等式3+3tan 2x≥0可转化为tan 2x≥?3.在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈-π2,π2的图象和直线y=?3,如图所示.
由图象得,在区间-π2,π2内,不等式tan x≥-3的解集是x|-π3≤x<π2,
∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+π2,k∈Z内,不等式tan x≥-3的解集是x|kπ-π3≤x令kπ-π3≤2x得kπ2?π6≤x∴使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合是x|kπ2-π6≤x警示　正切曲线在x轴上方的部分下凸,在x轴下方的部分上凸,画图时,要注意图象的光滑性及凹凸性.
4.解析　由题意得f(x)=
tanx,x≠kπ+π2,x≥0(k∈Z),-tanx,x≠kπ+π2,x<0(k∈Z).
根据y=tan x的图象,作出f(x)=tan|x|的图象,如图所示,
由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调递增区间为0,π2,kπ+π2,kπ+3π2(k∈N);
单调递减区间为-π2,0,kπ-3π2,kπ-π2(k=0,-1,-2,…).
5.A　令2x-π6≠π2+kπ,k∈Z,
则x≠π3+kπ2,k∈Z,
所以函数的定义域为xx≠kπ2+π3,k∈Z.故选A.
6.C　因为函数y=tan x在-π4,π3上单调递增,且tanπ3=3,tan-π4=-1,
所以函数的值域是(-1,3).故选C.
7.C　由题意知tanx≥0,-cosx≥0,0≤x≤2π,解得x∈π,3π2,
∴函数的定义域为π,3π2.
故选C.
8.答案　[-4,4]
解析　∵-π4≤x≤π4,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1],y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,易知y=-t2+4t+1在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4;当t=1,即x=π4时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].
9.B　 该函数为奇函数,其最小正周期为2π.故选B.
10.C　令x2?π6=kπ2(k∈Z),
解得x=kπ+π3,k∈Z,
故函数图象的对称中心的坐标为kπ+π3,0(k∈Z).故选C.
11.解析　(1)令12x?π3≠π2+kπ,k∈Z,得x≠5π3+2kπ,k∈Z,
∴f(x)的定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z,值域为R.
(2)易得f(x)为周期函数,且最小正周期T=π12=2π.
f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
令-π2+kπ<12x?π3<π2+kπ,k∈Z,得-π3+2kπ∴函数f(x)的单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ,k∈Z,无单调递减区间.
令12x?π3=kπ2(k∈Z),得x=kπ+2π3(k∈Z),∴函数f(x)的图象的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).
12.C　令-π2+kπ13.C　对于选项A,tan3π5=tan3π5-π=tan-2π5,因为正切函数y=tan x在-π2,π2上为增函数,且-π2对于选项B,由于正切函数y=tan x在π2,3π2上为增函数,且π2<2<3<3π2,
所以tan 2对于选项C,cos-17π4=cos17π4=cosπ4,cos-23π5=cos23π5=cos3π5,
因为余弦函数y=cos x在(0,π)上为减函数,且0<π4<3π5<π,所以cosπ4>cos3π5,即cos-17π4>cos-23π5,故C正确;
对于选项D,由于正弦函数y=sin x在-π2,π2上为增函数,且-π2sin-π10,故D错误.故选C.
解题模板　解答比较函数值大小问题的常见思路:①判断各个函数值所在的区间;②利用函数的单调性直接求解.
14.答案　2kπ+6π5,2kπ+3π2(k∈Z)
解析　∵tan x>tanπ5=tan6π5,且x是第三象限角,∴2kπ+6π5即x的取值范围是2kπ+6π5,2kπ+3π2(k∈Z).
选练素养
1.C　y=cos x·|tan x|=
sinx,0≤x<π2或π≤x<3π2,-sinx,π22.B　由题图可知函数y=f(x)为奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)<0.
对于选项A,f(-x)=|tan(-x)|·ln|-x|=|tan x|·ln|x|=f(x),该函数为偶函数,A选项不符合题意;
对于选项B,f(-x)=tan(-x)·ln|-x|=-tan x·ln|x|=-f(x),该函数为奇函数,当x∈(0,1)时,tan x>0,ln|x|<0,所以f(x)<0,符合题意;
对于选项C,f(-x)=-|tan(-x)|·ln|-x|=-|tan x|·ln|x|=f(x),该函数为偶函数,C选项不符合题意;
对于选项D,f(-x)=-tan(-x)·ln|-x|=tan x·ln|x|=-f(x),该函数为奇函数,当x∈(0,1)时,-tan x<0,ln|x|<0,所以f(x)>0,D选项不符合题意.
