6.4.1正弦、余弦定理（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

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第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.4.1正弦、余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
falsefalse,false
2.余弦定理的推论：osA=false，cosB=false,cosC=false
3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
false
4.正弦定理的推论：1.false
2.false
-1524029845例题分析
例题分析
例1.在 △ABC 中，若 asinB+bsinA=2c ，则 △ABC 是________三角形．
【解析】由正弦定理可知： asinA=bsinB ，因为 asinB+bsinA=2c ，所以 sinAsinB+sinBsinA=2sinC ，
由 2sinC=sinAsinB+sinBsinA≥2sinAsinB?sinBsinA=2 ，当且仅当 sinA=sinB 时取等号，
即 a=b?A=B ，有 2sinC≥2 ，所以 sinC≥1 ，而 sinC≤1 ，所以 sinC=1 ， C=π2 ，因此 △ABC 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角。

例2.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E 是 CD 的中点， F 是 CC1 上的动点，则三棱锥 A?DEF 外接球表面积的最小值为________.
【解析】如下图所示，设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 ? ，圆柱的外接球半径为 R ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点 O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于 R ，则 O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 (2r)2+?2=(2R)2 ，
?
本题中， ∵AD⊥ 平面 DEF ，设 △DEF 的外接圆为圆 O1 ，可将三棱锥 A?DEF 内接于圆柱 O1O2 ，如下图所示：
设 △DEF 的外接圆直径为 2r ， AD=? ，该三棱锥的外接球直径为 2R ，则 (2R)2=(2r)2+?2 ，如下图所示：
设 CF=x ，则 0tan∠DFE=tan(∠CEF?∠CDF)=tan∠CEF?tan∠CDF1+tan∠CEFtan∠CDF=x?x21+x?x2=xx2+2 =1x+2x≤12x?2x=122=24 ，
当且仅当 x=2 时， tan∠DFE 取得最大值 24 ，
由 {tan∠DFE=sin∠DFEcos∠DFE=24sin2∠DFE+cos2∠DFE=1sin∠DFE>0 ，可得 sin∠DFE=13 ， cos∠DFE=223 ，
所以， sin∠DFE 的最大值为 13 ，由正弦定理得 2r=DEsin∠DFE=3 ，即 2r 的最小值为3，
因此， (2R)2=(2r)2+?2≥32+22=13 ，
所以，三棱锥 A?DEF 外接球的表面积为 S=4πR2≥13π ，
故三棱锥 A?DEF 外接球的表面积的最小值为 13π。
故答案为：13π。
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.在 △ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时， ca ＝（??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?33
2.已知点 P(3,4) 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点， F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，若 PF1?PF2=0 ，求椭圆的方程（??? ）
A.?x236+y220=1???????????????????B.?x216+y236=1???????????????????C.?x225+y210=1???????????????????D.?x245+y220=1
3.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 70° ， 80° ，则 A 、 B 的高度差约为（??? ）
(参考数据： sin10°≈0.1736 ， sin70°≈0.9397 ， sin80°≈0.9848 )
A.?10米?????????????????????????????????B.?9.66米?????????????????????????????????C.?9.40米?????????????????????????????????D.?8.66米
4.在 △ABC 中，角 A，B,C 所对的边分别是 a,b,c ，则“ asinB=b+csinC+sinA ”是“ △ABC 为等腰三角形”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
5.在三棱锥 P?ABC 中， PB=PC=AB=AC=BC=4 ， PA=23 ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（??? ）
A.?18??????????????????????????????????????????B.?16??????????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????????D.?13
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得 b+2a?a2+b2?c22ab=0 ，
∴ a2+2b2?c2=0 ，∴ b2=c2?a22 ，
∴ cosB=a2+c2?b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥32 ，
当且仅当 3a4c=c4a ，即 ca=3 时取等号，cos B取最小值 32 ．
故答案为：B．

2.【答案】 D
【解析】因为 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，
所以不妨设 F1 为左焦点坐标为 (?c,0) 、 F2 为右焦点坐标为 (c,0) .
因为 PF1?PF2=0 ，
所以有 (3+c,4)?(3?c,4)=0?(3+c)(3?c)+16=0?c2=25 ，
因此 a2?b2=25(1) ，
又因为点 P(3,4) 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点，
所以 9a2+16b2=1(2) ，由 (1)(2) 解得： {a2=45b2=20 ，所以椭圆的方程为： x245+y220=1 ，
故答案为：D
3.【答案】 C
【解析】如图所示，
在 △ABC 中，由正弦定理可得 BCsin∠BAC=ABsin∠ACB ，
由 ∠BAC=∠DAC?∠BAD=10? ， ∠ACD=90??∠CAD=10? ，
所以 AB=BC=10 ，
在 Rt△ADB 中， BD=ABsin∠BAD=10sin70?≈9.40 .
故答案为：C.
4.【答案】 A
【解析】充分性： ∵asinB=b+csinC+sinA ，得 ab=b+cc+a ，可得 a2+ac=b2+bc ，
则 a2?b2+ac?bc=0 ，即 (a?b)(a+b+c)=0 ， ∵a+b+c>0 ， ∴a=b ，
所以， △ABC 为等腰三角形，即充分性成立；
必要性：若 △ABC 为等腰三角形，则 a=c 或 b=c ，那么等式 asinB=b+csinC+sinA 不一定成立，即必要性不成立，
故答案为：A
5.【答案】 A
【解析】分别取 PA 、 PB 、 PC 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EF 、 EG 、 FG 、 GA 、 PG ，如图：
由 PB=PC=AB=AC=BC=4 可得 PG=AG=32BC=23 ，所以 EG⊥PA ，
在 △GPA ， PG=AG=PA=23 ，可得 EG=3
由中位线的性质可得 EF//AB 且 EF=12AB=2 ， FG//PC 且 FG=12PC=2 ，
所以 ∠GFE 或其补角即为异面直线PC与AB所成角，
在 △GFE 中， cos∠GFE=GF2+EF2?GE22GF?EF=4+4?92×2×2=?18 ，
所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为 18 ，
故答案为：A.