13.2.1平面的基本性质同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

平面的基本性质
1．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是(　　)
A．∵A?α，B?α，∴AB?α
B．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α
C．∵A?α，a?α，∴A?a
D．∵AB?α，∴A?α
2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线　 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线　 D．不可能有三点共线
3．如图所示，ABCD?A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面
D．B，B1，O，M四点共面
4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
A　　　B　　　C　　　D
5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
二、填空题
6．经过空间任意三点可以作________个平面．
7．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l．
8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
三、解答题
9．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
10．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
能力过关
11．下列命题中是假命题的是(　　)
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α
B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l?α，A∈l，则A∈α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
12．(多选题)下列结论中，正确的是(　　)
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点A既在平面α内，又在平面β内，α与β相交于直线b，则点A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面
13．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
14．正方体ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是________；若正方体的棱长为1，则截面图形的面积为________．
15．在棱长是a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l．
(1)画出交线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求点D1到l的距离．
1．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是(　　)
A．∵A?α，B?α，∴AB?α
B．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α
C．∵A?α，a?α，∴A?a
D．∵AB?α，∴A?α
C　[A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为AB?α；C对．D错，A有可能在α内．]
2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线　 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线　 D．不可能有三点共线
B　[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A，B，D不共线．
(1)　　　　　　　(2)]
3．如图所示，ABCD?A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面
D．B，B1，O，M四点共面
D　[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确．]
4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
A　　　B　　　C　　　D
[答案]　D
5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
A　[图形A中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ．根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．]
二、填空题
6．经过空间任意三点可以作________个平面．
一个或无数　[若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．]
7．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l．
∈　[因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．]
8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
共线　[∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，
则α∩β＝CD．
∵l∩α＝O，
∴O∈α．
又∵O∈AB?β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．]
三、解答题
9．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
[证明]　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
在△BCD中，＝，
所以GH∥BD，所以EF∥GH．
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，
所以P∈EG，
又因为EG?平面ABC，
所以P∈平面ABC，
同理P∈平面ADC，
所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC．
所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．
10．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
[证明]　因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α．由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α．同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α．
又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°．同理∠CBH＝45°．又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．
能力过关
11．下列命题中是假命题的是(　　)
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α
B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l?α，A∈l，则A∈α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
C　[C中A是l和α交点时，A∈α．]
12．(多选题)下列结论中，正确的是(　　)
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点A既在平面α内，又在平面β内，α与β相交于直线b，则点A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面
ABC　[由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；假设四个点中，有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，可得这四个点共面，故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误．故选ABC．]
13．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
P∈DE　[因为D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，
故DE是平面ABC与平面α的交线．
又∵P点在α内，也在平面ABC内，
故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]
14．正方体ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是________；若正方体的棱长为1，则截面图形的面积为________．
正六边形　　[如图所示，取C1D1的中点E，连接RE，REPQ，
∴P，Q，E，R共面．
再取BB1，DD1的中点F，G．
∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，
∴GE∥PF，
综上E，G，F，P，Q，R共面，
又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝AB，
∴截面图形为正六边形．
∵正方体的棱长为1，故QP＝，
∴S正六边形PQGERF＝6×PQ×PQ＝6××＝．]
15．在棱长是a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l．
(1)画出交线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求点D1到l的距离．
[解]　(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连接QN，则直线QN就是两平面的交线l．
(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，
∴A1是QD1的中点．
又∵A1P∥D1N，
∴A1P＝D1N．
∵N是D1C1的中点，
∴A1P＝D1C1＝，
∴PB1＝A1B1－A1P＝a．
(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．
∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，
∴QN＝＝a，
∴D1H＝＝＝a，
即点D1到l的距离是a．