第1章1.1 集合的概念与表示——2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册同步练习（Word含答案解析）

第1章　集合
1.1　集合的概念与表示
必练基础
题组一　集合的概念与集合中元素的特征
1.下列对象中能构成集合的是 (　　)
A.中国古代四大发明
B.2020年江苏高考数学试题中的所有难题
C.校园里美丽的花
D.与无理数π无限接近的数
2.下列各组集合中,表示同一集合的是 (　　)
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
3.(2020江苏启东中学高一月考)如果集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是　　 (　　)
A.锐角三角形　　　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　　　D.等腰三角形
4.若集合A={a,a2},则实数a的取值范围是　　　　.?
题组二　元素与集合的关系
5.(2020浙江高二学业考试)已知集合A={x∈R|1A.1∈A　　　　B.2?A　　　　C.3∈A　　　　D.4?A
6.给出下列关系:①12∈R;②2?Q;③|-3|?N;④|-3|∈Q;⑤0?N;⑥0∈?.其中正确的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.(多选)(2020江苏扬州大学附属中学高一上月考)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是 (　易错　)
A.(1,2)∈B　　　　　　B.A=B
C.0?A　　　　　　 D.(0,0)?B
题组三　集合的表示方法
8.下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为 (　　)
A.{x|1C.{x|1≤x≤5,x∈N*}　　D.{x|x∈N*}
9.(2020江苏徐州第一中学高一月考)设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为(　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12
10.(2020江苏南通栟茶高级中学高一月考)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,小女三日一归,问三女何时相会?”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为　　　　　　　.?
11.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的整数;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标构成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合.

题组四　集合相等
12.(2020江苏南京江浦高级中学高一月考)下列集合与集合M={2,3}相等的是 (　　)
A.{(2,3)}　　　　　　B.{(x,y)|x=2,y=3}
C.{x|x2-5x+6=0}　　　　　　D.{x=2,y=3}
13.(2021江苏连云港赣榆智贤中学高一月考)已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,则a等于 (　易错　)
A.-1或3　　　　B.0或-1　　　　C.3　　　　D.-1
14.(2020江苏常州高级中学高一月考)已知集合A中含有两个元素1,2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解构成的集合,且集合A与集合B相等,则a+b=　　　　.?
15.已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},这三个集合相等吗?试说明理由.
选练素养
题组一　集合中元素的特征
1.(2019江苏连云港新海高级中学高一月考,)已知a∈R,b∈R,若集合a,ba,1={a2,a+b,0},则a2 020+b2 019的值为 (　　)
A.-2　　　　　　B.1
C.-1　　　　　　D.2
2.(2020上海黄浦格致中学高一上月考,)已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,则实数a=　　　　.?
3.(2020江苏淮安中学高一月考,)由a2,2-a,4所构成的集合记为A.
(1)是否存在实数a,使得A中只含有一个元素?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)若A中含有两个元素,求实数a的值.
题组二　元素与集合的关系及其应用
4.(2019江西九江彭泽第一中学高一月考,)若集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a>-12　　　　　　B.a≥?12
C.a<-12　　　　　　D.a≤?12
5.(2020山东邹平黄山中学高一月考,)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,
n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列关系不正确的是(　　)
A.x1x2∈A　　　　　　B.x2x3∈B
C.x1+x2∈B　　　　　 D.x1+x2+x3∈A
6.(2020浙江义乌中学高一期中,)下列是集合A=(x,y)|x=k3,y=k4,k∈Z中的元素的是(　　)
A.13,34　　　　　　B.23,34
C.(3,4)　　　　　　D.(4,3)
7.(多选)(2019山东济宁兖州高一月考,)已知x,y,z为非零实数,代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值构成的集合是M,则下列关系正确的是 (　　)
A.0?M　　　　B.2∈M　　　　C.-4∈M　　　　D.4∈M
8.()集合A中的元素x满足63-x∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.?
