专题强化练10 诱导公式及其应用——2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册同步专题强化练（Word含答案解析）

专题强化练10　诱导公式及其应用
一、选择题
1.(2021江苏南通西亭高级中学高一期中,)已知sin(π+α)=12,且α为第四象限角,则tan α= (　　)
A.3　　　　B.?3　　　　C.33　　　　D.?33
2.(2020辽宁沈阳二中高三上段考,)已知α∈R,则“cosπ2+α>0”是“α是第三象限角”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　D.既不充分又不必要条件
3.(2020江苏南通高一月考,)若sin(α-π)=2sin3π2+α,则sinα+3cosα2sinα-cosα的值为 (　　)
A.-5　　　　B.5　　　　C.53　　　　D.15
4.(2019江西南康中学等九校高三模拟,)已知α∈(0,π),且cos α=-1517,则sinπ2+α·tan(π+α)=(　　)
A.-1517　　　　B.1517　　　　C.?817　　　　D.817
5.(多选)(2021江苏无锡锡山高级中学高一期末,)下列说法中正确的是(　　)
A.若α=3,则sin α>cos α
B.cosπ2+α?cos3π2-α=0
C.若sin(kπ+α)=23(k∈Z),则sin α=23
D.若sin α=sin β,则α=β+2kπ(k∈Z)
6.()已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若a=fsin 12π7,b=fcos5π7,c=ftan2π7,则 (　　)
A.a>b>c　　　　B.c>a>b　　　　C.b>a>c　　　　D.c>b>a
二、填空题
7.(2021福建泉州高一期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边交单位圆O于点P12,b,则sinπ2-α=　　.?
8.()已知函数f(x)=x2+sinx+π3,x>0,-x2+cos(x+α),x<0,α∈[0,2π)是奇函数,则α=　　　　.?
三、解答题
9.(2021江苏南通高一期末,)已知f(α)=sin2(π-α)tan(-π+α)sin5π2+αcosαcosπ2+αtan(-α+3π).
(1)化简f(α);
(2)若锐角α满足f(α)=63,求sin2α+2sin αcos α?cos2α+2tanα的值.
10.(2020浙江宁波北仑中学高一上期中,)已知f(α)=sin(π-α)sin-α+3π2sin(-π-α).
(1)若tan α=2,求sinα+2cosα3f(α)的值;
(2)若f π6-α=?13,-π3<α答案全解全析
专题强化练10　诱导公式及其应用
一、选择题
1.D　因为sin(π+α)=-sin α=12,所以sin α=-12,又α为第四象限角,所以cos α=1-sin2α=32,故tan α=sinαcosα=?33.
故选D.
2.B　由cosπ2+α>0,得-sin α>0,所以sin α<0,所以α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角.若α是第三象限角,则sin α<0,即cosπ2+α>0.所以“cosπ2+α>0”是“α是第三象限角”的必要不充分条件.
故选B.
3.C　因为sin(α-π)=2sin3π2+α,
所以-sin α=-2cos α,即tan α=2.
所以sinα+3cosα2sinα-cosα=tanα+32tanα-1=2+32×2-1=53.
故选C.
4.D　sinπ2+α·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α.
因为α∈(0,π),且cos α=-1517,
所以sin α=1-cos2α=1--15172=817.故选D.
5.AB　因为π2<α=3<π,所以α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α>cos α,故A正确;
cosπ2+α?cos3π2-α=-sin α+sin α=0,故B正确;
当k为奇数时,sin(kπ+α)=sin(π+α)=-sin α=23,所以sin α=-23,故C不正确;
当sin α=sin β时,α,β的终边可能相同,也可能关于y轴对称,所以α=β+2kπ(k∈Z)不一定成立,故D不正确.
故选AB.
6.B　sin12π7=sin2π-2π7=?sin 2π7,
则a=fsin 12π7=f-sin 2π7.
cos5π7=cosπ-2π7=?cos2π7,
则b=fcos5π7=f-cos 2π7.
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以a=f-sin2π7=fsin2π7,
b=f-cos 2π7=fcos2π7.
因为π4<2π7<π2,所以0又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以ftan2π7>fsin2π7>fcos2π7,
所以c>a>b.故选B.
二、填空题
7.答案　12
解析　由题意得cos α=12,
所以sinπ2-α=cos α=12.
8.答案　7π6
解析　设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+sin-x+π3,∴f(x)=-f(-x)=-x2-sin-x+π3.
∴-x2+cos(x+α)=-x2-sin-x+π3,
∴cos(x+α)=sinx-π3=sinx+α+π2,
∴x-π3=x+α+π2+2kπ,k∈Z,∴α=-5π6-2kπ,k∈Z.∵α∈[0,2π),∴α=7π6.
三、解答题
9.解析　(1)f(α)
=sin2(π-α)tan(-π+α)sin5π2+αcosαcosπ2+αtan(-α+3π)
=sin2αtanαsinπ2+αcosα(-sinα)tan(-α)
=sin2αtanαcosαcosαsinαtanα=sin α.
(2)因为f(α)=sin α=63,且α是锐角,所以cos α=1-sin2α=33,所以tan α=sinαcosα=2.
所以sin2α+2sin αcos α?cos2α+2tanα
=sin2α+2sinαcosα-cos2αsin2α+cos2α+2tanα
=tan2α+2tanα-1tan2α+1+2tanα=1+2.
10.解析　f(α)=sin(π-α)sin-α+3π2sin(-π-α)=sinα(-cosα)sinα=-cos α.
(1)sinα+2cosα3f(α)=sinα+2cosα-3cosα=tanα+2-3=2+2-3=?43.
(2)∵fπ6-α=?cosπ6-α=?13,
∴cosπ6-α=13,
∴cos5π6+α=cosπ-π6-α
=-cosπ6-α=?13.
∵-π3<α∴π4<π6?α<π2,
∴sinπ6-α=1-cos2π6-α
=1-132=223,
∴cos-π3-α=cosπ6-α-π2
=cosπ2-π6-α
=sinπ6-α=223.
∴cos5π6+α+cos-π3-α=?13+223=22-13.