人教版八年级上册 12.3角的平分线的性质2 教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册 12.3角的平分线的性质2 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 141.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-13 10:07:01 | ||
图片预览
文档简介
课程基本信息
课题
角的平分线的性质（2）
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年
6月
教学目标
教学目标：运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养学生逻辑推理的能力.
教学重点：发现并正确使用角平分线的性质进行推理与书写.
教学难点：角平分线的性质定理的应用．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1-2分钟
4-5分钟
4-5分钟
3-4分钟
5-6分钟
5-6分钟
2-3分钟
定理复习
例题与练习
小结与作业
定理复习
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
使用定理时的书写：
∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴PD＝PE．
例1．如图，△ABC中，∠B
=∠C，AD
是∠BAC
的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB
=FC．
分析：由角平分线的性质可求得DE＝DF，BE＝FC来自于证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB＝FC．
点评：
1．本题中角的平分线的性质的题设非常明确，应第一时间想到利用其得到DE＝DF．
2．从结论出发，结合已知和已证的条件，可知需要证明△BDE≌△CDF．
3．可以认为是两个板块结合，注意每部分书写，有了角的平分线的性质不要再多证一次全等．
例2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：已知可推？提到距离，想到把它作出来；作PD，PE，PF分别垂直于三边AB，BC，CA，D，E，F为垂足：根据角的平分线性质可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．
注意有不止一组基本图可以用到角的平分线的性质．
证明：过点P作PD，
PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM为△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理
PE
=
PF．
∴PD＝PE＝PF．
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
点评：本题的关键是考虑复原基本图，作出对应的辅助线．
练习:
如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，
G，H．
∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，
∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理
PG＝PH．
∴PF＝PG＝PH．
即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
例3如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF．
分析：“两组等，待全等”，“有双垂，补角分”
．如图，连接AD，先证△ABD≌△ACD（SSS），则对应角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分线的性质证得结论．
证明：如图，连接AD．
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
点评：本题的关键是既可以从复原基本图考虑，也可以从作公共部分来入手，作出对应的辅助线．
练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是 ∠PEO ，并证明你的结论．
分析：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．构造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），则该全等三角形的对应角相等：∠PDA＝∠PEO．
解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点A，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，
∴PF＝PH．
在Rt△PDF与Rt△PEH中，
∴Rt△PDF
≌
Rt△PEH（HL）．
∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA＝∠PEO．
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时:
1．熟悉定理及其对应的基本图；
2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是：补全基本图
如，过角平分线上的点向角两边作垂线；
3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不要再使用全等证明一遍这个结论．
课后作业：
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
分析：根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF．
∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB：AC．
2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．
证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）．
∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）．
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线的性质）．
备用题（补充在例2之前）
例．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）
分析：PC相当于点P到边BC的距离，所以我们可以这样理解这个题，点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等，什么样的点符合这个要求呢？根据我们近期所学，角平分线上的点到角两边距离相等．因此我们判断，点P应该在∠ABC的平分线上．题目有告诉我们点P还在AC上，那么在两条线上的点应该就是它们的交点了．
作法：
作∠ABC的平分线，交AC于点P．
则点P为所求．
证明：作PH⊥AB于H．
∵∠C＝90°
∴PC⊥AB于C．
∴PC＝PH（角平分线的性质）．
点评：
1．本题没有要求尺规作图，因此基本作图，如做角平分线，可以直接叙述．
2.处理作图题时，可以根据题目，先试想一下符合要求的图形具备的特征，并加以证明，这样比盲目一边试作一边找解决方法要好得多．
课题
角的平分线的性质（2）
教科书
书名：义务教育教科书
数学
八年级上册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年
6月
教学目标
教学目标：运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养学生逻辑推理的能力.
教学重点：发现并正确使用角平分线的性质进行推理与书写.
教学难点：角平分线的性质定理的应用．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1-2分钟
4-5分钟
4-5分钟
3-4分钟
5-6分钟
5-6分钟
2-3分钟
定理复习
例题与练习
小结与作业
定理复习
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
使用定理时的书写：
∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴PD＝PE．
例1．如图，△ABC中，∠B
=∠C，AD
是∠BAC
的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB
=FC．
分析：由角平分线的性质可求得DE＝DF，BE＝FC来自于证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB＝FC．
点评：
1．本题中角的平分线的性质的题设非常明确，应第一时间想到利用其得到DE＝DF．
2．从结论出发，结合已知和已证的条件，可知需要证明△BDE≌△CDF．
3．可以认为是两个板块结合，注意每部分书写，有了角的平分线的性质不要再多证一次全等．
例2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：已知可推？提到距离，想到把它作出来；作PD，PE，PF分别垂直于三边AB，BC，CA，D，E，F为垂足：根据角的平分线性质可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．
注意有不止一组基本图可以用到角的平分线的性质．
证明：过点P作PD，
PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM为△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理
PE
=
PF．
∴PD＝PE＝PF．
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
点评：本题的关键是考虑复原基本图，作出对应的辅助线．
练习:
如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，
G，H．
∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，
∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理
PG＝PH．
∴PF＝PG＝PH．
即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
例3如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF．
分析：“两组等，待全等”，“有双垂，补角分”
．如图，连接AD，先证△ABD≌△ACD（SSS），则对应角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分线的性质证得结论．
证明：如图，连接AD．
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
点评：本题的关键是既可以从复原基本图考虑，也可以从作公共部分来入手，作出对应的辅助线．
练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是 ∠PEO ，并证明你的结论．
分析：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．构造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），则该全等三角形的对应角相等：∠PDA＝∠PEO．
解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点A，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，
∴PF＝PH．
在Rt△PDF与Rt△PEH中，
∴Rt△PDF
≌
Rt△PEH（HL）．
∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA＝∠PEO．
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时:
1．熟悉定理及其对应的基本图；
2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是：补全基本图
如，过角平分线上的点向角两边作垂线；
3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不要再使用全等证明一遍这个结论．
课后作业：
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
分析：根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF．
∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB：AC．
2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．
证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）．
∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）．
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线的性质）．
备用题（补充在例2之前）
例．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）
分析：PC相当于点P到边BC的距离，所以我们可以这样理解这个题，点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等，什么样的点符合这个要求呢？根据我们近期所学，角平分线上的点到角两边距离相等．因此我们判断，点P应该在∠ABC的平分线上．题目有告诉我们点P还在AC上，那么在两条线上的点应该就是它们的交点了．
作法：
作∠ABC的平分线，交AC于点P．
则点P为所求．
证明：作PH⊥AB于H．
∵∠C＝90°
∴PC⊥AB于C．
∴PC＝PH（角平分线的性质）．
点评：
1．本题没有要求尺规作图，因此基本作图，如做角平分线，可以直接叙述．
2.处理作图题时，可以根据题目，先试想一下符合要求的图形具备的特征，并加以证明，这样比盲目一边试作一边找解决方法要好得多．