6.3.1平面向量的基本定理与坐标表示（知识储备+例题分析+课堂小练）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂讲义（Word版含解析）

2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.3.1平面向量的基本定理与坐标表示
平面向量的基本定理：平面向量基本定理 如果false，false是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量false,有且只有一对实数false使，false=false.
若false，false不共线，我们把（false，false）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
2.向量的夹角：已知两个非零向量false,false,O是平面上的任意一点，作false=false,false=false,则∠AOB=falsefalse叫做向量false与false的夹角.
显然，当false时，false与false同向；当false时，false与false反向.
如果false与false的夹角是false，我们说false与false垂直，记作falsefalsefalse
3.向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
4.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得
a=xi+yj.
这样，平面内的任- -向量a都可由x,y 唯一确定,我们把有序数对(x,y )叫作向量a的坐标，记作a=(x,y).①
其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标，①式叫作向量的坐标表示.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
-1524029845例题分析
例题分析
6.在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=AD=AA1=2 ， ∠BAD=90? ， ∠BAA1=∠DAA1=60? ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值是________．
【解析】如下图所示：
AB1=AB+AA1 ， BC1=BC+BB1=AD+AA1 ，
|AB1|2=(AB+AA1)2=AB2+AA12+2AB?AA1=AB2+AA12+2|AB|?|AA1|cos∠BAA1 =22+22+2×22×12=12 ， ∴|AB1|=23 ，
|BC1|2=(AD+AA1)2=AD2+AA12+2AD?AA1=AD2+AA12+2|AD|?|AA1|cos∠DAA1 =22+22+2×22×12=12 ， ∴|BC1|=23 ，
AB1?BC1=(AB+AA1)?(AD+AA1)=AB?AD+AB?AA1+AD?AA1+AA12 =|AB|?|AA1|cos∠BAA1+|AD|?|AA1|cos∠DAA1+|AA1|2=22×12×2+22=8 ，
所以， cos=AB1?BC1|AB1|?|BC1|=8(23)2=23 ，
因此，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值是 23 。
故答案为： 23 。

7.已知向量 a=(1,m),b=(2,?2) ，且 a⊥b ，则 m= ________．
【解析】因为 a⊥b ，
所以 a?b=2?2m=0,∴m=1 。
故答案为：1。
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=AA1=2 ， AD=1 ， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BD1 与 AE 所成角的余弦值为（??? ）
A.??618????????????????????????????????????B.?618????????????????????????????????????C.?318????????????????????????????????????D.?31818
2.已知非零空间向量 a ， b ， c ，若 a//c ， b//c ，且 a=(x,?2,?4) ， b=(?4,2,4) ，则 x= （??? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?-4??????????????????????????????????????????D.?-2
3.已知向量 a=(?2,4,3),b=(1,?2，x) ，若 a//b ，则 x= （??? ）
A.??32????????????????????????????????????????B.?103????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?2
4.如图，在正方形中，点 E,F 分别是线段 AD,BC 上的动点，且 AE=BF,AC 与 EF 交于G， EF 在 AB 与 CD 之间滑动，但与 AB 和 CD 均不重合．在 EF 任一确定位置，将四边形 EFCD 沿直线 EF 折起，使平面 EFCD⊥ 平面 ABFE ，则下列选项中错误的是（??? ）
A.?∠AGC 的角度不会发生变化????????????????????????????? B.?AC 与 EF 所成的角先变小后变大
C.?AC 与平面 ABFG 所成的角变小?????????????????????? ?D.?二面角 G?AC?B 先变大后变小
5.若点 A(?2,2,1) 关于y轴的对称点为 A′ ，则向量 AA′ 的坐标为（??? ）
A.?(4,?4,?2)???????????????????????B.?(0,?4,0)???????????????????????C.?(4,0,?2)???????????????????????D.?(?4,0,2)
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】如图，分别以边 DA ， DC ， DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0) ， E(0,2,1) ， B(1,2,0) ， D1(0,0,2) ，
∴ AE=(?1,2,1) ， BD1=(?1,?2,2) .
