6.3.2平面向量的数量积（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.3.2平面向量的数量积
1.平面向量的数量积：已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosfalse叫作a与b的数量积(或内积)，记 作a·b,即a·b=|a| |b|cosfalse.其中false是a与b的 夹角，la|cosfalse( |b |cosfalse)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.平面向量数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosfalse的乘积.
3.平面向量数量积的性质：设a和b都是非零向量，则
(1)如果e是单位向量，则a·e=e·a=la|cosfalse.
(2)a⊥bfalsea·b=0.
(3)当a与b同向时，a·b=|a| |b|
当a与b反向时a·b=-la| |b|
特别地:a·a=|a|false或|a|=false
(4)cosfalse=false
-1524029845例题分析
例题分析
例1.已知平面向量 a 、 b 满足 |a|=|a+2b|=3 ，则 3|b|+|a+b| 的最大值为________．
【解析】 ∵|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=3+4a?b+4b2=3 ，则 a?b=?b2 ，
设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 |a|?|b|cosθ=?|b|2 ， ∴|b|=?3cosθ ，
∵|b|≥0 ， 0≤θ≤π ，可得 π2≤θ≤π ，
|a+b|2=a2+2a?b+b2=3?|b|2=3sin2θ ，则 |a+b|=3sinθ ，
所以， 3|b|+|a+b|=?3cosθ+3sinθ=23sin(θ?π3) ，
∵π2≤θ≤π ，则 π6≤θ?π3≤2π3 ，所以，当 θ?π3=π2 时， 3|b|+|a+b| 取最大值 23 .
故答案为： 23 .

7.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O .已知 AC=BC ， AC⊥BC ， AD⊥BD ，且 O 是 AC 的中点，若 AD?AB?CD?CB=2 ，则 AC?BD 的值为________.
【解析】如图， A,B,C,D 四点共圆， AB 为圆的直径.
设 OA=OC=12BC=t ，所以 AB=22t，OB=5t ，由相交弦定理得 OD=t5 ，
在直角△ AOD 中，由勾股定理得 AD=2t5 ，
在△ COD 中，由余弦定理得 CD=22t5 ，
因为 AD?AB?CD?CB=2 ，
所以 2t5·22t·cos∠DAB?22t5·2t·cos(180??∠DAB)=2 ，
又 cos∠DAB=ADAB=110 ,所以 t=52 ，
所以 AC?BD=(2t)·(5t+t5)·cos(180??α)=?125t2=?125·54=?3 ，
故答案为：-3。
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.在 △ABC 中， AB=3 ， AC=2 ， ∠BAC=60° ，点 D ， E 分别在线段 AB ， CD 上，且 BD=2AD ， CE=2ED ，则 BE?AB= （??? ）．
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-6??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?9
2.如图， AB 是单位圆 O 的直径，点 C ， D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，则 AC?AD= （??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?32?????????????????????????????????????????D.?3
3.已知 e1,e2 为单位向量，且 |e1+2e2|≤2 ，若非零向量 a 满足 a?e1≤a?e2 ，则 a?(2e1+e2)|a| 的最大值是（??? ）
A.?334???????????????????????????????????B.?332???????????????????????????????????C.?362???????????????????????????????????D.?364
4.直线 ax+by+c=0 与圆 C ： x2?2x+y2+4y=0 相交于 A ， B 两点，且 |AB|=15 ，则 CA?CB= （??? ）
A.??52????????????????????????????????????B.?532????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????D.??32
5.已知 △OAB ， OA=1 ， OB=2 ， OA?OB=?1 ，过点 O 作 OD 垂直 AB 于点 D ，点 E 满足 OE=12ED ，则 EO?EA 的值为（??? ）
A.??328??????????????????????????????????B.??121??????????????????????????????????C.??29??????????????????????????????????D.??221
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】根据题意， AB=3,BD=2AD ，则 AD=1
在 △ADC 中，又 AC=2 , ∠BAC=60°
则 DC2=AD2+AC2?2AD?DCcos∠BAC=3
则 DC=3
则 CD⊥AB
则 BE?AB=(BD+DE)?AB=BD?AB+DE?AB=BD?AB=3×2×cos180?=?6
故答案为：B
2.【答案】 C
【解析】连接 OD,OC ,则 ∠AOD=2π3,∠CAD=π6,AC=1 ,
在 △AOD 中，由余弦定理得： AD2=12+12?2×1×1×(?12)=3,∴AD=3 ，
所以 AC?AD=1×3×cosπ6=32 ，
故答案为：C。
3.【答案】 D
【解析】由题意，可设 e1=(1,0) ， e2=(cosα,sinα) ，则 e1+2e2=(1+2cosα,2sinα) ，
由 |e1+2e2|≤2 ，可得 (1+2cosα)2+4sin2α≤4 ，整理得 cosα≤?14 ，
设 a=(rcosβ,rsinβ) ， r>0 ，
由 a?e1≤a?e2 ，可得 (rcosβ,rsinβ)?(1,0)≤(rcosβ,rsinβ)?(cosα,sinα) ，
即 rcosβ≤rcosβcosα+rsinβsinα ，所以 cosβ≤cos(α?β) ，
当 cosβ=cos(α?β) 时， β=α?β+2kπ(k∈Z) 或 β=?α+β+2kπ(k∈Z) ，
即 2β=α+2kπ(k∈Z) 或 α=2kπ(k∈Z) ，
因为 cosα≤?14 ，所以 α=2kπ(k∈Z) 不符合题意，
故 cosβ=cos(α?β) 时， 2β=α+2kπ(k∈Z) .
而 a?(2e1+e2)|a|=2rcosβ+rcosβcosα+rsinβsinαr=2cosβ+cos(α?β) ，
因为 cosβ≤cos(α?β) ，所以 a?(2e1+e2)|a| ≤3cos(α?β) ，
当 2β=α+2kπ(k∈Z) 时，等号成立，此时 3cos(α?β)=3cos(β?2kπ)=3cosβ ，
因为 cosα=cos(2β?2kπ)=cos2β=2cos2β?1≤?14 ，所以 cos2β≤38 ，即 ?64≤cosβ≤64 ，
所以 a?(2e1+e2)|a| ≤3cos(α?β)=3cosβ≤364 .
故答案为：D.
4.【答案】 A
【解析】圆 C 标准方程为 (x?1)2+(y+2)2=5 ，圆心半径为 r=5 ，
在△ABC 中，利用余弦定理，得： cos∠ACB=CA2+CB2?AB22CA?CB=5+5?152×5×5=?12 ，
∴ CA?CB=|CA||CB|cos∠ACB=5×5×(?12)=?52 ，
故答案为：A．
5.【答案】 D
【解析】由题意，作出图形，如图，
∵OA=1 ， OB=2 ， OA?OB=?1
∴OA?OB=1×2cos∠AOB=2cos∠AOB=?1 ， ∴cos∠AOB=?12 ，
由 ∠AOB∈(0,π) 可得 ∠AOB=2π3 ，
∴AB=OA2+OB2?2?OA?OB?cos∠AOB=7 ，
又 S△AOB=12?OA?OB?sin∠AOB=12?OD?AB=32 ，则 OD=37 ，
∴EO?EA=?OE?(ED+DA)=?2OE2=?29?OD2=?29×37=?221 .
故答案为：D．