10.3几个三角恒等式同步练习_2020-2021学年高一下学期苏教版(2019)必修第二册第10章三角恒等变换（Word含答案解析）

2020-2021学年苏教版第二册高一数学下学期第10章10.3几个三角恒等式同步练习
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象过点，若要得到一个奇函数的图象，则需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．已知，则（　　）
A． B． C．3 D．2
6．已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在的最大值是1，则m的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．关于函数，有以下4个结论：
①的最小正周期是；②的图象关于点中心对称；
③的最小值为；④在区间内单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
二、多选题
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
11．已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个对称中心 D．的最大值为
12．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．关于函数有下述四个结论，其中正确的是：（ ）
A．的图象关于原点对称 B．在区间单调递减
C．在有2个零点 D．的最大值为2
14．设函数，已知在有且仅有个零点，则（ ）
A．在上存在、，满足
B．在有且仅有个最小值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
三、填空题
15．已知，，，则___________.
16．已知，，，，则_______.
17．已知则的值为_____________.
18．若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是___________.
19．已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的最大值为__________．
四、解答题
20．已知为锐角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
22．已知函数，求
（1）的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
23．已知函数.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若先将的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在区间内的所有零点之和.
24．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数，求函数的单调增区间.
25．已知函数，．
（1）求函数的周期和值域；
（2）设，若对任意的及任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
26．已知函数，.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）设在区间上有五个零点.
①求实数的取值范围；
②当两个零点间的距离为时，求在区间上相应的五个零点.
参考答案
1．C
【详解】
∵，
∴，而，
∴，
故选：C
2．C
【详解】
因为，所以，则，
因为，，
所以，，
则.
故选：C.
3．C
【详解】
.
的最小正周期为.
故选：C.
4．C
【详解】
解：，
又过点，
故，
即，
解得：，
又，
令，
解得：，
，
故若要得到一个奇函数的图象，则需将函数的图象向左平移个单位.
故选：C.
5．C
【详解】
由，，故，
∴，取倒数即得，所以.
故选：C.
6．D
【详解】
.
由于，即的值域为，
，
即在处取得最小值，
而的最小正周期为，其一半为，则，
所以在上递增，且在处取得最大值，
故的最小值为.
故选：D
7．B
【详解】
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
的对称中心为
当时为.
故选：B.
8．A
【详解】
=，
因为，
所以，
因为在的最大值是1，
所以，解得，
所以m的最小值为.
故选：A
9．B
【详解】
，
由，知：最小正周期，故①正确；
由正弦函数的性质，知：中，，
则对称中心为，故②错误；
由的化简函数式知：，故③正确
因为在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：
在上递增，
可得，，有一个单调增区间为，
故上不单调，故④错误，
故选：B.
10．BC
【详解】
所以的最大值为，故选项A不正确；
的最小正周期为，故选项B正确；
因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确；
令，解得：，
所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确，
故选：BC.
11．ABC
【详解】
，
所以，.
对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，当时，，
此时，函数在上单调递减，B选项正确；
对于C选项，，
所以，是的一个对称中心，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选：ABC.
12．BC
【详解】
①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
13．BC
【详解】
当，即时，，
当，即时，，
所以，
A.因为函数定义域为R，关于原点对称，又，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故错误；
B.当时， ，因为在上单调递减，所以在区间单调递减，故正确；
C. 令，则，因为，解得，又因为是偶函数，所以函数在有2个零点，故正确；
D. 的最大值为，故错误；
故选：BC
14．AD
【详解】
，
当时，，令，则，
作出函数的图象如下图所示：
对于A选项，由图象可知，，，
所以，在上存在、，满足，A选项正确；
对于B选项，在上有个或个最小值点，B选项错误；
对于D选项，由于函数在有且仅有个零点，则，解得，D选项正确；
对于C选项，由于，取，当时，，
此时，函数在区间上不单调，C选项错误.
故选：AD.
15．
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
因为， ，所以，
因为，所以，
所以
，
故答案为：.
16．
【详解】
,,
,
,,
,
=.
故答案为：.
17．
【详解】
故答案为：
18．
【详解】
由对称轴关系得，令得，求得，
从而，当时，取到最大值.
故答案为：.
19．
【详解】
利用辅助角公式，化简可得，
方程仅有一个实数根，等价于函数与函数的图象的交点个数为1，结合图象可知，
当时，m的最大值为．
故答案为：.
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为为锐角，且.
所以，所以，
所以.
（2）因为，，
所以

21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；
【详解】
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
22．（1）；（2），此时的集合为
【详解】
（1）.
∴函数的最小正周期.
（2）∵，，∴∴.
此时，∴.
取最小值时的集合为
23．（1），（2）
【详解】
解：（1）
，
若对任意，都有成立，则只需即可，
因为，所以，
所以当即时，取得最小值为，所以，
（2）先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图像，然后再向左平移个单位得到函数的图像，
函数在区间内的所有零点，即的实数根，它的实数根共4个，设为，则根据对称性可知这4个根关于直线对称，
所以，
所以
24．（1）最小正周期为；（2）.
【详解】
解：（1）函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）
，
令，得，
所以函数的单调增区间为.
【点睛】
方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法.
25．（1），；（2）.
【详解】
（1），
周期
由，则，
所以当，即时，有最小值-1
当，即时，有最大值，
所以，所以.
即的值域为
（2）对任意的及任意的，都有不等式恒成立，
只需当
由（1）知，.
当，为上增函数，值域为R，不满足题意；
当，为上增函数，值域为,不满足题意；
当，为对勾函数，
所以，即，
当且仅当，即时取等号.
由题意，即可，所以.
26．（1），；（2）①；②、、、、.
【详解】
.
（1）当时，，
令，，解得，，
故当时，的单调递增区间为，；
（2）①由，得，
要使在区间上有五个零点，则，解得，
所以实数的取值范围为；
②当函数的两个零点间的距离为时，设函数的最小正周期为，分情况讨论如下：
当函数的两个零点相邻时，的最小正周期为，
所以，可得不满足题意；
当函数的两个零点之间间隔一个零点时，的最小正周期为，
所以，可得不满足题意；
当函数的两个零点之间间隔两个零点时，则，的最小正周期为，
所以，可得不满足题意﹔
当函数的两个零点之间间隔三个零点时，则，的最小正周期为，
所以，可得满足题意.
此时，由可得，
则，解得，
所以，函数在区间上的五个零点分别为、、、、.
综上，当函数的两个零点间的距离为时，在区间上相应的五个零点分别为、、、、.