设异面直线 BD1 与 AE 所成角为 θ .则 cosθ=|AE?BD1|AE|?|BD1||=|1?4+26×9|=618 ，
∴异面直线 BD1 与 AE 所成角的余弦值为 618 。
故答案为：B.
2.【答案】 A
【解析】非零空间向量 a ， b ， c ， a//c ， b//c ，故 a//b ，
由 a=(x,?2,?4) ， b=(?4,2,4) 知 x?4=?22=?44 ，得 x=4 。
故答案为：A.
3.【答案】 A
【解析】解：因为 a=(?2,4,3),b=(1,?2，x) ，且 a//b ，所以 λa=b ，即 {1=?2λ?2=4λx=3λ ，解得 {λ=?12x=?32 ，
故答案为：A。
4.【答案】 D
【解析】以 E 为原点， EA ， EF ， ED 所在的直线为 x,y,z 轴，
建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为 1 ， AE=a ，
A(a,0,0) ， C(0,1,1?a) ， G(0,a,0) ， F(0,1,0) ， B(a,1,0) ，
对于A， AG=(?a,a,0) ， GC=(0,a?1,a?1) ，
|cos∠AGC|=|AG?GC||AG||GC|=|a(a?1)|2|a|?2|a?1|=12 ，
故 ∠AGC 的角度不会发生变化，所以A符合题意；
对于B，设 AC 与 EF 所成的角为 θ ，
AC=(?a,1,1?a) ， EF=(0,1,0) ，
|cosθ|=|AC?EF||AC||EF|=1a2+1+(1?a)2×1=12a2?2a+2 ，
2a2?2a+2 对称轴为 12 ，且 a∈(0,1) ，所以 2a2?2a+2 先减小后增加，
所以 cosθ 先增加再减小，即 AC 与 EF 所成的角先变小后变大，B符合题意；
对于C，平面 ABFG 的一个法向量为 m=(0,0,1) ，
设 AC 与平面 ABFG 所成的角为 θ ，
sinθ=|cos?AC,m?|=|AC?m||AC||m|=|1?a|a2+1+(1?a)2=(1?a)2a2+1+(1?a)2 ?
=11+a2+1(1?a)2=12+21a?2+a ，
∵a∈(0,1) ，则 a+1a 单调递减， sinθ 单调递减，
所以 AC 与平面 ABFG 所成的角变小，C符合题意；
对于D，设平面 AGC 的法向量为 n=(x1,y1,z1) ，
则 {n?AG=0n?AC=0 ，即 {?ax1+ay1=0?ax1+y1+(1?a)z1=0 ，
令 x1=1 ， y1=1 ， z1=?1 ，
不妨设 n=(1,1,?1) ，
设平面 ACB 的一个法向量为 p=(x2,y2,z2) ，
则 {p?AB=0P?CB=0 ， {y2=0ax2+(a?1)z2=0 ，
令 z2=a ， x2=1?a ，即 p=(1?a,0,a) ，
|cos?n,p?|=|n?p||n||p|=|1?a?a|3a2+(1?a)2
=33?(1?2a)22a2?2a+1=33?2?12a2?2a+1 ，
2a2?2a+1 对称轴为 12 ，在 (0,1) 先减小后增大，
所以 2?12a2?2a+1 在 (0,1) 先减小后增大，
二面角 G?AC?B 为钝角，
∴cos?n,p?=?332?12a2?2a+1 ?先增大后减小，
故二面角 G?AC?B 先减小后增大，D不符合题意.
故答案为：D
5.【答案】 C
【解析】因为点 A(?2,2,1) 关于y轴的对称点为 A′(2,2,?1) ，
则 OA=(?2,2,1),OA′=(2,2,?1) ，
∴ AA′=OA′?OA=(2,2,?1)?(?2,2,1)=(4,0,?2) ，
故答案为：C.