9.(2020江苏无锡辅仁高级中学高一月考,)已知集合A中含有a-3和2a-1两个元素,若-3∈A,则实数a的值为　　　　.?
10.(2019江苏南通如东中学高一期中,)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 020a的值为　　　　.?
11.(2020广东佛山一中高一月考,)已知集合A={x|x=m+2n,m,n∈Z}.
(1)试分别判断x1=-2,x2=12-2,x3=(1-22)2与集合A的关系;
(2)设x1,x2∈A,证明:x1x2∈A.
答案全解全析
第1章　集合
1.1　集合的概念与表示
必练基础
1.A　中国古代四大发明是火药、造纸术、印刷术、指南针,对象具备确定性、互异性、无序性,所以选项A中对象能构成集合;因为未规定“难”的标准,所以选项B中对象不能构成集合;同理,“美丽”“无限接近”都没有明确的标准,所以选项C、D中对象都不能构成集合.
2.B　对于选项A,M,N都是点集,(3,2)与(2,3)是不同的点,则M,N是不同的集合,故不符合;对于选项B,M,N都是数集,根据集合中元素的无序性,可知M,N是同一集合,符合要求;对于选项C,M是点集,N是数集,则M,N是不同的集合,故不符合;对于选项D,M是数集,N是点集,则M,N是不同的集合,故不符合.故选B.
3.D　因为集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,由集合中元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
4.答案　{a|a∈R,a≠0且a≠1}
解析　由集合中元素的互异性可得a≠a2,所以a≠0且a≠1.
5.D　集合A={x∈R|16.B　12是实数,①对;2不是有理数,②对;|-3|=3是自然数,③错;|-3|=3是无理数,④错;0是自然数,⑤错;?中不含任何元素,0??,⑥错.故选B.
7.ACD　集合A={y|y≥1},集合B是由抛物线y=x2+1上的点构成的集合,故A、C、D正确.
易错警示　要注意数集与点集的区别.数集的代表元素是一个字母,点集的代表元素是有序实数对.
8.C　由题图知,集合是由正整数1,2,3,4,5组成的,故用描述法可表示为{x|1≤x≤5,x∈N*}.
9.C　易得集合B中的元素为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个元素.故选C.
10.答案　{60,120,180}
信息提取　①长女五日一归;②中女四日一归;③小女三日一归.
数学建模　本题以数学名著《孙子算经》中的问题为背景,构建集合问题.将三女回家的间隔天数用数字表示出来,可以推理出三女相会经过的天数是5,4,3的公倍数,从而求出三女前三次相会经过的天数.
解析　易得三女相会经过的天数是5,4,3的公倍数,它们的最小公倍数为60,因此三女前三次相会经过的天数用集合表示为{60,120,180}.
11.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)(x,y)-1≤x≤2,-12≤y≤1,且xy≥0.
(3){x|x=|x|,x∈Z}.
12.C　选项A中,集合中的元素为点(2,3),与集合M不同;选项B中,集合中的元素为点(2,3),与集合M不同;选项C中,解方程x2-5x+6=0,可得x=2或x=3,则{x|x2-5x+6=0}={2,3},与集合M相同;选项D中,表示两个代数式的集合,与集合M不同.
13.C　由于A=B,故a2=2a+3,解得a=-1或a=3.
当a=-1时,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,故a=-1不符合.经检验可知a=3符合.
易错警示　求得参数的值后,要将参数值代回原集合进行检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,否则容易出现错解.
14.答案　-1
解析　根据题意,有1+a+b=0,4+2a+b=0,解得a=-3,b=2.所以a+b=-3+2=-1.
15.解析　三个集合不相等.理由如下:
集合A中的代表元素是x,满足条件y=x2+3的x的取值范围是x∈R,所以A=R.
集合B中的代表元素是y,满足条件y=x2+3的y的取值范围是y≥3,所以B={y|y≥3}.
集合C中的代表元素是点(x,y),且点在抛物线y=x2+3上,所以C={P|P是抛物线y=x2+3上的点}.