故选B.
3.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图象知,f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上的解的个数为7,故选A.
警示　作图时要注意当04.C　由题意可得1-tanx-π4≥0,4-x2≥0,
即tanx-π4≤1,x2-4≤0,
即-π2+kπ即-π4+kπ解得-2≤x≤-π2或?π4所以函数y=1-tanx-π4+4-x2的定义域为-2,-π2∪-π4,π2.
故选C.
5.C　∵-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上为增函数,
∴tan(-1)≤tan x≤tan 1,即-tan 1≤tan x≤tan 1.∴-tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.
故选C.
6.B　由于正切函数y=tan x图象的对称中心为kπ2,0(k∈Z),函数y=tan ωx(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6,0,所以πω6=kπ2(k∈Z),解得ω=3k(k∈Z).因为ω∈N*,所以当k=1时,ω取得最小值,为3.故选B.
7.AD　对于选项A,若f(x)的最小正周期是2π,则2π=πω,解得ω=12,故A选项正确;
对于选项B,当ω=1时,f(x)=tanx-π6,令x-π6=kπ2,k∈Z,解得x=π6+kπ2,k∈Z,所以函数图象的对称中心的坐标为π6+kπ2,0(k∈Z),故B选项错误;
对于选项C,当ω=2时,f(x)=tan2x-π6,则f-π12=tan2×-π12?π6=tan-π3=tan-10π30,f2π5=tan2×2π5-π6=tan 19π30=tan-11π30,由于y=tan x在-π2,0上单调递增,-π2tan-11π30,即f-π12>f2π5,故C选项错误;
对于选项D,令-π2+kπ<ωx?π6<π2+kπ,k∈Z,解得-π3ω+kπω0,所以取k=0,得0<ω≤23,故D选项正确.故选AD.
8.AD　由正切函数的图象可知相邻两个对称中心的距离为T2,所以T=2×5π6-π3=π.
由T=π|ω|=π得|ω|=1,则ω=±1.
∵|φ|<π2,且f(x)在π3,2π3上单调递减,∴ω=-1,∴f(x)=tan(-x+φ)=-tan(x-φ)|φ|<π2.
∵π3,0是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴π3?φ=kπ2,k∈Z,∴φ=π3?kπ2,k∈Z,
又|φ|<π2,∴φ=π3或φ=?π6.
当φ=π3时,f(x)=-tanx-π3,
令kπ-π2得kπ-π6则函数f(x)的单调递减区间为kπ-π6,kπ+5π6,k∈Z,
令k=0,得π3,2π3?-π6,5π6,∴函数f(x)在π3,2π3上单调递减,
∴φ=π3满足题意;
当φ=-π6时,f(x)=-tanx+π6,
令kπ-π2得kπ-2π3则函数f(x)的单调递减区间为kπ-2π3,kπ+π3,k∈Z,
令k=1,得π3,2π3?π3,4π3,∴函数f(x)在π3,2π3上单调递减,
∴φ=-π6满足题意.
综上,φ=π3或φ=?π6.故选AD.
9.答案　-2 023
解析　设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x,
则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x).
g(x)的定义域为xx∈R,x≠π2+kπ,k∈Z,关于原点对称,所以函数g(x)为奇函数.
所以g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,
又f(-2)=2 021,所以f(2)=-2 023.
10.解析　(1)当θ=-π6时,f(x)=x2-233x?1=x-332?43.
∵x∈[-1,3],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=33时,f(x)min=-43;
当x=-1时,f(x)max=233.
(2)由题可知g(x)=x-1x+2tan θ,∵g(x)为奇函数,∴g(-x)+g(x)=-x+1x+2tan θ+x?1x+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,3]上是单调函数,
∴-tan θ≥3或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-3或tan θ≥1,
∴-π2+kπ<θ≤?π3+kπ,k∈Z或π4+kπ≤θ<π2+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是-π2+kπ,-π3+kπ∪π4+kπ,π2+kπ,k∈Z.