6.4.2三角形的面积公式（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

12484100118745002020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.4.2三角形的面积公式
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-1524029845例题分析
例题分析
例1.欧拉公式 eix=cosx+isinx （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 x=π 时， eπi+1=0 ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 eπ3i 所表示的复数记为 z ，那么 |z|= ________.
【解析】解：由题意， eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，
∴|z|=(12)2+(32)2=1 .
故答案为：1.
例2.已知 △ABC 中， AB=5 ， AC=7 ， ∠ABC=2π3 ，则该三角形的面积是________.
【解析】由题得 49=a2+25?2?a?5?(?12),∴a=3
所以三角形的面积为 12?3?5?sin2π3=1543 .
故答案为： 1534
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.海伦公式是利用三角形的三条边的边长 a,b,c 直接求三角形面积S的公式，表达式为： S=p(p?a)(p?b)(p?c),p=a+b+c2 ；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为 10+27 的 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC=2:3:7 ，则用以上给出的公式求得 △ABC 的面积为（??? ）
A.?87??????????????????????????????????????B.?47??????????????????????????????????????C.?63??????????????????????????????????????D.?12
2.在 △ABC 中， a=3 ， b=2 ， C=45° ，则三角形的面积为（??? ）
A.?6??????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????C.?62??????????????????????????????????????D.?32
3.数书九章中对己知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幕减上，余四约之，为实 . 一为从隅，开平方得积 . ”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2?(c2+a2?b22)2] ，现有周长为 42+25 的 △ABC 满足 sinA ： sinB ： sinC=(2?1) ： (5) ： (2+1) ，试用以上给出的公式求得 △ABC 的面积为 ( ?? )
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.据记载，欧拉公式 eix=cosx+isinx(x∈R) 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当 x=π 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 eπi+1=0 ，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率 π ，虚数单位 i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z= e3π4i 的共轭复数为 z ，则 z= （??? ）
A.??22?22i????????????????B.??22+22i????????????????C.?22+22i????????????????D.?22?22i
5.在 ΔABC 中， a,b,c 分别为 A,B,C 的对边， A=60?,b=1 ，这个三角形的面积为 3 ，则a=（?? ）
A.?2??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.?23??????????????????????????????????????D.?13
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 C
【解析】在 △ABC 中，因为 sinA:sinB:sinC=2:3:7 ，
由正弦定理可得： a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:7 ，
设 a=2x ， b=3x ， c=7x ，且 a+b+c=10+27 ，
∴ 2x+3x+7x=10+27 ，解得 x=2 ，
即 a=4 ， b=6 ， c=27 ，且 p=a+b+c2=5+7 ，
∴ S=p(p?a)(p?b)(p?c)
=(5+7)×(5+7?4)×(5+7?6)×(5+7?27)=63 .
故答案为：C.
2.【答案】 D
【解析】 S△ABC=12absinc=12×3×2×22=32 .
故答案为：D
3.【答案】 A
【解析】由题意， sinA ： sinB ： sinC=(2?1) ： (5) ： (2+1) ，
根据正弦定理：可得a：b： c=(2?1) ： (5) ： (2+1) ，
∵ 周长为 42+25 ，即 a+b+c=42+25 ，
可得 a=22?2 ， b=25 ， c=22+2 ，
由 S=14[c2a2?(c2+a2?b22)2]=3 ，
故答案为： A
4.【答案】 A
【解析】欧拉公式 eix=cosx+isinx(x∈R) ，
则 z=e3π4i=cos3π4+isin3π4=?22+22i ，
根据共轭复数定义可知 z=?22?22i ，
故答案为：A.
5.【答案】 D
【解析】依题意 S?ABC=12bcsinA=12×1×csin60?=3 ，解得 c=4 ，由余弦定理得 a=12+42?2×1×4cos60?=13 。
故答案为：D