综上,三个集合不相等.
选练素养
1.B　易知a≠0,∵a,ba,1={a2,a+b,0},∴ba=0,即b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0}.
∴a2=1,解得a=-1或a=1.
当a=1时,集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-1时,集合为{-1,0,1}.
∴a=-1,b=0.
∴a2 020+b2 019=(-1)2 020+02 019=1.
2.答案　2或32
解析　由(x-a)(x2-ax+a-1)=0,
得x-a=0或x2-ax+a-1=0,
解得x1=a,x2=a-1,x3=1.
若a=1,则M={1,0},不满足集合中各元素之和等于3,故舍去;
若a-1=1,即a=2,则M={2,1},满足集合中各元素之和等于3;
若a≠1且a≠2,则M={a,a-1,1},
令a+a-1+1=3,
得a=32,满足a≠1且a≠2.
综上,a的值为2或32.
3.解析　(1)存在.理由如下:
若A中只含有一个元素,则a2=2-a=4.
由2-a=4,解得a=-2,此时a2=4,符合条件.
故当a=-2时,A中只含有一个元素.
(2)由题意可知,三个数中有且只有两个数相等,即a2=2-a≠4或a2=4≠2-a或2-a=4≠a2.
当a2=2-a≠4时,解得a=1;
当a2=4≠2-a时,解得a=2;
当2-a=4≠a2时,无解.
综上,当a=1或a=2时,集合A中含有两个元素.
4.D　因为集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,所以-2∈A,所以-2a≥1,所以a≤-12,经检验满足题意.
5.D　易知集合A表示奇数集,集合B表示偶数集.
∴x1,x2是奇数,x3是偶数,
∴x1x2为奇数,x2x3为偶数,x1+x2为偶数,x1+x2+x3为偶数.故选D.
6.D　对于选项A,当x=13,y=34时,k3=13,k4=34,无解;对于选项B,当x=23,y=34时,k3=23,k4=34,无解;对于选项C,当x=3,y=4时,k3=3,k4=4,无解;对于选项D,当x=4,y=3时,k3=4,k4=3,解得k=12.故选D.
7.CD　根据题意,分4种情况讨论:
①当x,y,z全部为负数时,xyz为负数,则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=-4;
②当x,y,z中有一个为负数时,xyz为负数,则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0;
③当x,y,z中有两个为负数时,xyz为正数,则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0;
④当x,y,z全部为正数时,xyz为正数,则x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4.
故M={-4,0,4}.故选CD.
8.答案　0,1,2
解析　∵x∈N,63-x∈N,
∴0≤x≤2且x∈N.
当x=0时,63-x=63=2∈N;
当x=1时,63-x=63-1=3∈N;
当x=2时,63-x=63-2=6∈N.
∴集合A中的元素为0,1,2.
9.答案　0或-1
解析　∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,解得a=0或a=-1.
当a=0时,集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;
当a=-1时,集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上,a=0或a=-1.
10.答案　1
解析　①若a+2=1,即a=-1,则(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;
②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0,
当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;
当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意;
③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①、②可知均不满足集合中元素的互异性.
综上,实数a的值为0,故2 020a的值为1.
11.解析　(1)x1=-2=0+(-1)×2,
因为0,-1∈Z,所以x1∈A;
x2=12-2=2+22=1+12×2,
因为1∈Z,12?Z,所以x2?A;
x3=(1-22)2=9-42=9+(-4)×2,
因为9,-4∈Z,所以x3∈A.
(2)证明:因为x1,x2∈A,
所以可设x1=m1+2n1,x2=m2+2n2,且m1,n1,m2,n2∈Z,
所以x1x2=(m1+2n1)(m2+2n2)
=m1m2+2(m2n1+m1n2)+2n1n2
=(m1m2+2n1n2)+2(m2n1+m1n2).
易知m1m2+2n1n2∈Z,m2n1+m1n2∈Z,
所以x1x2∈A.