2020-2021学年高一下学期苏教版（2019）必修第二册第11章11.3余弦定理、正弦定理应用同步训练（Word含答案解析）

2020-2021学年苏教版必修第二册第11章11.3余弦定理、正弦定理应用同步训练
一、单选题
1．在中，若，，则形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
3．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（ ）
A．2h米 B．h米
C．h米 D．2h米
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
5．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
8．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
9．如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是
A． B． C． D．
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)
A． B． C．3 D．
二、多选题
11．已知△ABC的内角A?B?C所对的边分别为a?b?c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
12．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
13．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a＝6，4sinB＝5sinC，有以下四个命题中正确命题有 （　　）
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
三、填空题
15．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．
16．如图，在四边形中，，且，则对角线的长为_____.
17．若满足条件，的有两个，则边长的取值范围是________．
18．已知是边上一点，且，，，则的最大值为__________．
四、解答题
19．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.
（1）求的面积；
（2）求边的长.
20．在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
21．在锐角中，角的对边分别为，已知
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
22．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角B的大小和边长b的值；
（2）求面积的取值范围．
23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．
参考答案
1．C
由正弦定理知：，，
则可化为：.
因为
所以，
所以，可得或，
又因为，
所以
所以，，，
所以为等边三角形.
2．B
在中，，解得又 所以
3．A
如图所示，，，
4．C
由得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
故选：C．
5．C
在△ABC中，AC＝m，∠BAC＝α，∠BCA＝β.
∴∠ABC＝π－α－β.
∴sin ∠ABC＝sin (π－α－β)＝sin (α＋β)．
由正弦定理，得.
6．C
由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.
7．A
，
，由正弦定理可得：，
可得：，可得，可得：，
，或，
，或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
8．D
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
9．D
解：设,则,,
在中,由余弦定理知,
解得米,(舍去).
故铁塔的高度为600米.
10．A
由已知得：
即
所以 即
又因为
所以 所以
又因为 所以 是等边三角形.
所以
在中，由余弦定理得
且
因为平面四边形OACB面积为

当 时，有最大值 ，
此时平面四边形OACB面积有最大值 ，
11．ABD
A．因为，所以，
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
12．AB
如图所示，在中，，
由余弦定理得，，
整理得，解得或.
故选：AB
13．ABD
因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，所以.
由正弦定理得，，所以
14．ACD
以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（﹣3，0），C（3，0），
4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，设A（m，n），
可得4＝5，平方可得16（m2+n2﹣6m+9）＝25（m2+n2+6m+9），
即有m2+n2+m+9＝0，化为（m+）2+n2＝（）2，
则A的轨迹为以（﹣，0），半径为的圆，可得△ABC的面积的最大值为×6×＝40，
故A对；
a＝6，4sinB＝5sinC即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，由36+16t2＝25t2，可得t＝，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，
由＝，可得＝＝，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），
sinC＝＝，可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，
＝，可得：c＝4，b＝5，则a+b+c＝15，
故C对；
a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，
由＝，可得＝＝，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），
sinC＝＝，可得：sinA＝2sinCcosC＝2××＝，
＝，可得：c＝4，b＝5，
S△ABC＝bcsinA＝×5×4×＝.
设△ABC的内切圆半径为R，则R＝＝＝，
S△ABO＝cR＝×4×＝.故D对.
15．60
由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，
在中，.
16．
由题意，设，
由，则，
在中，，由余弦定理得；
在中，，由余弦定理得；
∵，∴．
17．
解：因为
所以 ，由正弦定理可得
，因为三角形中
所以 ，即
过B作AC边上的高BD，垂足为D，则 ，若存在两个三角形ABC
则
解得
18．
设，，设，则，，如下图所示：
在中，；在中，.
，，
所以，，整理得，①
在中，，②
由①②可得，
由基本不等式可得，
，因此，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
19．
解：（1）在中，由余弦定理得
，
∵为三角形的内角，
，
，
．
（2）在中，，
由正弦定理得：
∴．
20．
（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
21．
（1）由，得，得，得，
在，，
由余弦定理，
得，
即，解得或.
当时， 即为钝角（舍），
故符合.
（2）由（1）得，
所以，
，
为锐角三角形，，，
，
，
故的取值范围是.
22．
解：（1），
，即：，
由为锐角，可得；
，
由正、余弦定理，可得，整理得
所以．
（2），
，，
又在锐角中，，，，
，

因为，
所以
所以
23．
解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;
,
,
由．
由余弦定理可得：，
，
．
如图所示:
设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时．
故的面积的最小值为．