【备考2022】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编 导数小题（含解析）

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2012-2021十年全国卷高考数学真题分类精编
导数小题
（精解精析）
一、选择题
1.(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则(　　)
A
B．
C．
D．
2.（2021年新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.（2021年全国乙卷（理））设，，．则（
）
A.
B.
C.
D.
4.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线与曲线和都相切，则的方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
6.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
7.(2019·全国2·文)曲线在点处的切线方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
8.(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
(　　)
A．
B．
C．
D．
9.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为
(　　)
A．
B．
C．
D．1
10.(2017·浙江)函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
(　　)
11.(2016·山东·理)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是(　　)
A.
B.
C.
D.
12.(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
13.(2015高考数学新课标1理科)设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
14.(2014高考数学课标2理科)设曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15.(2014高考数学课标1理科)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为
(　　)
A．
B．
C．
D．
16.(2014·全国2·文)若函数在区间单调递增，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
17.(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是
(
)
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
18.(2013高考数学新课标1理科)已知函数，若，则的
取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
19.(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
20.（2021年新高考1卷）函数的最小值为______.
21.（2020年高考北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用
的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、
乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
22.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为
．
23.(2019·全国1)曲线在点处的切线方程为　　.?
24.(2019·天津·文T11)曲线在点处的切线方程为　　.?
25.(2019·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点，则点的坐标是　　.?
26.(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则
．
27.(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
28.(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数，则的最小值是
．
29.(2018·天津·文)已知函数，为的导函数，则的值为　　.?
30.(2018·全国2·理)曲线在点处的切线方程为　　.?
31.(2018·全国2·文)曲线在点处的切线方程为　　.?
32.(2018·全国3，理)直线在点处的切线的斜率为，则　　.?
33.(2018·江苏)若函数在(0，+∞)内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为　　.?
34.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点，、、分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
35.(2017·全国1，文)曲线在点处的切线方程为　　.?
36.(2017·天津，文)已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为　　.?
37.(2017·山东·理)若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为　　.?
①　②　③　④
38.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数，当时，，，则曲线在点处的切线方程是_______________.
39.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
．
40.(2015·全国1·文)已知函数的图象在点处的切线过点，则　　.?
41.(2015·全国2·文)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则　　.?
42.(2015·陕西·理)设曲线在点处的切线与曲线上点P处的切线垂
直，则P的坐标为　　.?
43.(2012·全国·文)曲线在点处的切线方程为　　.?
三．参考答案
1.【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
∴有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故．
综上所述，成立．故选：D
2.【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
3.【答案】B
【解析】，所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，
，
由于
所以当时，，即，，所以在上单调递增，
所以即，即；
令，则，
，
由于，在时，，
所以，即函数在上单调递减，所以，即，即；
综上，，故选：B.
4.【答案】B
【解析】∵，∴，所以，，
因此，所求切线的方程为，即．故选：B．
5.【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，解得，
则直线的方程为，即．故选：D．
6.【答案】D
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
7.【答案】C
【解析】易知点在曲线上.
∵，∴
∴曲线在点处的切线方程为，
即.故选C.
8.【答案】D
【解析】函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为1，则曲线在点处的切线方程为，故选D．
9.【答案】A
【解析】∵
∴
导函数
∵
∴
∴
导函数
令，∴
当变化时，随变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
从上表可知：极小值为．
【知识拓展】(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同。
(2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。
10.【答案】D
【解析】设导函数的三个零点分别为，且.
所以在区间和上，，是减函数，
在区间和上，，是增函数，所以函数的图象可能为D，故选D.
11.【答案】A
【解析】当时，，因为，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数，，的导数值均非负，不符合题意，故选A.
12.【答案】A
【解析】记函数，则，因为当时，，
故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
13.【答案】D
【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，，当时，，所以当时，
当时，，，直线恒过，故，
且，解得，故选D．
14.【答案】D
【解析】因为，所以切线的斜率为，解得，选D
15.【答案】B
【解析】由已知，，令，得或，
当时，，；，；，；
且，有小于零的零点，不符合题意．
当时，，；，；，；
要使有唯一的零点且，只需，即，．选B
16.【答案】D
【解析】由，又在区间上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立.
又当时，，故.故选D.
17.【答案】C
【解析】由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．
18.【答案】Ｄ
【解析】∵，
∴由得或，
由可得，则，排除，
当时，易证对恒成立，故不适合，排除C，故选D．
二、填空题
19.【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以
故切线方程为．
20.【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
21.【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在，，这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
22.【答案】
解析：
，所以
所以曲线在点处的切线方程为．
23.【答案】
【解析】由题意可知，
∴
∴曲线在点处的切线方程为.
24.【答案】
【解析】，
切线方程为，即.
25.【答案】
【解析】设点，则，
又，当时，，点A在曲线上的切线为，代入点，得
即，得，故点.
26.【答案】
【解析】记，则
依题意有，即，解得．
27.【答案】
【解析】因为，所以，切线方程为，即．
28.【答案】
【解析】
当；；
∴
29.【答案】
【解析】∵，∴.
30.【答案】
【解析】∵，∴当时，，
∴曲线在处的切线方程为.
31.【答案】
【解析】∵，∴当时，.∴切线方程为，即.
32.【答案】
【解析】设，
∵，
∴在点处的切线斜率，∴.
33.【答案】
【解析】由，得或.因为函数在内有且只有一个零点，且，所以，，因此，解得.
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
.故
34.【答案】
【解析】如下图，设正三角形的边长为，则．
∴，
∴三棱锥的体积．
令，则
令，，
．
35.【答案】
【解析】，所以，所以曲线在点处的切线方程为
，即
36.【答案】1
【解析】∵，∴，，，则切线方程为
，即，则在轴上的截距为1.
37.【答案】①④
【解析】对①，设，则，
∴在上单调递增，具有性质；
对②，设，则，
∴在上单调递减，不具有性质；
对③，设，则，令，得，∴在上单调递减，在上单调递增，不具有性质；
对④，设，则，
∵，
∴，∴在上单调递增，具有性质.故填①④.
38.【答案】
【解析】当时，，则.又因为是偶函数，所以
，所以，则切线斜率为，所以切线方程为
，即.
39.【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为，与曲线
的切点为
则
，所以，所以
，所以．
40.【答案】1
【解析】∵，∴，
即切线斜率.
又，∴已知点为.
而由过，两点的直线的斜率为，
∴，解得.
41.【答案】8
【解析】∵，∴，
∴切线方程为.
由与联立，得，再由相切知
，解得（舍去）或.
42.【答案】
【解析】曲线在点处的切线斜率；由，可得，因为曲线在点P处的切线与曲线在点处的切线垂直，故，
解得，故而，故所求点P的坐标为
43.【答案】
【解析】因为，故，所以曲线在点处的切线方程为
，化为一般式方程为
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